5. Relazioni e funzioni - Triangoli

Liceo Scientifico “G. Galilei” Trebisacce
Anno Scolastico 2012-2013
Prova di Matematica : Relazioni e Funzioni + Triangoli e criteri di parallelismo
21.03.2013
prof. Mimmo Corrado
Alunno: ________________________________________________ Classe: 1 C
A\A
A
1
2
3
4
1. Completa la tabella a lato in modo da ottenere una relazione
antiriflessiva e simmetrica.
1
2
X
3
4
X
X
X
2. Nell’insieme N dei numeri naturali, la relazione R: ” − è un numero naturale” è:
Riflessiva
Antiriflessiva
Simmetrica
Antisimmetrica
Equivalenza
Ordine stretto
Ordine largo
Ordine totale
Transitiva
Ordine parziale
3. In un insieme di persone, in cui non ci sono coetanei, la relazione : " è ù " è:
Riflessiva
Antiriflessiva
Simmetrica
Antisimmetrica
Equivalenza
Ordine stretto
Ordine largo
Ordine totale
Transitiva
Ordine parziale
4. La relazione ∶ → con A = −2, +2, −3, +3 e B = 4, 9 individuata dalle coppie: #−2; 4%, #+2; 4%, #−3; 9%, #+3; 9% è una:
funzione
funzione iniettiva ma non suriettiva
funzione suriettiva ma non iniettiva
relazione riflessiva
5. Rappresenta nelle 4 modalità studiate la relazione : " è & '( " definita nell’insieme A= 2, 3, 4, 6 e specificane il tipo
6. Traccia il grafico delle seguenti funzioni e individua dominio, codominio e il tipo (iniettiva, suriettiva, biunivoca):
+
,.
y=− x+3
y=−
y = −x , − 2x + 3
y = |2x − 3|
,
/
7. Traccia il grafico di una funzione suriettiva ma non iniettiva avente per dominio 1 = 2−3, 63 e per codominio 4 = 2−2, 43
8. Siano e 5 due rette parallele, tagliate da una trasversale 6 rispettivamente nei punti e . Si prendano rispettivamente su e 5, da
una stessa parte rispetto alla trasversale 6, due punti C e D tali che 4 ≅ 1. Dimostra che ≅ 41.
9. Sia ABC un triangolo isoscele sulla base AB e CH l’altezza relativa ad AB. Prolunghiamo CH, dalla parte di H, di un segmento 81 ≅ 48
e dimostriamo che la retta AC è parallela alla retta BD.
9:
10. Nella figura a lato, determina le ampiezze degli angoli 41
risposte?
Valutazione
Punti
Voto
Esercizio
Punti
0-3
4-8
2
3
e 14; : motivando le
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Totale
2
2
2
2
10
28
6
10
10
8
80
9 - 13 14 - 19 20 - 25 26 - 31 32 - 37 38 - 43 44 - 49 50 - 55 56 - 61 62 - 67 68 - 72 73 - 76 77 - 80
3½
4
4½
5
5½
6
6½
7
7½
8
8½
9
10
Soluzione
A\A
A
1
2
3
4
1. Completa la tabella a lato in modo da ottenere una relazione che
gode delle proprietà antiriflessiva e simmetrica.
1
2
X
3
X
X
X
X
4
X
X
X
2. Nell’insieme N dei numeri naturali, la relazione R: ”
” − è un numero naturale” è:
Riflessiva
Antisimmetrica
Transitiva
Ordine largo
Ordine totale
3. In un insieme di persone, in cui non ci sono coetanei, la relazione : " è ù " è:
Antiriflessiva
Antisimmetrica
Transitiva
Ordine stretto Ordine totale
4. La relazione ∶ → con A = −2, +2, −3
3, +3 e B = 4, 9 individuata dalle coppie: #−2; 4%%, #+2; 4%, #−3; 9%, #+3; 9% è una:
funzione suriettiva ma non iniettiva
5. Rappresenta nelle 4 modalità studiate la relazione : " è & '( " definita nell’insieme A=
A 2, 3, 4, 6 e specificane il tipo
3
2
4
6
= #2 ; 2% , #2 ; 4% , #2 ; 6%, #3 ; 3% , #3 ; 6%% , #4 ; 4% , #6 ; 6%
La relazione è:
Riflessiva – Antisimmetrica – Transitiva – Ordine parziale largo
A\A
A
2
2
X
3
4
6
3
4
6
X
X
X
X
X
X
6. Traccia il grafico delle seguenti funzioni:
+
=− +3
,
Matematica
: → biunivoca
= |2 − 3|
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: → 220, +∞2 non iniettiva, suriettiva
2
=−
,.
>
= − , − 2 + 3
: − 0 → − 0 biunivoca
: → 3−∞, 43 non iniettiva, suriettiva
7. Traccia il grafico di una funzione suriettiva ma non iniettiva avente per dominio
1 = 2−3, 63 e per codominio 1 = 2−2, 43
8. Siano e 5 due rette parallele, tagliate da una trasversale 6 rispettivamente nei punti e . Si prendano rispettivamente su e 5, da
una stessa parte rispetto alla trasversale 6, due punti C e D tali che 4 ≅ 1. Dimostra che ≅ 41.
IPOTESI
∥5
4 ≅ 1
TESI
⇒
≅ 41
Dimostrazione
Per dimostrare che ≅ 41 è sufficiente dimostrare che i triangoli 1 e 41 sono congruenti.
ABD ≅ ACD per il I C.C.T. Infatti:
4 ≅ 1
1
9 ≅ 4;1
1
per ipotesi
in comune
perché angoli alterni interni alle rette parallele e 5 tagliate dalla trasversale 1.
Avendo dimostrato che ABD ≅ ACD si ha la tesi, cioè: ≅ 41
Matematica
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3
9. Sia ABC un triangolo isoscele sulla base AB e CH l’altezza relativa ad AB. Prolunghiamo CH, dalla parte di H, di un segmento 81 ≅ 48
e dimostriamo che la retta AC è parallela alla retta BD.
IPOTESI
4 è un triangolo isoscele
81 ≅ 48
TESI
⇒
4 ∥ 1
Dimostrazione
Per dimostrare che 4 ∥ 1 è sufficiente dimostrare che esse formano con una generica retta
9 8.
trasversale angoli alterni interni congruenti. Pertanto, è sufficiente dimostrare che 4; 8 ≅ 1
9 8 è sufficiente dimostrare che i triangoli 48 e 18 sono congruenti.
Per dimostrare che 4; 8 ≅ 1
A48 ≅ 18 per il I C.C.T. Infatti:
8 ≅ 8
48 ≅ 18
9 4 ≅ 8
91
8
perché nel triangolo isoscele l’altezza relativa al lato non uguale è anche mediana
per ipotesi
perché angoli opposti al vertice.
9 8 e che 4 ∥ 1 .
Avendo dimostrato che A48 ≅ 18 si ha che 4; 8 ≅ 1
9 : e 14; : motivando le risposte?
11. Nella figura a lato, determina le ampiezze degli angoli 41
Soluzione 1
9C un angolo piatto, si ha: 4:C 1 = 180° − BE
9D = 180° − 120° = 60° .
Essendo E
Essendo la somma degli angoli interni di un quadrilatero uguale a due angoli piatti, si ha:
9−B
9 E = 360° − A
9 − BE
9D = 360° − 75° − 40° − 120° = 125° .
AD
9 4 un angolo piatto, si ha: CD
9 E = 180° − AD
9 E = 180° − 125° = 55° .
Essendo 1
Essendo la somma degli angoli interni di un triangolo uguale a un angolo piatto, si ha:
9 : − 4:C 1 = 180° − 55° − 60° = 65° .
4; = 180° − 41
Soluzione 2
9C un angolo piatto, si ha: 4:C 1 = 180° − BE
9D = 180° − 120° = 60° .
Essendo E
Essendo la somma degli angoli interni di un triangolo uguale a un angolo piatto, si ha:
4; = 180° − ; − C = 180° − 75° − 40° = 65° .
Essendo la somma degli angoli interni di un triangolo uguale a un angolo piatto, si ha:
9 : = 180° − 4; − 4:C 1 = 180° − 65° − 60° = 55° .
41
Matematica
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4