1
UNIVERSITÀ DI BRESCIA - FACOLTÀ DI INGEGNERIA
Algebra e Geometria - 19.12.05
cognome
nome
corso di laurea
matricola
ESERCIZIO
1. Si dica per quali valori reali di a il seguente sistema lineare risulta compatibile:
y + (a − 1)z = 1
x+y+z =1
x + ay + az = 2
(pt.4)
Risposta a 6= 1
Interpretando x, y, z come coordinate in E3 (R) si dica qual è la mutua posizione dei tre piani
rappresentati dalle equazioni del sistema al variare del parametro reale a.
Risposta per a 6= 1, 2 i tre piani hanno in comune esattamente un punto e individuano quindi
una stella propria; per a = 1 non esistono punti comuni ai tre piani: il secondo e il terzo risultano
paralleli e distinti ed il primo incidente entrambi; per a = 2 i tre piani hanno in comune una retta,
resta quindi individuato un fascio proprio.
(pt.4)
ESERCIZIO 2. In R4 (R) con il prodotto scalare euclideo si consideri il sottospazio vettoriale
W = {(x, y, z, t) | x − 2y = z − t = 0}. Si determini:
• una base e la dimensione di W ;
Risposta B = ((2, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1)) dimW = 2
(pt.2)
• il complemento ortogonale di W ;
(pt.3)
Risposta W ⊥ = {(x, −2x, z, −z)|x, z ∈ R}
• una base di un complemento diretto di W (diverso dal complemento ortogonale);
Risposta (e1 , e3 ) ∨ (e1 , e4 ) ∨ (e2 , e3 ) ∨ (e2 , e4 ) dove B = (e1 , e2 , e3 , e4 ) indica la base canonica (pt.2)
ESERCIZIO 3. In E3 (R) si consideri la sfera S : x2 + y 2 + z 2 − 2y − 6z − 6 = 0. Si determinino:
• centro e raggio della sfera;
Risposta C = (0, 1, 3) e R = 4
(pt.2)
• centro e raggio della circonferenza ottenuta sezionando S con il piano π : y + z − 2 = 0;
√
(pt.4)
Risposta C 0 = (0, 0, 2) e r = 14
• una rappresentazione cartesiana dei piani tangenti alla sfera S e paralleli al piano π.
√
Risposta: y + z − 4 ± 4 2 = 0
(pt.3)
ESERCIZIO 4. In E3 (R) dati il piano α : x + y + 3z + 1 = 0, la retta r : x + z − 1 = y + 2z = 0
e il punto P = (0, 1, 1), si determinino:
• una rappresentazione cartesiana della retta s parallela ad r e passante per P ;
Risposta 2x − y + 1 = x + z − 1 = 0
(pt.2)
• un’equazione cartesiana del piano τ parallelo ad α e passante per P ;
Risposta x + y + 3z − 4 = 0
(pt.2)
• un’equazione cartesiana del piano δ ortogonale ad r e passante per P .
Risposta x + 2y − z − 1 = 0
(pt.2)
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Algebra e Geometria - 19.12.05
cognome
nome
corso di laurea
matricola
ESERCIZIO
1. Si dica per quali valori reali di a il seguente sistema lineare risulta compatibile:
y − (a + 1)z = 1
x+y+z =1
x − ay − az = 2
(pt.4)
Risposta a 6= −1
Interpretando x, y, z come coordinate in E3 (R) si dica qual è la mutua posizione dei tre piani
rappresentati dalle equazioni del sistema al variare del parametro reale a.
Risposta per a 6= −1, −2 i tre piani hanno in comune esattamente un punto e individuano quindi
una stella propria; per a = −1 non esistono punti comuni ai tre piani: il secondo e il terzo risultano
paralleli e distinti ed il primo incidente entrambi; per a = −2 i tre piani hanno in comune una retta,
resta quindi individuato un fascio proprio.
(pt.4)
ESERCIZIO 2. In R4 (R) con il prodotto scalare euclideo si consideri il sottospazio vettoriale
W = {(x, y, z, t) | 2x − z = y − t = 0}. Si determini:
• una base e la dimensione di W ;
Risposta B = ((1, 0, 2, 0), (0, 1, 0, 1)) dimW = 2
(pt.2)
• il complemento ortogonale di W ;
(pt.3)
Risposta W ⊥ = {(−2z, −t, z, t)|z, t ∈ R}
• una base di un complemento diretto di W (diverso dal complemento ortogonale);
Risposta (e1 , e2 ) ∨ (e1 , e4 ) ∨ (e2 , e3 ) ∨ (e3 , e4 ) dove B = (e1 , e2 , e3 , e4 ) indica la base canonica (pt.2)
ESERCIZIO 3. In E3 (R) si consideri la sfera S : x2 + y 2 + z 2 − 2y + 6z + 6 = 0. Si determinino:
• centro e raggio della sfera;
Risposta C = (0, 1, −3) e R = 2
(pt.2)
• centro e raggio della circonferenza ottenuta sezionando S con il piano π : x + z + 5 = 0;
√
(pt.4)
Risposta C 0 = (−1, 1, −4) e r = 2
• una rappresentazione cartesiana dei piani tangenti alla sfera S e paralleli al piano π.
√
Risposta: x + z + 3 ± 2 2 = 0
(pt.3)
ESERCIZIO 4. In E3 (R) dati il piano α : x + y − 3z + 1 = 0, la retta r : x − z − 1 = y − 2z = 0
e il punto P = (0, 1, 1), si determinino:
• una rappresentazione cartesiana della retta s parallela ad r e passante per P ;
Risposta x − z + 1 = 2x − y + 1 = 0
(pt.2)
• un’equazione cartesiana del piano τ parallelo ad α e passante per P ;
Risposta x + y − 3z + 2 = 0
(pt.2)
• un’equazione cartesiana del piano δ ortogonale ad r e passante per P .
Risposta x + 2y + z − 3 = 0
(pt.2)
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cognome
nome
corso di laurea
matricola
ESERCIZIO
1. Si dica per quali valori reali di a il seguente sistema lineare risulta compatibile:
2y + (a − 2)z = 2
x+y+z =1
2x + ay + az = 4
(pt.4)
Risposta a 6= 2
Interpretando x, y, z come coordinate in E3 (R) si dica qual è la mutua posizione dei tre piani
rappresentati dalle equazioni del sistema al variare del parametro reale a.
Risposta per a 6= 2, 4 i tre piani hanno in comune esattamente un punto e individuano quindi
una stella propria; per a = 2 non esistono punti comuni ai tre piani: il secondo e il terzo risultano
paralleli e distinti ed il primo incidente entrambi; per a = 4 i tre piani hanno in comune una retta,
resta quindi individuato un fascio proprio.
(pt.4)
ESERCIZIO 2. In R4 (R) con il prodotto scalare euclideo si consideri il sottospazio vettoriale
W = {(x, y, z, t) | x − 2z = y − t = 0}. Si determini:
• una base e la dimensione di W ;
Risposta B = ((2, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 1)) dimW = 2
(pt.2)
• il complemento ortogonale di W ;
(pt.3)
Risposta W ⊥ = {(x, y, −2x, −y)|x, y ∈ R}
• una base di un complemento diretto di W (diverso dal complemento ortogonale);
Risposta (e1 , e2 ) ∨ (e1 , e4 ) ∨ (e2 , e3 ) ∨ (e3 , e4 ) dove B = (e1 , e2 , e3 , e4 ) indica la base canonica (pt.2)
ESERCIZIO 3. In E3 (R) si consideri la sfera S : x2 + y 2 + z 2 − 2y − 8z − 8 = 0. Si determinino:
• centro e raggio della sfera;
Risposta C = (0, 1, 4) e R = 5
(pt.2)
• centro e raggio della circonferenza
ottenuta sezionando S con il piano π : y + z + 2 = 0;
√
2
5 1
0
(pt.4)
Risposta C = (0, − 2 , 2 ) e r = 2
• una rappresentazione cartesiana dei piani tangenti alla sfera S e paralleli al piano π.
√
Risposta: y + z − 5 ± 5 2 = 0
(pt.3)
ESERCIZIO 4. In E3 (R) dati il piano α : 2x + y + z + 1 = 0, la retta r : x + y − 1 = 2x + z = 0
e il punto P = (1, 0, 1), si determinino:
• una rappresentazione cartesiana della retta s parallela ad r e passante per P ;
Risposta x + y − 1 = 2y − z + 1 = 0
(pt.2)
• un’equazione cartesiana del piano τ parallelo ad α e passante per P ;
Risposta 2x + y + z − 3 = 0
(pt.2)
• un’equazione cartesiana del piano δ ortogonale ad r e passante per P .
Risposta x − y − 2z + 1 = 0
(pt.2)
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Algebra e Geometria - 19.12.05
cognome
nome
corso di laurea
matricola
ESERCIZIO
1. Si dica per quali valori reali di a il seguente sistema lineare risulta compatibile:
2y − (a + 2)z = 2
x+y+z =1
2x − ay − az = 4
(pt.4)
Risposta a 6= −2
Interpretando x, y, z come coordinate in E3 (R) si dica qual è la mutua posizione dei tre piani
rappresentati dalle equazioni del sistema al variare del parametro reale a.
Risposta per a 6= −2, −4 i tre piani hanno in comune esattamente un punto e individuano quindi
una stella propria; per a = −2 non esistono punti comuni ai tre piani: il secondo e il terzo risultano
paralleli e distinti ed il primo incidente entrambi; per a = −4 i tre piani hanno in comune una retta,
resta quindi individuato un fascio proprio.
(pt.4)
ESERCIZIO 2. In R4 (R) con il prodotto scalare euclideo si consideri il sottospazio vettoriale
W = {(x, y, z, t) | 2x − y = z − 2t = 0}. Si determini:
• una base e la dimensione di W ;
Risposta B = ((1, 2, 0, 0), (0, 0, 2, 1)) dimW = 2
(pt.2)
• il complemento ortogonale di W ;
(pt.3)
Risposta W ⊥ = {(−2y, y, z, −2z)|x, z ∈ R}
• una base di un complemento diretto di W (diverso dal complemento ortogonale);
Risposta (e1 , e3 ) ∨ (e1 , e4 ) ∨ (e2 , e3 ) ∨ (e2 , e4 ) dove B = (e1 , e2 , e3 , e4 ) indica la base canonica (pt.2)
ESERCIZIO 3. In E3 (R) si consideri la sfera S : x2 + y 2 + z 2 − 2y + 8z + 8 = 0. Si determinino:
• centro e raggio della sfera;
Risposta C = (0, 1, −4) e R = 3
(pt.2)
• centro e raggio della circonferenza √ottenuta sezionando S con il piano π : y + z + 6 = 0;
3 2
(pt.4)
Risposta C 0 = (0, − 12 , − 11
2 ) e r = 2
• una rappresentazione cartesiana dei piani tangenti alla sfera S e paralleli al piano π.
√
Risposta: y + z + 3 ± 3 2 = 0
(pt.3)
ESERCIZIO 4. In E3 (R) dati il piano α : 2x − y − z + 1 = 0, la retta r : x − y − 1 = 2x − z = 0
e il punto P = (1, 0, 1), si determinino:
• una rappresentazione cartesiana della retta s parallela ad r e passante per P ;
Risposta x − y − 1 = 2y − z + 1 = 0
(pt.2)
• un’equazione cartesiana del piano τ parallelo ad α e passante per P ;
Risposta 2x − y − z − 1 = 0
(pt.2)
• un’equazione cartesiana del piano δ ortogonale ad r e passante per P .
Risposta x + y + 2z − 3 = 0
(pt.2)
