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UNIVERSITÀ DI BRESCIA - FACOLTÀ DI INGEGNERIA
Algebra e Geometria - 1.09.06
cognome
nome
corso di laurea
matricola
ESERCIZIO 1. Si dica per quali valori reali di a il seguente sistema lineare omogeneo ammette
autosoluzioni:
(a + 2)x + y + 7z = 0
(a − 1)y + 3z = 0
y + z = 0
(pt.3)
Risposta a = −2, 4
Posto a = 4 si determini l’insieme delle soluzioni del sistema.
Risposta S = L((1, 1, −1))
(pt.3)
ESERCIZIO 2. In R4 (R) con il prodotto scalare euclideo si consideri il sottospazio vettoriale W
generato dai vettori v1 = (1, 0, 1, 0) v2 = (0, 2, 1, 0) v3 = (0, 2, 0, 1) v4 = (1, 0, 2, −1).
Si determinino:
• una base e la dimensione di W ;
Risposta B = ((1, 0, 1, 0), (0, 2, 1, 0), (0, 2, 0, 1)) dimW = 3
(pt.2)
• una base del complemento ortogonale di W ;
(pt.3)
Risposta B 0 = ((2, 1, −2, −2))
• una base di un complemento diretto di W (diverso dal complemento ortogonale).
Risposta (e1 ) o (e2 ) o (e3 ) o (e4 ) dove (e1 , e2 , e3 , e4 ) è la base canonica di R4 (R)
(pt.2)
ESERCIZIO 3. In E3 (R) si considerino il punto P = (2, 0, 1), la retta r : x + y − 4 = z − 3 = 0 e
il piano α : x + y − 3z = 0. Si determinino:
a) un’equazione cartesiana del piano β contenente la retta r e passante per P ;
Risposta x + y − z − 1 = 0
b) un’equazione cartesiana del piano γ per P ortogonale alla retta r;
Risposta x − y − 2 = 0
c) una rappresentazione cartesiana della retta s per P ortogonale al piano α;
Risposta x − y − 2 = 3y + z − 1 = 0
d) una rappresentazione cartesiana della retta t per P parallela alla retta r.
Risposta x + y − 2 = z − 1 = 0
ESERCIZIO 4. In E3 (R) si determinino:
(pt.2)
(pt.2)
(pt.2)
(pt.2)
• un’equazione della sfera di centro C = (1, 0, 1) e passante per il punto A = (0, 2, 0);
Risposta x2 + y 2 + z 2 − 2x − 2z − 4 = 0
(pt.2)
2
2
2
• le equazioni dei piani tangenti alla sfera S di equazione x + y + z = 6 e paralleli al piano
π : 2x − y + z = 2;
Risposta 2x − y + z = ±6
(pt.3)
• una rappresentazione cartesiana della circonferenza descritta dal punto P = (1, 2, 0) nella rotazione di asse a : x + y = z − 1 = 0.
Risposta x − y + 1 = x2 + y 2 + z 2 − 2z − 5 = 0
(pt.4)
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UNIVERSITÀ DI BRESCIA - FACOLTÀ DI INGEGNERIA
Algebra e Geometria - 1.09.06
cognome
nome
corso di laurea
matricola
ESERCIZIO 1. Si dica per quali valori reali di a il seguente sistema lineare omogeneo ammette
autosoluzioni:
(a + 3)x − y − 6z = 0
(a + 1)y + 3z = 0
y + z = 0
(pt.3)
Risposta a = −3, 2
Posto a = 2 si determini l’insieme delle soluzioni del sistema.
Risposta S = L((1, −1, 1))
(pt.3)
ESERCIZIO 2. In R4 (R) con il prodotto scalare euclideo si consideri il sottospazio vettoriale W
generato dai vettori v1 = (0, 1, 0, 1) v2 = (2, 0, 1, 0) v3 = (2, 0, 0, 1) v4 = (0, 1, 1, 0).
Si determinino:
• una base e la dimensione di W ;
Risposta B = ((0, 1, 0, 1), (2, 0, 1, 0), (2, 0, 0, 1)) dimW = 3
(pt.2)
• una base del complemento ortogonale di W ;
(pt.3)
Risposta B 0 = ((1, 2, −2, −2))
• una base di un complemento diretto di W (diverso dal complemento ortogonale).
Risposta (e1 ) o (e2 ) o (e3 ) o (e4 ) dove (e1 , e2 , e3 , e4 ) è la base canonica di R4 (R)
(pt.2)
ESERCIZIO 3. In E3 (R) si considerino il punto P = (0, 1, 2), la retta r : x + z − 4 = y − 3 = 0 e
il piano α : x − 3y + z = 0. Si determinino:
a) un’equazione cartesiana del piano β contenente la retta r e passante per P ;
Risposta x − y + z − 1 = 0
b) un’equazione cartesiana del piano γ per P ortogonale alla retta r;
Risposta x − z + 2 = 0
c) una rappresentazione cartesiana della retta s per P ortogonale al piano α;
Risposta x − z + 2 = 3x + y − 1 = 0
d) una rappresentazione cartesiana della retta t per P parallela alla retta r.
Risposta x + z − 2 = y − 1 = 0
ESERCIZIO 4. In E3 (R) si determinino:
(pt.2)
(pt.2)
(pt.2)
(pt.2)
• un’equazione della sfera di centro C = (0, 1, 1) e passante per il punto A = (2, 0, 0);
Risposta x2 + y 2 + z 2 − 2y − 2z − 4 = 0
(pt.2)
2
2
2
• le equazioni dei piani tangenti alla sfera S di equazione x + y + z = 6 e paralleli al piano
π : x − 2y + z = 2;
Risposta x − 2y + z = ±6
(pt.3)
• una rappresentazione cartesiana della circonferenza descritta dal punto P = (2, 0, 1) nella rotazione di asse a : x + z = y − 1 = 0.
Risposta x − z − 1 = x2 + y 2 + z 2 − 2y − 5 = 0
(pt.4)
