Lezione 12 - Statistica
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Lezione 12 A. Iodice Variabile casuale v.c. discrete Lezione 12 v.c. uniforme Statistica v.c. Bernoulli v.c. Binomiale Alfonso Iodice D’Enza [email protected] v.c. Ipergeometrica v.c. Binomiale negativa v.c. Poisson Università degli studi di Cassino A. Iodice () Lezione 12 Statistica 1 / 56 Outline Lezione 12 1 Variabile casuale 2 v.c. discrete 3 v.c. uniforme 4 v.c. Bernoulli v.c. Ipergeometrica 5 v.c. Binomiale v.c. Binomiale negativa 6 v.c. Ipergeometrica 7 v.c. Binomiale negativa 8 v.c. Poisson A. Iodice Variabile casuale v.c. discrete v.c. uniforme v.c. Bernoulli v.c. Binomiale v.c. Poisson A. Iodice () Lezione 12 Statistica 2 / 56 Variabile casuale Lezione 12 A. Iodice Variabile casuale Una variabile casuale (v.c.) una funzione misurabile e a valori reali definita su uno spazio Ω. In altre parole una v.c. una regola che associa ad ogni evento un numero reale. v.c. discrete v.c. uniforme v.c. Bernoulli v.c. Binomiale v.c. Ipergeometrica v.c. Binomiale negativa v.c. Poisson A. Iodice () Lezione 12 Statistica 3 / 56 Esempi di variabile casuale Lezione 12 A. Iodice Variabile casuale Data la prova lancio di un dado il cui spazio campionario Ω = (E1 , E2 , E3 , E4 , E5 , E6 ), possibile definire diverse variabili casuali: v.c. discrete X :numero della faccia uscita v.c. uniforme v.c. Bernoulli X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} v.c. Binomiale v.c. Ipergeometrica v.c. Binomiale negativa Y : tre volte il numero uscito meno il numero 10 v.c. Poisson Y = {−7, −4, −1, 2, 5, 8} A. Iodice () Lezione 12 Statistica 4 / 56 probabilità e variabili casuali Lezione 12 A. Iodice Variabile casuale Si consideri la prova lancio di quattro monete e la variabile casuale X = numero di teste (T). I possibili eventi della prova sono v.c. discrete v.c. uniforme X ={T T T T, T CT T, T T CT, T T T C, CT T T, v.c. Bernoulli T CCT, T CT C, T T CC, CCT T, CT CT, v.c. Binomiale CT T C, T CCC, CCCT, CT CC, CCT C, CCCC} v.c. Ipergeometrica v.c. Binomiale negativa I valori della variabile casuale X corrispondenti agli eventi sono v.c. Poisson X ={4, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 0} i valori che la v.c. X pu assumere sono {0, 1, 2, 3, 4}. A. Iodice () Lezione 12 Statistica 5 / 56 probabilità e variabili casuali Lezione 12 Le probabilità associate ai valori della variabile casuale sono A. Iodice P (X = 0) = P (CCCC) = Variabile casuale 1 16 v.c. discrete v.c. uniforme P (X = 1) = P (T CCC ∪ CT CC ∪ CCT C ∪ CCCT ) = v.c. Bernoulli = P (T CCC) + P (CT CC) + P (CCT C)+ 4 + P (CCCT ) = 16 v.c. Binomiale v.c. Ipergeometrica v.c. Binomiale negativa P (X = 2) = P (T T CC ∪ T CCT ∪ CT T C ∪ CCT T ∪ v.c. Poisson ∪ T CT C ∪ CT CT ) = P (T T CC) + P (T CCT )+ P (CT T C) + P (CCT T ) + P (T CT C)+ 6 + P (CT CT ) = 16 A. Iodice () Lezione 12 Statistica 6 / 56 probabilità e variabili casuali Lezione 12 A. Iodice Variabile casuale v.c. discrete v.c. uniforme P (X = 3) = P (CT T T ∪ T CT T ∪ T T CT ∪ T T T C) = P (T T T C) + P (CT T T ) + P (T CT T )+ 4 + P (T T CT ) = 16 v.c. Bernoulli v.c. Binomiale v.c. Ipergeometrica v.c. Binomiale negativa P (X = 4) = P (T T T T ) = v.c. Poisson A. Iodice () Lezione 12 1 16 Statistica 7 / 56 Distribuzione di probabilità di una v.c. Lezione 12 A. Iodice Variabile casuale Avendo calcolato le probabilità associate ai diversi valori delle v.c. possibile riassumere i risultati nel seguente modo v.c. discrete v.c. uniforme xi 0 1 2 3 4 v.c. Bernoulli v.c. Binomiale v.c. Ipergeometrica v.c. Binomiale negativa v.c. Poisson A. Iodice () Lezione 12 pi 1/16 4/16 6/16 4/16 1/16 Statistica 8 / 56 Distribuzione di probabilità di una v.c. Lezione 12 A. Iodice Variabile casuale v.c. discrete v.c. uniforme v.c. Bernoulli v.c. Binomiale v.c. Ipergeometrica Avendo la distribuzione di probabilità per la variabile casuale X, possibile calcolare la probabilità di qualsiasi evento ottenibile a partire dallo spazio campione Ω. Ad esempio l’evento A: escono almeno 3 teste 4 1 5 + = 16 16 16 Analogamente l’evento B: escono fino a 2 teste P (A) = P (X = 3) + P (X = 4) = v.c. Binomiale negativa v.c. Poisson P (B) = P (X = 0)+P (X = 1)+P (X = 2) = A. Iodice () Lezione 12 1 4 6 11 + + = 16 16 16 16 Statistica 9 / 56 Distribuzione di probabilità di una v.c. Lezione 12 A. Iodice Variabile casuale v.c. discrete una variabile casuale si definisce discreta se mette in corrispondenza gli eventi di una prova con un insieme finito o numerabile di numeri reali v.c. uniforme v.c. Bernoulli v.c. Binomiale una variabile casuale si definisce continua se essa può assumere tutti i valori compresi in un intervallo reale v.c. Ipergeometrica v.c. Binomiale negativa v.c. Poisson A. Iodice () Lezione 12 Statistica 10 / 56 Distribuzione di probabilità di una v.c. Lezione 12 A. Iodice La distribuzione di probabilità di una v.c. discreta (probability mass function) data da Variabile casuale xi x1 x2 ... xi ... v.c. discrete v.c. uniforme v.c. Bernoulli v.c. Binomiale v.c. Ipergeometrica v.c. Binomiale negativa pi p1 p2 ... pi ... Perchè sia ben specificata la v.c. discreta deve soddisfare i postulati di Kolmogorov, ovvero deve risultare che v.c. Poisson pi ≥ 0, ∀i = 1, 2, . . . e che +∞ X pi = 1 i=1 A. Iodice () Lezione 12 Statistica 11 / 56 Funzione di ripartizione per v.c. discrete Lezione 12 A. Iodice Variabile casuale v.c. discrete v.c. uniforme La funzione di ripartizione F (x0 ) di una v.c. discreta calcolata nel punto x0 data da X pi F (x0 ) = P (X ≤ x0 ) = x≤x0 v.c. Bernoulli v.c. Binomiale v.c. Ipergeometrica v.c. Binomiale negativa Caratteristiche di F (x) La funzione di ripartizione non decrescente e tale che 0 ≤ F (x) ≤ 1 v.c. Poisson A. Iodice () Lezione 12 Statistica 12 / 56 Distribuzione di probabilità di una v.c. Lezione 12 A. Iodice Variabile casuale La funzione di ripartizione associata alla variabile casuale numero di teste nella prova lancio di quattro monete v.c. discrete xi 0 1 2 3 4 v.c. uniforme v.c. Bernoulli v.c. Binomiale v.c. Ipergeometrica v.c. Binomiale negativa v.c. Poisson pi 1/16 4/16 6/16 4/16 1/16 F (xi ) 1/16 5/16 11/16 15/16 16/16 Nota Dalla funzione di ripartizione possibile risalire alla distribuzione di probabilità della v.c. X. A. Iodice () Lezione 12 Statistica 13 / 56 Rappresentazioni di v.c. discrete Lezione 12 A. Iodice Per rappresentare la distribuzione di probabilità di una v.c. discreta si ricorre al diagramma ad aste Variabile casuale v.c. discrete v.c. uniforme v.c. Bernoulli v.c. Binomiale v.c. Ipergeometrica v.c. Binomiale negativa v.c. Poisson A. Iodice () Lezione 12 Statistica 14 / 56 Rappresentazioni di v.c. discrete Lezione 12 A. Iodice La funzione di ripartizione viene rappresentata tramite un diagramma a scale Variabile casuale v.c. discrete v.c. uniforme v.c. Bernoulli v.c. Binomiale v.c. Ipergeometrica v.c. Binomiale negativa v.c. Poisson A. Iodice () Lezione 12 Statistica 15 / 56 Valore atteso e varianza di v.c. discrete Lezione 12 A. Iodice Variabile casuale Valore atteso Il valore atteso rappresenta il valore di tendenza centrale di una variabile casuale v.c. discrete v.c. uniforme E(X) = v.c. Bernoulli n X xi f (xi ) i=1 v.c. Binomiale v.c. Ipergeometrica v.c. Binomiale negativa Varianza La varianza di una v.c. è il valore atteso degli scarti al quadrato da E(X). v.c. Poisson V ar(X) = n X (xi − E(X))2 f (xi ) i=1 A. Iodice () Lezione 12 Statistica 16 / 56 Variabile casuale uniforme Lezione 12 A. Iodice Variabile casuale Una variabile casuale X si dice seguire una distribuzione Uniforme di parametro n se assume valori su un insieme finito x1 , x2 , . . . , xn e la sua funzione di probabilità la seguente v.c. discrete v.c. uniforme P (X = xi ) = v.c. Bernoulli 1 ∀i = 1, . . . , n n v.c. Binomiale la media o valore atteso della distribuzione uniforme v.c. Ipergeometrica v.c. Binomiale negativa E(X) = n X i=1 if (i) = n X i n+1 = n 2 i=1 v.c. Poisson la varianza della distribuzione uniforme var(X) = A. Iodice () Lezione 12 n2 −1 12 Statistica 17 / 56 Variabile casuale uniforme Lezione 12 A. Iodice Variabile casuale v.c. discrete v.c. uniforme All’esperimento che consiste nel lancio di un dado equilibrato si associa una variabile casuale uniforme discreta di parametro n = 6. Calcolare valore atteso e varianza della v.c. associata all’esperimento: v.c. Bernoulli la media o valore atteso della distribuzione uniforme E(X) = n+1 = 6+1 = 3.5 2 2 v.c. Binomiale v.c. Ipergeometrica la varianza della distribuzione uniforme 2 2 −1 −1 var(X) = n 12 = 6 12 = 35 = 2.92 12 v.c. Binomiale negativa v.c. Poisson A. Iodice () Lezione 12 Statistica 18 / 56 Variabile casuale di Bernoulli Lezione 12 A. Iodice Variabile casuale v.c. discrete v.c. uniforme E’ una v.c. che trae origine da una prova nella quale interessa verificare se l’evento E si sia verificato o meno. E’ legata a prove di tipo dicotomico (o dicotomizzabili) i cui due possibili risultati vengono indicati con i termini successo (1) e insucesso (0) v.c. Bernoulli P (X = x) = px (1 − p)1−x ∀i = 1, . . . , n v.c. Binomiale v.c. Ipergeometrica la media o valore atteso della distribuzione di Bernoulli E(X) = p v.c. Binomiale negativa la varianza della distribuzione di Bernoulli var(X) = p ∗ (1 − p) v.c. Poisson A. Iodice () Lezione 12 Statistica 19 / 56 Variabile casuale Binomiale Lezione 12 A. Iodice Variabile casuale Consiste nel ripetere n volte, e nelle medesime condizioni, lo schema successo-insuccesso della v.c. di Bernoulli. In particolare X rappresenta il numero si successi ottenuti in n prove. La funzione di massa di probabilità è dunque v.c. discrete P (X = x) = v.c. uniforme v.c. Bernoulli v.c. Binomiale v.c. Ipergeometrica v.c. Binomiale negativa v.c. Poisson n x px (1 − p)n−x ∀i = 1, . . . , n ovvero si contano le combinazioni di risultati che determinano x successi ed n − x insuccessi, e ad essi si associa la probabilità p × p × . . . × p = px probabilità di ottenere x successi e la probabilità (1 − p) × (1 − p) × . . . × (1 − p) = (1 − p)n−x di ottenere (n − x) insuccessi. nota Lo schema binomiale equivale ad una estrazione con ripetizione di n (numero di prove) palline da un’urna che ne contiene H: si considera che nell’urna ci siano b palline bianche e H − b palline nere, il successo corrisponde all’estrazione di una b pallina bianca e quindi la probabilità corrispondente è p = H . A. Iodice () Lezione 12 Statistica 20 / 56 Variabile casuale Binomiale Lezione 12 A. Iodice Variabile casuale il valore atteso della distribuzione Binomiale è v.c. discrete v.c. uniforme E(X) = np v.c. Bernoulli v.c. Binomiale la varianza della distribuzione Binomiale v.c. Ipergeometrica var(X) = np ∗ (1 − p) v.c. Binomiale negativa v.c. Poisson A. Iodice () Lezione 12 Statistica 21 / 56 Variabile casuale Binomiale: esempio 2 Lezione 12 A. Iodice Variabile casuale v.c. discrete v.c. uniforme Si considerino i seguenti esempi di esperimenti probabilistici distribuiti secondo una v.c. Binomiale. Determinare i parametri della v.c. , indicare inoltre la media e la varianza. Si ripete per 10 volte il lancio di un dado, se il risultato è un numero pari. v.c. Bernoulli I parametri della distribuzione sono n = 10 e p = P (E2 ∪ E4 ∪ E6 ) = 16 + 16 + 16 = 12 Media e varianza sono rispettivamente E(X) = np = 10 × 12 = 5 e var(X) = 10 × 12 × v.c. Binomiale v.c. Ipergeometrica v.c. Binomiale negativa 1 2 = 2.5 v.c. Poisson A. Iodice () Lezione 12 Statistica 22 / 56 Variabile casuale Binomiale: esempio 3 Lezione 12 A. Iodice Variabile casuale Si consideri un campione di 200 cittadini europei, in cui l’80% è rappresentato da cittadini italiani. Il successo consiste nell’estrarre dal campione un cittadino straniero, le prove sono 25 (è possibile che uno stesso cittadino sia selezionato pi˘ volte). v.c. discrete Quali sono i parametri della distribuzione che regola tale processo? v.c. uniforme Quale il numero atteso di cittadini stranieri e con quale variabilità? v.c. Bernoulli Rappresentare graficamente la distribuzione (f.massa di probabilità e f. di ripartizione) v.c. Binomiale v.c. Ipergeometrica v.c. Binomiale negativa Qual’è la probabilità di selezionare tra 7 e 4 cittadini stranieri? Svolgimento I parametri della distribuzione sono n = 25; l’80% dei 200 individui considerati è italiano, pertanto il 20% è costituito da stranieri, quindi p = 0.2 v.c. Poisson Media e varianza sono rispettivamente E(X) = np = 25 × 0.2 = 5 e var(X) = 25 × 0.2 × 0.8 = 4 A. Iodice () Lezione 12 Statistica 23 / 56 Variabile casuale Binomiale: esempio 3 Lezione 12 A. Iodice Variabile casuale v.c. discrete v.c. uniforme v.c. Bernoulli v.c. Binomiale v.c. Ipergeometrica v.c. Binomiale negativa v.c. Poisson A. Iodice () Lezione 12 Statistica 24 / 56 Variabile casuale Binomiale: esempio 3 Lezione 12 Qual’è la probabilità di selezionare tra 4 e 7 cittadini stranieri? A. Iodice Variabile casuale v.c. discrete v.c. uniforme v.c. Bernoulli v.c. Binomiale v.c. Ipergeometrica v.c. Binomiale negativa v.c. Poisson Dunque P (4 ≤ X ≤ 7) = F (7) − F (3) = 0.6568 A. Iodice () Lezione 12 Statistica 25 / 56 Andamento V.C. Binomiale Lezione 12 A. Iodice Variabile casuale v.c. discrete v.c. uniforme v.c. Bernoulli v.c. Binomiale v.c. Ipergeometrica v.c. Binomiale negativa v.c. Poisson A. Iodice () Lezione 12 Statistica 26 / 56 Andamento V.C. Binomiale Lezione 12 A. Iodice Variabile casuale v.c. discrete v.c. uniforme v.c. Bernoulli v.c. Binomiale v.c. Ipergeometrica v.c. Binomiale negativa v.c. Poisson A. Iodice () Lezione 12 Statistica 27 / 56 Andamento V.C. Binomiale Lezione 12 A. Iodice Variabile casuale v.c. discrete v.c. uniforme v.c. Bernoulli v.c. Binomiale v.c. Ipergeometrica v.c. Binomiale negativa v.c. Poisson A. Iodice () Lezione 12 Statistica 28 / 56 Andamento V.C. Binomiale Lezione 12 A. Iodice Variabile casuale v.c. discrete v.c. uniforme v.c. Bernoulli v.c. Binomiale v.c. Ipergeometrica v.c. Binomiale negativa v.c. Poisson A. Iodice () Lezione 12 Statistica 29 / 56 Andamento V.C. Binomiale Lezione 12 A. Iodice Variabile casuale v.c. discrete v.c. uniforme v.c. Bernoulli v.c. Binomiale v.c. Ipergeometrica v.c. Binomiale negativa v.c. Poisson A. Iodice () Lezione 12 Statistica 30 / 56 Variabile casuale Ipergeometrica Lezione 12 A. Iodice Variabile casuale v.c. discrete v.c. uniforme La V.C. ipergeometrica è del tutto simile allo schema binomiale con la differenza che l’estrazione avviene senza ripetizione: in altre parole, le prove successive non sono indipendenti, il risultato di ciascuna prova condiziona il risultato della prova successiva. Si considerino le seguenti quantità: v.c. Bernoulli n è il numero di prove. v.c. Binomiale H è il numero complessivo di palline nell’urna v.c. Ipergeometrica b è il numero di palline bianche presenti nell’urna; di conseguenza le restanti H − b sono nere. v.c. Binomiale negativa Il ’successo’ in ciascuna prova si ottiene se la pallina estratta è bianca: la b . probabilità di successo è dunque p = H v.c. Poisson sia x è il numero di successi in n prove. A. Iodice () Lezione 12 Statistica 31 / 56 Variabile casuale Ipergeometrica Lezione 12 La funzione di massa di probabilità con parametri n, b, H è A. Iodice P (X = x) = f (x) = Variabile casuale v.c. discrete b H−b x n−x H n H n rappresenta il numero di combinazioni di risultati dell’estrazione di n palline da un’urna che ne contiene H b rappresenta il numero di combinazioni di x successi (estrazione di x palline bianche) che si possono ottenere sapendo che nell’urna ci sono b palline bianche; H−b rappresenta il numero di combinazioni di n − x insuccessi n−x (estrazione di palline nere) che si possono ottenere sapendo che nell’urna ci sono H − b palline nere; v.c. uniforme v.c. Bernoulli v.c. Binomiale v.c. Ipergeometrica v.c. Binomiale negativa v.c. Poisson il valore atteso e la varianza della distribuzione Ipergeometrica sono rispettivamente, E(X) = np , var(X) = np(1 − p) A. Iodice () Lezione 12 H −n H −1 Statistica 32 / 56 Variabile casuale Ipergeometrica: esempio 4 Lezione 12 A. Iodice Un lotto di 100 schede madri contiene 5 schede difettose. Il compratore accetta di acquistare il lotto solo se, ispezionando 1/5 delle schede del lotto, ne trova al massimo una difettosa. Variabile casuale Qual’è la probabilità che il compratore acquisti effettivamente il lotto di schede madri? v.c. discrete Quale il numero atteso di schede difettose che ci si attende di trovare e con quale variabilità? v.c. uniforme v.c. Bernoulli Rappresentare graficamente la distribuzione (f.massa di probabilità e f. di ripartizione) v.c. Binomiale v.c. Ipergeometrica Svolgimento v.c. Binomiale negativa I parametri della distribuzione ipergeometrica che regola tale processo sono: v.c. Poisson n = 100 × 15 = 20 corrispondente al numero di schede ispezionate b = 5 numero di schede difettose nel lotto H = 100 numero di schede nel lotto A. Iodice () Lezione 12 Statistica 33 / 56 Variabile casuale Ipergeometrica: esempio 4 Lezione 12 Qual’è la probabilità che il compratore acquisti effettivamente il lotto di schede madri? A. Iodice Variabile casuale Affinchè il compratore acquisti il lotto, deve verificarsi che, ispezionando 20 schede ne trovi al massimo una difettosa. La probabilità cercata è dunque v.c. discrete P (X ≤ 1) = P (X = 0) + P (X = 1) v.c. uniforme v.c. Bernoulli v.c. Binomiale v.c. Ipergeometrica P (X = 0) = b H−b x n−x H n P (X = 1) = b H−b x n−x H n v.c. Binomiale negativa v.c. Poisson = 5 100−5 0 20−0 100 20 = 0.3193 = 5 100−5 1 20−1 100 20 = 0.4201 da cui P (X ≤ 1) = P (X = 0) + P (X = 1) = 0.3193 + 0.4201 = 0.7394 A. Iodice () Lezione 12 Statistica 34 / 56 Variabile casuale Ipergeometrica: esempio 4 Lezione 12 A. Iodice Quale il numero atteso di schede difettose che ci si attende di trovare e con quale variabilità? Variabile casuale v.c. discrete Sia p = b H = 5 100 = 0.05 il valore atteso è , v.c. uniforme E(X) = np = 20 × 0.05 = 1 v.c. Bernoulli la varianza è v.c. Binomiale v.c. Ipergeometrica var(X) = np(1 − p) v.c. Binomiale negativa 80 H −n = 20 × 0.05 × 0.95 × = 0.7676 H −1 99 la deviazione standard è v.c. Poisson p √ var(X) = 0.7676 = 0.8761 A. Iodice () Lezione 12 Statistica 35 / 56 Variabile casuale Ipergeometrica: esempio 4 Lezione 12 Rappresentare graficamente la distribuzione (f.massa di probabilità e f. di ripartizione) A. Iodice Variabile casuale v.c. discrete v.c. uniforme v.c. Bernoulli v.c. Binomiale v.c. Ipergeometrica v.c. Binomiale negativa v.c. Poisson A. Iodice () Lezione 12 Statistica 36 / 56 Andamento V.C. Ipergeometrica Lezione 12 A. Iodice Variabile casuale v.c. discrete v.c. uniforme v.c. Bernoulli v.c. Binomiale v.c. Ipergeometrica v.c. Binomiale negativa v.c. Poisson A. Iodice () Lezione 12 Statistica 37 / 56 Andamento V.C. Ipergeometrica Lezione 12 A. Iodice Variabile casuale v.c. discrete v.c. uniforme v.c. Bernoulli v.c. Binomiale v.c. Ipergeometrica v.c. Binomiale negativa v.c. Poisson A. Iodice () Lezione 12 Statistica 38 / 56 Andamento V.C. Ipergeometrica Lezione 12 A. Iodice Variabile casuale v.c. discrete v.c. uniforme v.c. Bernoulli v.c. Binomiale v.c. Ipergeometrica v.c. Binomiale negativa v.c. Poisson A. Iodice () Lezione 12 Statistica 39 / 56 Andamento V.C. Ipergeometrica Lezione 12 A. Iodice Variabile casuale v.c. discrete v.c. uniforme v.c. Bernoulli v.c. Binomiale v.c. Ipergeometrica v.c. Binomiale negativa v.c. Poisson A. Iodice () Lezione 12 Statistica 40 / 56 Andamento V.C. Ipergeometrica Lezione 12 A. Iodice Variabile casuale v.c. discrete v.c. uniforme v.c. Bernoulli v.c. Binomiale v.c. Ipergeometrica v.c. Binomiale negativa v.c. Poisson A. Iodice () Lezione 12 Statistica 41 / 56 Andamento V.C. Ipergeometrica Lezione 12 A. Iodice Variabile casuale v.c. discrete v.c. uniforme v.c. Bernoulli v.c. Binomiale v.c. Ipergeometrica v.c. Binomiale negativa v.c. Poisson A. Iodice () Lezione 12 Statistica 42 / 56 Andamento V.C. Ipergeometrica Lezione 12 A. Iodice Variabile casuale v.c. discrete v.c. uniforme v.c. Bernoulli v.c. Binomiale v.c. Ipergeometrica v.c. Binomiale negativa v.c. Poisson A. Iodice () Lezione 12 Statistica 43 / 56 Variabile casuale Binomiale Negativa Lezione 12 A. Iodice Variabile casuale v.c. discrete v.c. uniforme v.c. Bernoulli La variabile casuale che modellizza il numero di prove , secondo lo schema successo-insuccesso della v.c. di Bernoulli. In particolare X rappresenta il numero si prove necessarie per ottenere k successi, laddove la probabilità di successo nella singola prove è p. La funzione di massa di probabilità è dunque x − 1 P (X = x) = pk (1 − p)x−k ∀x = k, k + 1 . . . k−1 La funzione di probabilità della binomiale negativa è data dal prodotto tra la probabilità p associata al k-mo successo (nella X-ma prova) per la probabità di aver ottenuto k − 1 successi nelle x − 1 prove precedenti. La probabilità di ottenere k − 1 successi in x − 1 prove si calcola con una v.c. binomiale di v.c. Binomiale parametri ((x − 1), p). Formalmente v.c. Ipergeometrica P (X = x) = p × v.c. Binomiale negativa x − 1 pk−1 (1 − p)(x−1)−(k−1) = k−1 {z } | Bin(x−1,p) v.c. Poisson x − 1 = p × pk−1 (1 − p)(x−1−k+1) = k−1 x − 1 = pk (1 − p)x−k k−1 | {z } negBin(k,p) A. Iodice () Lezione 12 Statistica 44 / 56 Variabile casuale Binomiale Negativa Lezione 12 A. Iodice Variabile casuale il valore atteso della distribuzione Binomiale Negativa è v.c. discrete v.c. uniforme E(X) = k v.c. Bernoulli v.c. Binomiale 1 p la varianza della distribuzione Binomiale Negativa è v.c. Ipergeometrica var(X) = k v.c. Binomiale negativa 1−p p2 v.c. Poisson A. Iodice () Lezione 12 Statistica 45 / 56 Variabile casuale Binomiale Negativa Lezione 12 A. Iodice Variabile casuale v.c. discrete v.c. uniforme v.c. Bernoulli v.c. Binomiale v.c. Ipergeometrica v.c. Binomiale negativa v.c. Poisson A. Iodice () Lezione 12 Statistica 46 / 56 Variabile Casuale di Poisson Lezione 12 A. Iodice Variabile casuale v.c. discrete Una v.c. X che rappresenta il numero di volte che si verifica un determinato evento in un intervallo spazio/temporale si definisce di Poisson se la corrispondente funzione di massa di probabilità è v.c. uniforme v.c. Bernoulli P (X = x) = e−λ v.c. Binomiale v.c. Ipergeometrica λx x! dove e rappresenta la base del logaritmo naturale e λ è il parametro della v.c. Binomiale negativa distribuzione e rappresenta il numero medio di eventi nell’unità di tempo v.c. Poisson considerata A. Iodice () Lezione 12 Statistica 47 / 56 Variabile Casuale di Poisson: esempi Lezione 12 A. Iodice Variabile casuale v.c. discrete n. di clienti che accendono un mutuo in una banca ogni settimana v.c. uniforme n. di incidenti che si verificano lungo un determinato tratto autostradale v.c. Bernoulli n. di globuli rossi per mm3 di sangue di un certo paziente v.c. Binomiale n. di bombe cadute per km2 a Londra durante la seconda guerra mondiale v.c. Ipergeometrica n. di errori tipografici su una pagina commessi da un editore v.c. Binomiale negativa v.c. Poisson A. Iodice () Lezione 12 Statistica 48 / 56 Variabile Casuale di Poisson Lezione 12 A. Iodice Variabile casuale il valore atteso della distribuzione Poisson è v.c. discrete v.c. uniforme E(X) = λ v.c. Bernoulli v.c. Binomiale la varianza della distribuzione Poisson è v.c. Ipergeometrica var(X) = λ v.c. Binomiale negativa v.c. Poisson A. Iodice () Lezione 12 Statistica 49 / 56 Andamento Variabile Casuale di Poisson Lezione 12 A. Iodice Variabile casuale v.c. discrete v.c. uniforme v.c. Bernoulli v.c. Binomiale v.c. Ipergeometrica v.c. Binomiale negativa v.c. Poisson A. Iodice () Lezione 12 Statistica 50 / 56 Andamento Variabile Casuale di Poisson Lezione 12 A. Iodice Variabile casuale v.c. discrete v.c. uniforme v.c. Bernoulli v.c. Binomiale v.c. Ipergeometrica v.c. Binomiale negativa v.c. Poisson A. Iodice () Lezione 12 Statistica 51 / 56 Andamento Variabile Casuale di Poisson Lezione 12 A. Iodice Variabile casuale v.c. discrete v.c. uniforme v.c. Bernoulli v.c. Binomiale v.c. Ipergeometrica v.c. Binomiale negativa v.c. Poisson A. Iodice () Lezione 12 Statistica 52 / 56 Andamento Variabile Casuale di Poisson Lezione 12 A. Iodice Variabile casuale v.c. discrete v.c. uniforme v.c. Bernoulli v.c. Binomiale v.c. Ipergeometrica v.c. Binomiale negativa v.c. Poisson A. Iodice () Lezione 12 Statistica 53 / 56 Andamento Variabile Casuale di Poisson Lezione 12 A. Iodice Variabile casuale v.c. discrete v.c. uniforme v.c. Bernoulli v.c. Binomiale v.c. Ipergeometrica v.c. Binomiale negativa v.c. Poisson A. Iodice () Lezione 12 Statistica 54 / 56 Variabile Casuale di Poisson: esempio 1 Lezione 12 A. Iodice Variabile casuale v.c. discrete Sia 1.2 il numero medio di incidenti che si verificano ogni settimana sull’autostrada Salerno-Reggio Calabria. Qual’è la probabilità che la prossima settimana ci sia almeno un incidente? v.c. uniforme Svolgimento v.c. Bernoulli La variabile casuale in questione segue una distribuzione di Poisson di parametro λ = 1.2, formalmente X ∼ P oi(λ = 1.2). v.c. Binomiale v.c. Ipergeometrica P (X ≥ 1) = 1 − P (X = 0) = 1 − e−λ v.c. Binomiale negativa = 1 − e−1.2 v.c. Poisson A. Iodice () λx 1.20 = e−1.2 x! 0! 1 = 1 − 0.3012 = 0.6988 1 Lezione 12 Statistica 55 / 56 Variabile Casuale di Poisson: esempio 2 Lezione 12 A. Iodice Variabile casuale v.c. discrete v.c. uniforme Una compagnia di assicurazioni effettua mediamente 4 rimborsi consistenti al mese. Qual’è la probabilità che il prossimo mese non ci siano rimborsi? Qual’è la probabilità che il prossimo mese ci siano al massimo due rimborsi? Qual’è la probabilità che il prossimo mese ci siano oltre tre rimborsi? Svolgimento La variabile casuale in questione segue una distribuzione di Poisson di parametro λ = 4, formalmente X ∼ P oi(λ = 4). v.c. Bernoulli P (X = 0) = 1 − e v.c. Binomiale v.c. Ipergeometrica −λ λx x! =e −4 40 0! = 0.018 P (X ≤ 2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) = v.c. Binomiale negativa =e −4 40 0! +e −4 41 1! −4 +e 42 2! = 0.018 + 0.073 + 0.146 = 0.273 v.c. Poisson P (X > 3) = 1 − [P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3)] = " # 0 1 2 3 −4 4 −4 4 −4 4 −4 4 =1− e +e +e +e = 0! 1! 2! 3! = 1 − [0.018 + 0.073 + 0.146 + 0.195] = 0.568 A. Iodice () Lezione 12 Statistica 56 / 56
