DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E INFORMATICA Corso di

DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E INFORMATICA
Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica e in Ingegneria Elettrica
Prova scritta di Algebra Lineare e Geometria assegnata il 02/03/2010
1. Sia
V = {A =
a b
c d
∈ R2,2 : a + d = 0} ⊂ R2,2
e sia f : V → V l’ applicazione lineare definita da
f (A) = −At ,
dove At indica la matrice trasposta di A.
(a) Studiare l’endomorfismo f : V → V determinando Im f , ker f , la suriettività
e l’ iniettività di f .
1 1
−1
(b) Calcolare f (
).
1 −1
(c) Studiare la diagonalizzabilità di f , determinandone gli autospazi.
2. Sia g : R[x]≤2 → R[x]≤2 l’ applicazione lineare data da
g(p(x)) = p0 (x),
dove p0 (x) indica la derivata prima di p(x) ∈ R[x]≤2 .
(a) Studiare l’endomorfismo g determinando Im g, ker g, la suriettività e l’ iniettività di g.
(b) Calcolare g −1 (3 + 8x).
(c) Discutere la diagonalizzabilitá di g, determinandone gli autospazi.
3. In R3 sia F = (1, 1, 1), sia r la retta di equazione cartesiana x − y = 0 = z e sia Π
il piano di equazione cartesiana x + y = 0.
(a) Riconoscere il luogo Q = {P ∈ R3 : d(P, F ) = d(P, r)} ⊂ R3 ;
(b) Determinare una equazione della parabola Γ ⊂ R3 avente come fuoco F e come
direttrice la retta r;
(c) Riconoscere il luogo Q = {P ∈ R3 : d(P, F ) = d(P, Π)} ⊂ R3 ;
4.
(a) Nel piano R2 studiare il fascio di coniche tangenti alla retta l : x + y = 0 nel
punto A = (1, −1) e tangenti alla retta m : 2x − y = 0 nel punto B = (1, 2).
(b) Determinare la conica del fascio precedente passante per P = (1, 3) e la conica
del fascio passante per Q = (2, 1).
(c) Riconoscere il luogo descritto dai centri delle coniche del fascio.