Lezione 12 - Statistica

Lezione 12
A. Iodice
Variabile
casuale
v.c. discrete
Lezione 12
v.c. uniforme
Statistica
v.c. Bernoulli
v.c. Binomiale
Alfonso Iodice D’Enza
[email protected]
v.c.
Ipergeometrica
v.c. Binomiale
negativa
v.c. Poisson
Università degli studi di Cassino
A. Iodice ()
Lezione 12
Statistica
1 / 56
Outline
Lezione 12
1
Variabile casuale
2
v.c. discrete
3
v.c. uniforme
4
v.c. Bernoulli
v.c.
Ipergeometrica
5
v.c. Binomiale
v.c. Binomiale
negativa
6
v.c. Ipergeometrica
7
v.c. Binomiale negativa
8
v.c. Poisson
A. Iodice
Variabile
casuale
v.c. discrete
v.c. uniforme
v.c. Bernoulli
v.c. Binomiale
v.c. Poisson
A. Iodice ()
Lezione 12
Statistica
2 / 56
Variabile casuale
Lezione 12
A. Iodice
Variabile
casuale
Una variabile casuale (v.c.) una funzione misurabile e a valori
reali definita su uno spazio Ω. In altre parole una v.c. una
regola che associa ad ogni evento un numero reale.
v.c. discrete
v.c. uniforme
v.c. Bernoulli
v.c. Binomiale
v.c.
Ipergeometrica
v.c. Binomiale
negativa
v.c. Poisson
A. Iodice ()
Lezione 12
Statistica
3 / 56
Esempi di variabile casuale
Lezione 12
A. Iodice
Variabile
casuale
Data la prova lancio di un dado il cui spazio campionario
Ω = (E1 , E2 , E3 , E4 , E5 , E6 ), possibile definire diverse variabili
casuali:
v.c. discrete
X :numero della faccia uscita
v.c. uniforme
v.c. Bernoulli
X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
v.c. Binomiale
v.c.
Ipergeometrica
v.c. Binomiale
negativa
Y : tre volte il numero uscito meno il numero 10
v.c. Poisson
Y = {−7, −4, −1, 2, 5, 8}
A. Iodice ()
Lezione 12
Statistica
4 / 56
probabilità e variabili casuali
Lezione 12
A. Iodice
Variabile
casuale
Si consideri la prova lancio di quattro monete e la variabile
casuale X = numero di teste (T). I possibili eventi della prova
sono
v.c. discrete
v.c. uniforme
X ={T T T T, T CT T, T T CT, T T T C, CT T T,
v.c. Bernoulli
T CCT, T CT C, T T CC, CCT T, CT CT,
v.c. Binomiale
CT T C, T CCC, CCCT, CT CC, CCT C, CCCC}
v.c.
Ipergeometrica
v.c. Binomiale
negativa
I valori della variabile casuale X corrispondenti agli eventi
sono
v.c. Poisson
X ={4, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2,
2, 2, 1, 1, 1, 1, 0}
i valori che la v.c. X pu assumere sono {0, 1, 2, 3, 4}.
A. Iodice ()
Lezione 12
Statistica
5 / 56
probabilità e variabili casuali
Lezione 12
Le probabilità associate ai valori della variabile casuale sono
A. Iodice
P (X = 0) = P (CCCC) =
Variabile
casuale
1
16
v.c. discrete
v.c. uniforme
P (X = 1) = P (T CCC ∪ CT CC ∪ CCT C ∪ CCCT ) =
v.c. Bernoulli
= P (T CCC) + P (CT CC) + P (CCT C)+
4
+ P (CCCT ) =
16
v.c. Binomiale
v.c.
Ipergeometrica
v.c. Binomiale
negativa
P (X = 2) = P (T T CC ∪ T CCT ∪ CT T C ∪ CCT T ∪
v.c. Poisson
∪ T CT C ∪ CT CT ) = P (T T CC) + P (T CCT )+
P (CT T C) + P (CCT T ) + P (T CT C)+
6
+ P (CT CT ) =
16
A. Iodice ()
Lezione 12
Statistica
6 / 56
probabilità e variabili casuali
Lezione 12
A. Iodice
Variabile
casuale
v.c. discrete
v.c. uniforme
P (X = 3) = P (CT T T ∪ T CT T ∪ T T CT ∪ T T T C) =
P (T T T C) + P (CT T T ) + P (T CT T )+
4
+ P (T T CT ) =
16
v.c. Bernoulli
v.c. Binomiale
v.c.
Ipergeometrica
v.c. Binomiale
negativa
P (X = 4) = P (T T T T ) =
v.c. Poisson
A. Iodice ()
Lezione 12
1
16
Statistica
7 / 56
Distribuzione di probabilità di una v.c.
Lezione 12
A. Iodice
Variabile
casuale
Avendo calcolato le probabilità associate ai diversi valori delle
v.c. possibile riassumere i risultati nel seguente modo
v.c. discrete
v.c. uniforme
xi
0
1
2
3
4
v.c. Bernoulli
v.c. Binomiale
v.c.
Ipergeometrica
v.c. Binomiale
negativa
v.c. Poisson
A. Iodice ()
Lezione 12
pi
1/16
4/16
6/16
4/16
1/16
Statistica
8 / 56
Distribuzione di probabilità di una v.c.
Lezione 12
A. Iodice
Variabile
casuale
v.c. discrete
v.c. uniforme
v.c. Bernoulli
v.c. Binomiale
v.c.
Ipergeometrica
Avendo la distribuzione di probabilità per la variabile casuale
X, possibile calcolare la probabilità di qualsiasi evento
ottenibile a partire dallo spazio campione Ω. Ad esempio
l’evento A: escono almeno 3 teste
4
1
5
+
=
16 16
16
Analogamente l’evento B: escono fino a 2 teste
P (A) = P (X = 3) + P (X = 4) =
v.c. Binomiale
negativa
v.c. Poisson
P (B) = P (X = 0)+P (X = 1)+P (X = 2) =
A. Iodice ()
Lezione 12
1 4 6
11
+ + =
16 16 16
16
Statistica
9 / 56
Distribuzione di probabilità di una v.c.
Lezione 12
A. Iodice
Variabile
casuale
v.c. discrete
una variabile casuale si definisce discreta se mette in
corrispondenza gli eventi di una prova con un insieme
finito o numerabile di numeri reali
v.c. uniforme
v.c. Bernoulli
v.c. Binomiale
una variabile casuale si definisce continua se essa può
assumere tutti i valori compresi in un intervallo reale
v.c.
Ipergeometrica
v.c. Binomiale
negativa
v.c. Poisson
A. Iodice ()
Lezione 12
Statistica
10 / 56
Distribuzione di probabilità di una v.c.
Lezione 12
A. Iodice
La distribuzione di probabilità di una v.c. discreta (probability mass function)
data da
Variabile
casuale
xi
x1
x2
...
xi
...
v.c. discrete
v.c. uniforme
v.c. Bernoulli
v.c. Binomiale
v.c.
Ipergeometrica
v.c. Binomiale
negativa
pi
p1
p2
...
pi
...
Perchè sia ben specificata la v.c. discreta deve soddisfare i postulati di
Kolmogorov, ovvero deve risultare che
v.c. Poisson
pi ≥ 0, ∀i = 1, 2, . . . e che
+∞
X
pi = 1
i=1
A. Iodice ()
Lezione 12
Statistica
11 / 56
Funzione di ripartizione per v.c. discrete
Lezione 12
A. Iodice
Variabile
casuale
v.c. discrete
v.c. uniforme
La funzione di ripartizione F (x0 ) di una v.c. discreta calcolata nel punto x0 data
da
X
pi
F (x0 ) = P (X ≤ x0 ) =
x≤x0
v.c. Bernoulli
v.c. Binomiale
v.c.
Ipergeometrica
v.c. Binomiale
negativa
Caratteristiche di F (x)
La funzione di ripartizione non decrescente e tale che 0 ≤ F (x) ≤ 1
v.c. Poisson
A. Iodice ()
Lezione 12
Statistica
12 / 56
Distribuzione di probabilità di una v.c.
Lezione 12
A. Iodice
Variabile
casuale
La funzione di ripartizione associata alla variabile casuale numero di teste nella
prova lancio di quattro monete
v.c. discrete
xi
0
1
2
3
4
v.c. uniforme
v.c. Bernoulli
v.c. Binomiale
v.c.
Ipergeometrica
v.c. Binomiale
negativa
v.c. Poisson
pi
1/16
4/16
6/16
4/16
1/16
F (xi )
1/16
5/16
11/16
15/16
16/16
Nota
Dalla funzione di ripartizione possibile risalire alla distribuzione di probabilità della
v.c. X.
A. Iodice ()
Lezione 12
Statistica
13 / 56
Rappresentazioni di v.c. discrete
Lezione 12
A. Iodice
Per rappresentare la distribuzione di probabilità di una v.c. discreta si ricorre al
diagramma ad aste
Variabile
casuale
v.c. discrete
v.c. uniforme
v.c. Bernoulli
v.c. Binomiale
v.c.
Ipergeometrica
v.c. Binomiale
negativa
v.c. Poisson
A. Iodice ()
Lezione 12
Statistica
14 / 56
Rappresentazioni di v.c. discrete
Lezione 12
A. Iodice
La funzione di ripartizione viene rappresentata tramite un diagramma a scale
Variabile
casuale
v.c. discrete
v.c. uniforme
v.c. Bernoulli
v.c. Binomiale
v.c.
Ipergeometrica
v.c. Binomiale
negativa
v.c. Poisson
A. Iodice ()
Lezione 12
Statistica
15 / 56
Valore atteso e varianza di v.c. discrete
Lezione 12
A. Iodice
Variabile
casuale
Valore atteso
Il valore atteso rappresenta il valore di tendenza centrale di una variabile casuale
v.c. discrete
v.c. uniforme
E(X) =
v.c. Bernoulli
n
X
xi f (xi )
i=1
v.c. Binomiale
v.c.
Ipergeometrica
v.c. Binomiale
negativa
Varianza
La varianza di una v.c. è il valore atteso degli scarti al quadrato da E(X).
v.c. Poisson
V ar(X) =
n
X
(xi − E(X))2 f (xi )
i=1
A. Iodice ()
Lezione 12
Statistica
16 / 56
Variabile casuale uniforme
Lezione 12
A. Iodice
Variabile
casuale
Una variabile casuale X si dice seguire una distribuzione Uniforme di parametro n
se assume valori su un insieme finito x1 , x2 , . . . , xn e la sua funzione di
probabilità la seguente
v.c. discrete
v.c. uniforme
P (X = xi ) =
v.c. Bernoulli
1
∀i = 1, . . . , n
n
v.c. Binomiale
la media o valore atteso della distribuzione uniforme
v.c.
Ipergeometrica
v.c. Binomiale
negativa
E(X) =
n
X
i=1
if (i) =
n
X
i
n+1
=
n
2
i=1
v.c. Poisson
la varianza della distribuzione uniforme var(X) =
A. Iodice ()
Lezione 12
n2 −1
12
Statistica
17 / 56
Variabile casuale uniforme
Lezione 12
A. Iodice
Variabile
casuale
v.c. discrete
v.c. uniforme
All’esperimento che consiste nel lancio di un dado equilibrato si associa una
variabile casuale uniforme discreta di parametro n = 6. Calcolare valore atteso e
varianza della v.c. associata all’esperimento:
v.c. Bernoulli
la media o valore atteso della distribuzione uniforme
E(X) = n+1
= 6+1
= 3.5
2
2
v.c. Binomiale
v.c.
Ipergeometrica
la varianza della
distribuzione
uniforme
2
2
−1
−1
var(X) = n 12
= 6 12
= 35
= 2.92
12
v.c. Binomiale
negativa
v.c. Poisson
A. Iodice ()
Lezione 12
Statistica
18 / 56
Variabile casuale di Bernoulli
Lezione 12
A. Iodice
Variabile
casuale
v.c. discrete
v.c. uniforme
E’ una v.c. che trae origine da una prova nella quale interessa verificare se
l’evento E si sia verificato o meno. E’ legata a prove di tipo dicotomico (o
dicotomizzabili) i cui due possibili risultati vengono indicati con i termini successo
(1) e insucesso (0)
v.c. Bernoulli
P (X = x) = px (1 − p)1−x ∀i = 1, . . . , n
v.c. Binomiale
v.c.
Ipergeometrica
la media o valore atteso della distribuzione di Bernoulli E(X) = p
v.c. Binomiale
negativa
la varianza della distribuzione di Bernoulli var(X) = p ∗ (1 − p)
v.c. Poisson
A. Iodice ()
Lezione 12
Statistica
19 / 56
Variabile casuale Binomiale
Lezione 12
A. Iodice
Variabile
casuale
Consiste nel ripetere n volte, e nelle medesime condizioni, lo schema
successo-insuccesso della v.c. di Bernoulli. In particolare X rappresenta il numero
si successi ottenuti in n prove. La funzione di massa di probabilità è dunque
v.c. discrete
P (X = x) =
v.c. uniforme
v.c. Bernoulli
v.c. Binomiale
v.c.
Ipergeometrica
v.c. Binomiale
negativa
v.c. Poisson
n
x
px (1 − p)n−x ∀i = 1, . . . , n
ovvero si contano le combinazioni di risultati che determinano x successi ed
n − x insuccessi, e ad essi si associa la probabilità p × p × . . . × p = px
probabilità di ottenere x successi e la probabilità
(1 − p) × (1 − p) × . . . × (1 − p) = (1 − p)n−x di ottenere (n − x) insuccessi.
nota
Lo schema binomiale equivale ad una estrazione con ripetizione di n (numero di
prove) palline da un’urna che ne contiene H: si considera che nell’urna ci siano b
palline bianche e H − b palline nere, il successo corrisponde all’estrazione di una
b
pallina bianca e quindi la probabilità corrispondente è p = H
.
A. Iodice ()
Lezione 12
Statistica
20 / 56
Variabile casuale Binomiale
Lezione 12
A. Iodice
Variabile
casuale
il valore atteso della distribuzione Binomiale è
v.c. discrete
v.c. uniforme
E(X) = np
v.c. Bernoulli
v.c. Binomiale
la varianza della distribuzione Binomiale
v.c.
Ipergeometrica
var(X) = np ∗ (1 − p)
v.c. Binomiale
negativa
v.c. Poisson
A. Iodice ()
Lezione 12
Statistica
21 / 56
Variabile casuale Binomiale: esempio 2
Lezione 12
A. Iodice
Variabile
casuale
v.c. discrete
v.c. uniforme
Si considerino i seguenti esempi di esperimenti probabilistici distribuiti secondo
una v.c. Binomiale. Determinare i parametri della v.c. , indicare inoltre la media
e la varianza.
Si ripete per 10 volte il lancio di un dado, se il risultato è un numero pari.
v.c. Bernoulli
I parametri della distribuzione sono n = 10 e
p = P (E2 ∪ E4 ∪ E6 ) = 16 + 16 + 16 = 12
Media e varianza sono rispettivamente
E(X) = np = 10 × 12 = 5 e var(X) = 10 × 12 ×
v.c. Binomiale
v.c.
Ipergeometrica
v.c. Binomiale
negativa
1
2
= 2.5
v.c. Poisson
A. Iodice ()
Lezione 12
Statistica
22 / 56
Variabile casuale Binomiale: esempio 3
Lezione 12
A. Iodice
Variabile
casuale
Si consideri un campione di 200 cittadini europei, in cui l’80% è rappresentato da
cittadini italiani. Il successo consiste nell’estrarre dal campione un cittadino
straniero, le prove sono 25 (è possibile che uno stesso cittadino sia selezionato pi˘
volte).
v.c. discrete
Quali sono i parametri della distribuzione che regola tale processo?
v.c. uniforme
Quale il numero atteso di cittadini stranieri e con quale variabilità?
v.c. Bernoulli
Rappresentare graficamente la distribuzione (f.massa di probabilità e f. di
ripartizione)
v.c. Binomiale
v.c.
Ipergeometrica
v.c. Binomiale
negativa
Qual’è la probabilità di selezionare tra 7 e 4 cittadini stranieri?
Svolgimento
I parametri della distribuzione sono n = 25; l’80% dei 200 individui
considerati è italiano, pertanto il 20% è costituito da stranieri, quindi
p = 0.2
v.c. Poisson
Media e varianza sono rispettivamente E(X) = np = 25 × 0.2 = 5 e
var(X) = 25 × 0.2 × 0.8 = 4
A. Iodice ()
Lezione 12
Statistica
23 / 56
Variabile casuale Binomiale: esempio 3
Lezione 12
A. Iodice
Variabile
casuale
v.c. discrete
v.c. uniforme
v.c. Bernoulli
v.c. Binomiale
v.c.
Ipergeometrica
v.c. Binomiale
negativa
v.c. Poisson
A. Iodice ()
Lezione 12
Statistica
24 / 56
Variabile casuale Binomiale: esempio 3
Lezione 12
Qual’è la probabilità di selezionare tra 4 e 7 cittadini stranieri?
A. Iodice
Variabile
casuale
v.c. discrete
v.c. uniforme
v.c. Bernoulli
v.c. Binomiale
v.c.
Ipergeometrica
v.c. Binomiale
negativa
v.c. Poisson
Dunque P (4 ≤ X ≤ 7) = F (7) − F (3) = 0.6568
A. Iodice ()
Lezione 12
Statistica
25 / 56
Andamento V.C. Binomiale
Lezione 12
A. Iodice
Variabile
casuale
v.c. discrete
v.c. uniforme
v.c. Bernoulli
v.c. Binomiale
v.c.
Ipergeometrica
v.c. Binomiale
negativa
v.c. Poisson
A. Iodice ()
Lezione 12
Statistica
26 / 56
Andamento V.C. Binomiale
Lezione 12
A. Iodice
Variabile
casuale
v.c. discrete
v.c. uniforme
v.c. Bernoulli
v.c. Binomiale
v.c.
Ipergeometrica
v.c. Binomiale
negativa
v.c. Poisson
A. Iodice ()
Lezione 12
Statistica
27 / 56
Andamento V.C. Binomiale
Lezione 12
A. Iodice
Variabile
casuale
v.c. discrete
v.c. uniforme
v.c. Bernoulli
v.c. Binomiale
v.c.
Ipergeometrica
v.c. Binomiale
negativa
v.c. Poisson
A. Iodice ()
Lezione 12
Statistica
28 / 56
Andamento V.C. Binomiale
Lezione 12
A. Iodice
Variabile
casuale
v.c. discrete
v.c. uniforme
v.c. Bernoulli
v.c. Binomiale
v.c.
Ipergeometrica
v.c. Binomiale
negativa
v.c. Poisson
A. Iodice ()
Lezione 12
Statistica
29 / 56
Andamento V.C. Binomiale
Lezione 12
A. Iodice
Variabile
casuale
v.c. discrete
v.c. uniforme
v.c. Bernoulli
v.c. Binomiale
v.c.
Ipergeometrica
v.c. Binomiale
negativa
v.c. Poisson
A. Iodice ()
Lezione 12
Statistica
30 / 56
Variabile casuale Ipergeometrica
Lezione 12
A. Iodice
Variabile
casuale
v.c. discrete
v.c. uniforme
La V.C. ipergeometrica è del tutto simile allo schema binomiale con la differenza
che l’estrazione avviene senza ripetizione: in altre parole, le prove successive non
sono indipendenti, il risultato di ciascuna prova condiziona il risultato della prova
successiva. Si considerino le seguenti quantità:
v.c. Bernoulli
n è il numero di prove.
v.c. Binomiale
H è il numero complessivo di palline nell’urna
v.c.
Ipergeometrica
b è il numero di palline bianche presenti nell’urna; di conseguenza le
restanti H − b sono nere.
v.c. Binomiale
negativa
Il ’successo’ in ciascuna prova si ottiene se la pallina estratta è bianca: la
b
.
probabilità di successo è dunque p = H
v.c. Poisson
sia x è il numero di successi in n prove.
A. Iodice ()
Lezione 12
Statistica
31 / 56
Variabile casuale Ipergeometrica
Lezione 12
La funzione di massa di probabilità con parametri n, b, H è
A. Iodice
P (X = x) = f (x) =
Variabile
casuale
v.c. discrete
b H−b
x n−x
H
n
H
n
rappresenta il numero di combinazioni di risultati dell’estrazione di n
palline da un’urna che ne contiene H
b
rappresenta il numero di combinazioni di x successi (estrazione di
x
palline bianche) che si possono ottenere sapendo che nell’urna ci sono b
palline bianche;
H−b
rappresenta il numero di combinazioni di n − x insuccessi
n−x
(estrazione di palline nere) che si possono ottenere sapendo che nell’urna ci
sono H − b palline nere;
v.c. uniforme
v.c. Bernoulli
v.c. Binomiale
v.c.
Ipergeometrica
v.c. Binomiale
negativa
v.c. Poisson
il valore atteso e la varianza della distribuzione Ipergeometrica sono
rispettivamente,
E(X) = np , var(X) = np(1 − p)
A. Iodice ()
Lezione 12
H −n
H −1
Statistica
32 / 56
Variabile casuale Ipergeometrica: esempio 4
Lezione 12
A. Iodice
Un lotto di 100 schede madri contiene 5 schede difettose. Il compratore accetta
di acquistare il lotto solo se, ispezionando 1/5 delle schede del lotto, ne trova al
massimo una difettosa.
Variabile
casuale
Qual’è la probabilità che il compratore acquisti effettivamente il lotto di
schede madri?
v.c. discrete
Quale il numero atteso di schede difettose che ci si attende di trovare e con
quale variabilità?
v.c. uniforme
v.c. Bernoulli
Rappresentare graficamente la distribuzione (f.massa di probabilità e f. di
ripartizione)
v.c. Binomiale
v.c.
Ipergeometrica
Svolgimento
v.c. Binomiale
negativa
I parametri della distribuzione ipergeometrica che regola tale processo sono:
v.c. Poisson
n = 100 × 15 = 20 corrispondente al numero di schede
ispezionate
b = 5 numero di schede difettose nel lotto
H = 100 numero di schede nel lotto
A. Iodice ()
Lezione 12
Statistica
33 / 56
Variabile casuale Ipergeometrica: esempio 4
Lezione 12
Qual’è la probabilità che il compratore acquisti effettivamente il lotto di
schede madri?
A. Iodice
Variabile
casuale
Affinchè il compratore acquisti il lotto, deve verificarsi che, ispezionando 20
schede ne trovi al massimo una difettosa. La probabilità cercata è dunque
v.c. discrete
P (X ≤ 1) = P (X = 0) + P (X = 1)
v.c. uniforme
v.c. Bernoulli
v.c. Binomiale
v.c.
Ipergeometrica
P (X = 0) =
b H−b
x n−x
H
n
P (X = 1) =
b H−b
x n−x
H
n
v.c. Binomiale
negativa
v.c. Poisson
=
5 100−5
0
20−0
100
20
= 0.3193
=
5 100−5
1
20−1
100
20
= 0.4201
da cui
P (X ≤ 1) = P (X = 0) + P (X = 1) = 0.3193 + 0.4201 = 0.7394
A. Iodice ()
Lezione 12
Statistica
34 / 56
Variabile casuale Ipergeometrica: esempio 4
Lezione 12
A. Iodice
Quale il numero atteso di schede difettose che ci si attende di trovare e con
quale variabilità?
Variabile
casuale
v.c. discrete
Sia p =
b
H
=
5
100
= 0.05
il valore atteso è ,
v.c. uniforme
E(X) = np = 20 × 0.05 = 1
v.c. Bernoulli
la varianza è
v.c. Binomiale
v.c.
Ipergeometrica
var(X) = np(1 − p)
v.c. Binomiale
negativa
80
H −n
= 20 × 0.05 × 0.95 ×
= 0.7676
H −1
99
la deviazione standard è
v.c. Poisson
p
√
var(X) = 0.7676 = 0.8761
A. Iodice ()
Lezione 12
Statistica
35 / 56
Variabile casuale Ipergeometrica: esempio 4
Lezione 12
Rappresentare graficamente la distribuzione (f.massa di probabilità e f. di
ripartizione)
A. Iodice
Variabile
casuale
v.c. discrete
v.c. uniforme
v.c. Bernoulli
v.c. Binomiale
v.c.
Ipergeometrica
v.c. Binomiale
negativa
v.c. Poisson
A. Iodice ()
Lezione 12
Statistica
36 / 56
Andamento V.C. Ipergeometrica
Lezione 12
A. Iodice
Variabile
casuale
v.c. discrete
v.c. uniforme
v.c. Bernoulli
v.c. Binomiale
v.c.
Ipergeometrica
v.c. Binomiale
negativa
v.c. Poisson
A. Iodice ()
Lezione 12
Statistica
37 / 56
Andamento V.C. Ipergeometrica
Lezione 12
A. Iodice
Variabile
casuale
v.c. discrete
v.c. uniforme
v.c. Bernoulli
v.c. Binomiale
v.c.
Ipergeometrica
v.c. Binomiale
negativa
v.c. Poisson
A. Iodice ()
Lezione 12
Statistica
38 / 56
Andamento V.C. Ipergeometrica
Lezione 12
A. Iodice
Variabile
casuale
v.c. discrete
v.c. uniforme
v.c. Bernoulli
v.c. Binomiale
v.c.
Ipergeometrica
v.c. Binomiale
negativa
v.c. Poisson
A. Iodice ()
Lezione 12
Statistica
39 / 56
Andamento V.C. Ipergeometrica
Lezione 12
A. Iodice
Variabile
casuale
v.c. discrete
v.c. uniforme
v.c. Bernoulli
v.c. Binomiale
v.c.
Ipergeometrica
v.c. Binomiale
negativa
v.c. Poisson
A. Iodice ()
Lezione 12
Statistica
40 / 56
Andamento V.C. Ipergeometrica
Lezione 12
A. Iodice
Variabile
casuale
v.c. discrete
v.c. uniforme
v.c. Bernoulli
v.c. Binomiale
v.c.
Ipergeometrica
v.c. Binomiale
negativa
v.c. Poisson
A. Iodice ()
Lezione 12
Statistica
41 / 56
Andamento V.C. Ipergeometrica
Lezione 12
A. Iodice
Variabile
casuale
v.c. discrete
v.c. uniforme
v.c. Bernoulli
v.c. Binomiale
v.c.
Ipergeometrica
v.c. Binomiale
negativa
v.c. Poisson
A. Iodice ()
Lezione 12
Statistica
42 / 56
Andamento V.C. Ipergeometrica
Lezione 12
A. Iodice
Variabile
casuale
v.c. discrete
v.c. uniforme
v.c. Bernoulli
v.c. Binomiale
v.c.
Ipergeometrica
v.c. Binomiale
negativa
v.c. Poisson
A. Iodice ()
Lezione 12
Statistica
43 / 56
Variabile casuale Binomiale Negativa
Lezione 12
A. Iodice
Variabile
casuale
v.c. discrete
v.c. uniforme
v.c. Bernoulli
La variabile casuale che modellizza il numero di prove , secondo lo schema
successo-insuccesso della v.c. di Bernoulli. In particolare X rappresenta il numero
si prove necessarie per ottenere k successi, laddove la probabilità di successo nella
singola prove è p. La funzione di massa di probabilità è dunque
x − 1
P (X = x) =
pk (1 − p)x−k ∀x = k, k + 1 . . .
k−1
La funzione di probabilità della binomiale negativa è data dal prodotto tra la probabilità p associata al
k-mo successo (nella X-ma prova) per la probabità di aver ottenuto k − 1 successi nelle x − 1 prove
precedenti. La probabilità di ottenere k − 1 successi in x − 1 prove si calcola con una v.c. binomiale di
v.c. Binomiale
parametri ((x − 1), p). Formalmente
v.c.
Ipergeometrica
P (X = x) = p ×
v.c. Binomiale
negativa
x − 1
pk−1 (1 − p)(x−1)−(k−1) =
k−1
{z
}
|
Bin(x−1,p)
v.c. Poisson
x − 1
=
p × pk−1 (1 − p)(x−1−k+1) =
k−1
x − 1
=
pk (1 − p)x−k
k−1
|
{z
}
negBin(k,p)
A. Iodice ()
Lezione 12
Statistica
44 / 56
Variabile casuale Binomiale Negativa
Lezione 12
A. Iodice
Variabile
casuale
il valore atteso della distribuzione Binomiale Negativa è
v.c. discrete
v.c. uniforme
E(X) = k
v.c. Bernoulli
v.c. Binomiale
1
p
la varianza della distribuzione Binomiale Negativa è
v.c.
Ipergeometrica
var(X) = k
v.c. Binomiale
negativa
1−p
p2
v.c. Poisson
A. Iodice ()
Lezione 12
Statistica
45 / 56
Variabile casuale Binomiale Negativa
Lezione 12
A. Iodice
Variabile
casuale
v.c. discrete
v.c. uniforme
v.c. Bernoulli
v.c. Binomiale
v.c.
Ipergeometrica
v.c. Binomiale
negativa
v.c. Poisson
A. Iodice ()
Lezione 12
Statistica
46 / 56
Variabile Casuale di Poisson
Lezione 12
A. Iodice
Variabile
casuale
v.c. discrete
Una v.c. X che rappresenta il numero di volte che si verifica un determinato
evento in un intervallo spazio/temporale si definisce di Poisson se la
corrispondente funzione di massa di probabilità è
v.c. uniforme
v.c. Bernoulli
P (X = x) = e−λ
v.c. Binomiale
v.c.
Ipergeometrica
λx
x!
dove e rappresenta la base del logaritmo naturale e λ è il parametro della
v.c. Binomiale
negativa
distribuzione e rappresenta il numero medio di eventi nell’unità di tempo
v.c. Poisson
considerata
A. Iodice ()
Lezione 12
Statistica
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Variabile Casuale di Poisson: esempi
Lezione 12
A. Iodice
Variabile
casuale
v.c. discrete
n. di clienti che accendono un mutuo in una banca ogni settimana
v.c. uniforme
n. di incidenti che si verificano lungo un determinato tratto autostradale
v.c. Bernoulli
n. di globuli rossi per mm3 di sangue di un certo paziente
v.c. Binomiale
n. di bombe cadute per km2 a Londra durante la seconda guerra mondiale
v.c.
Ipergeometrica
n. di errori tipografici su una pagina commessi da un editore
v.c. Binomiale
negativa
v.c. Poisson
A. Iodice ()
Lezione 12
Statistica
48 / 56
Variabile Casuale di Poisson
Lezione 12
A. Iodice
Variabile
casuale
il valore atteso della distribuzione Poisson è
v.c. discrete
v.c. uniforme
E(X) = λ
v.c. Bernoulli
v.c. Binomiale
la varianza della distribuzione Poisson è
v.c.
Ipergeometrica
var(X) = λ
v.c. Binomiale
negativa
v.c. Poisson
A. Iodice ()
Lezione 12
Statistica
49 / 56
Andamento Variabile Casuale di Poisson
Lezione 12
A. Iodice
Variabile
casuale
v.c. discrete
v.c. uniforme
v.c. Bernoulli
v.c. Binomiale
v.c.
Ipergeometrica
v.c. Binomiale
negativa
v.c. Poisson
A. Iodice ()
Lezione 12
Statistica
50 / 56
Andamento Variabile Casuale di Poisson
Lezione 12
A. Iodice
Variabile
casuale
v.c. discrete
v.c. uniforme
v.c. Bernoulli
v.c. Binomiale
v.c.
Ipergeometrica
v.c. Binomiale
negativa
v.c. Poisson
A. Iodice ()
Lezione 12
Statistica
51 / 56
Andamento Variabile Casuale di Poisson
Lezione 12
A. Iodice
Variabile
casuale
v.c. discrete
v.c. uniforme
v.c. Bernoulli
v.c. Binomiale
v.c.
Ipergeometrica
v.c. Binomiale
negativa
v.c. Poisson
A. Iodice ()
Lezione 12
Statistica
52 / 56
Andamento Variabile Casuale di Poisson
Lezione 12
A. Iodice
Variabile
casuale
v.c. discrete
v.c. uniforme
v.c. Bernoulli
v.c. Binomiale
v.c.
Ipergeometrica
v.c. Binomiale
negativa
v.c. Poisson
A. Iodice ()
Lezione 12
Statistica
53 / 56
Andamento Variabile Casuale di Poisson
Lezione 12
A. Iodice
Variabile
casuale
v.c. discrete
v.c. uniforme
v.c. Bernoulli
v.c. Binomiale
v.c.
Ipergeometrica
v.c. Binomiale
negativa
v.c. Poisson
A. Iodice ()
Lezione 12
Statistica
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Variabile Casuale di Poisson: esempio 1
Lezione 12
A. Iodice
Variabile
casuale
v.c. discrete
Sia 1.2 il numero medio di incidenti che si verificano ogni settimana
sull’autostrada Salerno-Reggio Calabria. Qual’è la probabilità che la prossima
settimana ci sia almeno un incidente?
v.c. uniforme
Svolgimento
v.c. Bernoulli
La variabile casuale in questione segue una distribuzione di Poisson di parametro
λ = 1.2, formalmente X ∼ P oi(λ = 1.2).
v.c. Binomiale
v.c.
Ipergeometrica
P (X ≥ 1) = 1 − P (X = 0) = 1 − e−λ
v.c. Binomiale
negativa
= 1 − e−1.2
v.c. Poisson
A. Iodice ()
λx
1.20
= e−1.2
x!
0!
1
= 1 − 0.3012 = 0.6988
1
Lezione 12
Statistica
55 / 56
Variabile Casuale di Poisson: esempio 2
Lezione 12
A. Iodice
Variabile
casuale
v.c. discrete
v.c. uniforme
Una compagnia di assicurazioni effettua mediamente 4 rimborsi consistenti al
mese.
Qual’è la probabilità che il prossimo mese non ci siano rimborsi?
Qual’è la probabilità che il prossimo mese ci siano al massimo due rimborsi?
Qual’è la probabilità che il prossimo mese ci siano oltre tre rimborsi?
Svolgimento
La variabile casuale in questione segue una distribuzione di Poisson di parametro λ = 4, formalmente
X ∼ P oi(λ = 4).
v.c. Bernoulli
P (X = 0) = 1 − e
v.c. Binomiale
v.c.
Ipergeometrica
−λ
λx
x!
=e
−4
40
0!
= 0.018
P (X ≤ 2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) =
v.c. Binomiale
negativa
=e
−4
40
0!
+e
−4
41
1!
−4
+e
42
2!
= 0.018 + 0.073 + 0.146 = 0.273
v.c. Poisson
P (X > 3) = 1 − [P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3)] =
"
#
0
1
2
3
−4 4
−4 4
−4 4
−4 4
=1− e
+e
+e
+e
=
0!
1!
2!
3!
= 1 − [0.018 + 0.073 + 0.146 + 0.195] = 0.568
A. Iodice ()
Lezione 12
Statistica
56 / 56