Esercizi Algebra 3
Esercizio 1. Determinare quali tra le proprietà riflessiva, simmetrica, antisimmetrica e transitiva sono soddisfatte dalle seguenti relazioni. In caso la
relazione sia una relazione d’equivalenza individuare le classi di equivalenza e
l’insieme quoziente; in caso la relazione sia una relazione d’ordine individuare
se sia totale o meno.
1. Nell’insieme delle rette del piano euclideo reale:
rρr0 ⇔ r è perpendicolare a r0
2. Nell’insieme Z dei numeri interi: xρx0 ⇔ |x| = |x0 |
3. Nell’insieme Z dei numeri interi: xρx0 ⇔ xx0 > 0
4. Nell’insieme N dei numeri naturali:
xρx0 ⇔ x ha un numero di cifre maggiore od uguale a x0
5. Nell’insieme N × N: (a, b)ρ(a0 , b0 ) ⇔ (a ≥ a0 e b ≥ b0 )
6. Nell’insieme Z dei numeri interi: xρx0 ⇔ xx0 = z 2 per qualche z ∈ Z
Esercizio 2. Cosa c’è di errato nella seguente dimostrazione che se una
relazione ρ gode della proprietà simmetrica e transitiva allora gode anche
della proprietà riflessiva.
“Sia x qualsiasi. Se xρy allora per la proprietà simmetrica yρx e per la
proprietà transitiva xρx.”
Esercizio 3. Siano F e G due partizioni dell’insieme X. Si definisca
F ∧ G = {F ∩ G|F ∈ F, G ∈ G, F ∩ G 6= ∅}.
Verificare che F ∧G è una partizione di X. Le partizioni F e G rappresentano
le classi di equivalenza di due relazioni; quali sarà la relazione che induce
F ∧ G?
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Esercizio 4.
1. Sia f : A → B un’applicazione e sia ρ0 una relazione
di equivalenza su B. Dimostrare che la relazione definita da aρa0 ⇔
f (a)ρ0 f (a0 ) è una relazione di equivalenza. Quali sono le classi di
equivalenza di ρ?
2. Nel caso precedente poniamo che A = B = R e f (x) = cos(x), inoltre supponiamo che la relazione ρ0 sia l’uguaglianza in R. Descrivere
esplicitamente le classi di equivalenza e l’insieme quoziente di ρ.
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