RELAZIONI BINARIE Dati due insiemi non vuoti, A detto dominio e B

RELAZIONI BINARIE
Dati due insiemi non vuoti, A detto dominio e B detto codominio, eventualmente coincidenti, si chiama
relazione binaria (o corrispondenza) di A in B, e si indica con f : A ⎯
⎯→ B, (oppure x R y ) una legge (o
proprietà, o criterio) che consente di associare univocamente elementi x ∈ A con elementi y ∈ B.
La legge f e gli insiemi A e B individuano un sottoinsieme G del prodotto cartesiano A x B, detto grafico,
formato dalle coppie (x, y) che soddisfano la relazione.
Data la coppia (x, y) appartenente al grafico G, si dice che y è l’immagine di x, nella relazione f, e si indica
con la notazione y = f (x) ; mentre si dice che x è controimmagine di y e si indica con la notazione
x = f -1 (y).
L’Insieme di definizione della relazione f è l’insieme f -1 (B) costituito da tutti gli elementi x ∈ A che
hanno un’immagine in B.
In simboli f -1 (B) = { x ⏐ x ∈ A ∧ (∃ y ∈ B ) ⏐ (x, y) ∈ G }.
L’insieme immagine della relazione f è l’insieme f (A) costituito da tutti gli elementi y ∈ B che hanno una
controimmagine in A.
In simboli f (A) = { y ⏐ y ∈ B ∧ (∃ x ∈ A ) ⏐ (x, y) ∈ G }.
Esempio
Dati gli insiemi A = {2, 3, 4, 5, 6} e B = {1, 2, 3, 4} e la relazione
G = {(x, y) ∈ A x B ⏐ x + y > 7} , la scrittura per elencazione del
grafico è G = {(4,4), (5,3), (5,4), (6,2), (6,3), (6,4)}.
B
A
.2
.4
.3 4.
.3
.1
5.
.2
6.
B
4
3
2
1
Diagramma sagittale
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
3
4
5
6
A
Diagramma cartesiano
⎯→ B è vuota se nessun elemento di A è associato a qualche elemento di B.
La relazione f : A ⎯
⎯→ B di grafico G, si dice relazione inversa di f la relazione che indichiamo con
Data la relazione f : A ⎯
-1
f :B ⎯
⎯→ A che ha come grafico l’insieme : G -1 = { (y, x) ∈ B x A ⏐ (x, y) ∈ G }
Proprietà delle relazioni
Data una relazione R, definita in un insieme non vuoto U, si hanno le seguenti proprietà :
Proprietà Riflessiva
∀ x ∈ U si ha che x R x
Proprietà Antiriflessiva
/ x
∀ x ∈ U si ha che x R
Proprietà Simmetrica
∀ x, y ∈ U
( Se x R y )
Proprietà Antisimmetrica
∀ x, y ∈ U
( Se x R y ∧ y R x )
Proprietà Transitiva
∀ x, y, z ∈ U
( Se x R y ∧ y R z )
⇒
⇒
Proprietà Connessa
∀ x, y, ∈ U
si ha che x = y ∨
xRy ∨
Matematica
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⇒
(yRx)
(x=y)
(xRz)
yRz
1
Relazione di equivalenza
Una relazione R definita in un insieme non vuoto U, è una relazione di equivalenza se gode delle proprietà
riflessiva, simmetrica e transitiva, e viene indicata con il simbolo
~.
Partizione
Dato un insieme A, si dice partizione di A, e si indica con P
sottoinsiemi così definita :
a) nessuno dei sottoinsiemi di A è vuoto;
b) tutti i sottoinsiemi di A sono, a due a due, disgiunti;
c) l’unione di tutti i sottoinsiemi di A da l’insieme A .
A
, la suddivisione dell’insieme A in
Classe di equivalenza
In un insieme U in cui è assegnata una relazione di equivalenza R, si dice classe di equivalenza ogni
sottoinsieme S non vuoto di U che gode delle seguenti proprietà :
gli elementi di S sono tutti tra loro equivalenti (rispetto alla relazione R);
ogni elemento di U che non appartiene ad S non è equivalente ad alcun elemento di S.
Teorema
Ad ogni relazione di equivalenza R nell’insieme U, corrisponde una partizione di U in classi di equivalenza.
Insieme quoziente
Si chiama insieme quoziente di un insieme U, rispetto a una relazione di equivalenza R, e si indica con U/R
l’insieme che ha per elementi le classi di equivalenza di E, rispetto ad R .
Relazioni d’ordine
Data una relazione R nell’insieme U, si dice che essa è una relazione di ordine largo se gode delle
proprietà: riflessiva, antisimmetrica e transitiva.
Data una relazione R nell’insieme U, si dice che essa è una relazione di ordine stretto se gode delle
proprietà: antiriflessiva, antisimmetrica e transitiva.
Data una relazione R nell’insieme U, si dice che essa è una relazione di ordine totale se due elementi
distinti qualsiasi di U sono confrontabili nella relazione R. In simboli ∀ x, y ∈ U ⏐ x R y ∨ y R x
Data una relazione R nell’insieme U, si dice che essa è una relazione di ordine parziale se esiste almeno
/ y ∧ y R/ x
una coppia di elementi non confrontabili. ∃ x, y ∈ U ⏐ x R
Funzioni
Una funzione è una relazione f : A ⎯
⎯→ B
che associa ad ogni elemento di x∈A uno e
un solo elemento y∈B.
f
A
x
x
y
1
1
y
y
2
x
2
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5
y
3
3
x
Matematica
B
4
y
4
y
6
2
Relazioni particolari
La relazione Identità su un insieme A, è la relazione R = {(x , x ) / x ∈ A}
La relazione Totale su un insieme A, è la relazione R = A × A = {(x , y ) / x , y ∈ A}
La relazione vuota è la relazione R =Ø.
Osservazioni
La proprietà antisimmetrica dice che la coppia (x,y) e la sua simmetrica (x,y) soddisfano la relazione R
soltanto in un caso, quando x e y sono uguali tra loro.
La proprietà di connessione dice che tutte le coppie del prodotto cartesiano AxA sono confrontabili
attraverso la relazione.
Ad esempio la relazione “x è minore di y” permette di confrontare tutti i numeri dell’insieme N.
Prendendo a caso due numeri x ed y, si verifica sempre almeno una delle tre condizioni:
x=y ∨ x<y ∨ y<x.
Mentre la relazione “x è multiplo di y” non permette di confrontare tutti i numeri dell’insieme N.
Prendendo a caso due numeri x ed y, non si verifica sempre almeno una delle tre condizioni:
x = y ∨ x è multiplo di y ∨ y è multiplo di x ; un controesempio è dato dalla coppia ( 3 , 5).
Non è detto che una relazione debba godere necessariamente di qualche proprietà.
Le relazioni dal punto di vista grafico
Dal punto di vista grafico, in una rappresentazione cartesiana, una relazione è :
Proprietà
Riflessiva
Simmetrica
Antisimmetrica
Transitiva
Connessione
Grafico
Il grafico contiene le coppie della diagonale ascendente del tipo (a , a)
Il suo grafico è una figura simmetrica rispetto alla diagonale ascendente. Il grafico
contiene ad esempio le coppie (a , b) e (b , a).
Le uniche coppie che hanno il loro simmetrico sono quelle che si trovano sulla
diagonale ascendente. Il grafico non contiene le coppie del tipo (a , b) e (b , a).
Non esiste una regola
Non esiste una regola
Dal punto di vista grafico, in una rappresentazione sagittale, una relazione è :
Proprietà
Riflessiva
Simmetrica
Antisimmetrica
Transitiva
Connessione
Matematica
Grafico
Da ogni punto parte una freccia che ritorna al punto stesso
Se c’è una freccia da a ⎯⎯→ b allora deve esserci una freccia da b ⎯⎯→ a
Se c’è una freccia da a ⎯⎯→ b e a ≠ b
allora non deve esserci una freccia da
b ⎯⎯→ a
Se c’è una freccia da a ⎯⎯→ b e una freccia da b ⎯⎯→ c
allora deve esserci una freccia da a ⎯⎯→ c
Ogni coppia di elementi distinti deve essere collegata da almeno una freccia
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3
Esempi
12
R = { ( x, y ) / x < y }
La relazione soddisfa le proprietà:
11
10
Antisimmetrica
Transitiva
Connessa
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
R = { ( x, y ) / x ≥ y }
La relazione soddisfa le proprietà:
Riflessiva
Antisimmetrica
Transitiva
Connessa
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
12
R = {( x , y ) / x = y }
La relazione soddisfa le proprietà:
Riflessiva
Antisimmetrica
Transitiva
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
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4
Esempi
Sia A = {a, b, c} e
R = { (a, a ), (a, b ), (b, a ) }
La relazione soddisfa le proprietà:
a
b
Simmetrica
c
Sia A = {a, b, c} e
R = { (a, a ), (b, b ), (c , c ), (a, b ), (b, c ), (c, a ) }
La relazione soddisfa le proprietà:
a
b
Riflessiva
Antisimmetrica
Connessa
c
Sia A = {a, b, c} e R = { (a, a ), (b, b ), (c , c ), (a, b ), (b, a ), (b, c ), (c, b ), (a, c ), (c, a ) }
La relazione soddisfa le proprietà:
Riflessiva
Simmetrica
Transitiva
Connessa
a
b
c
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Esempi
Relazione
y=x+3
y è triplo di x
x è padre di y
x=y
x divide y
x è multiplo di y
x divide y
x è multiplo di y
x è simile a y
x è parallela a y
Xè incidente a y
x è perpendicolare
ay
x≠y
x<y
x≤y
x⊆ y
x⊂ y
x⊆ y
x⊂ y
x è primo con y
x + y è pari
Identità
Totale
Vuota
Dominio
N–Z–Q–R
N
Cittadini di una
città
N
Z
Z
N
N
Figure del Piano
Euclideo
Piano Euclideo
Piano Euclideo
Riflessiva
Simmetrica
Antisimmetrica
Transitiva
Connessa
No
No
No
No
Si
Si
No
No
No
No
No
No
Si
No
No
Si
Si
Si
Si
Si
Si
No
No
No
No
Si
No (*)
No (*)
Si (*)
Si (*)
Si
Si
Si
Si
Si
No
No
No
No
No
Si
Si
No
Si
No
Si
No
Si
Si
No
No
Si
No
No
No
Piano Euclideo
No
Si
No
No
No
N-Z-Q–R
N–Z–Q–R
N–Z–Q–R
P (A)
P (A)
Se A = {a} e
P(A)= { Ø , {a} }
Se A = {a} e
P(A)= { Ø , {a} }
N
N
No
No
Si
Si
No
Si
No
No
No
No
No
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
No
Si
Si
No
No
Si
No
Si
Si
Si
No
No
Si
Si
Si
No
Si
Si
Si
No
Si
Si
Si
Si
Si
No
No
Si
No
Si
Si
Si
Si
Si
Si
No
No
No
Si
Si
Nota (*) - Nell’insieme Z (“x divide y” e “y divide x”) non implica che ( x = y ).
Infatti ( +4 divide -4 e -4 divide +4) non implica che ( -4 = +4 ).
Nell’insieme N (“x divide y” e “y divide x”) implica che ( x = y ).
Infatti ( +3 divide +3 e +3 divide +3) implica che ( +3 = +3 ).
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