Liceo Scientifico “G. Galilei” Trebisacce Anno Scolastico 2012-2013 Prova di Matematica : Relazioni e Funzioni + Triangoli e criteri di parallelismo 21.03.2013 prof. Mimmo Corrado Alunno: ________________________________________________ Classe: 1 C A\A A 1 2 3 4 1. Completa la tabella a lato in modo da ottenere una relazione antiriflessiva e simmetrica. 1 2 X 3 4 X X X 2. Nell’insieme N dei numeri naturali, la relazione R: ” − è un numero naturale” è: Riflessiva Antiriflessiva Simmetrica Antisimmetrica Equivalenza Ordine stretto Ordine largo Ordine totale Transitiva Ordine parziale 3. In un insieme di persone, in cui non ci sono coetanei, la relazione : " è ù " è: Riflessiva Antiriflessiva Simmetrica Antisimmetrica Equivalenza Ordine stretto Ordine largo Ordine totale Transitiva Ordine parziale 4. La relazione ∶ → con A = −2, +2, −3, +3 e B = 4, 9 individuata dalle coppie: #−2; 4%, #+2; 4%, #−3; 9%, #+3; 9% è una: funzione funzione iniettiva ma non suriettiva funzione suriettiva ma non iniettiva relazione riflessiva 5. Rappresenta nelle 4 modalità studiate la relazione : " è & '( " definita nell’insieme A= 2, 3, 4, 6 e specificane il tipo 6. Traccia il grafico delle seguenti funzioni e individua dominio, codominio e il tipo (iniettiva, suriettiva, biunivoca): + ,. y=− x+3 y=− y = −x , − 2x + 3 y = |2x − 3| , / 7. Traccia il grafico di una funzione suriettiva ma non iniettiva avente per dominio 1 = 2−3, 63 e per codominio 4 = 2−2, 43 8. Siano e 5 due rette parallele, tagliate da una trasversale 6 rispettivamente nei punti e . Si prendano rispettivamente su e 5, da una stessa parte rispetto alla trasversale 6, due punti C e D tali che 4 ≅ 1. Dimostra che ≅ 41. 9. Sia ABC un triangolo isoscele sulla base AB e CH l’altezza relativa ad AB. Prolunghiamo CH, dalla parte di H, di un segmento 81 ≅ 48 e dimostriamo che la retta AC è parallela alla retta BD. 9: 10. Nella figura a lato, determina le ampiezze degli angoli 41 risposte? Valutazione Punti Voto Esercizio Punti 0-3 4-8 2 3 e 14; : motivando le 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Totale 2 2 2 2 10 28 6 10 10 8 80 9 - 13 14 - 19 20 - 25 26 - 31 32 - 37 38 - 43 44 - 49 50 - 55 56 - 61 62 - 67 68 - 72 73 - 76 77 - 80 3½ 4 4½ 5 5½ 6 6½ 7 7½ 8 8½ 9 10 Soluzione A\A A 1 2 3 4 1. Completa la tabella a lato in modo da ottenere una relazione che gode delle proprietà antiriflessiva e simmetrica. 1 2 X 3 X X X X 4 X X X 2. Nell’insieme N dei numeri naturali, la relazione R: ” ” − è un numero naturale” è: Riflessiva Antisimmetrica Transitiva Ordine largo Ordine totale 3. In un insieme di persone, in cui non ci sono coetanei, la relazione : " è ù " è: Antiriflessiva Antisimmetrica Transitiva Ordine stretto Ordine totale 4. La relazione ∶ → con A = −2, +2, −3 3, +3 e B = 4, 9 individuata dalle coppie: #−2; 4%%, #+2; 4%, #−3; 9%, #+3; 9% è una: funzione suriettiva ma non iniettiva 5. Rappresenta nelle 4 modalità studiate la relazione : " è & '( " definita nell’insieme A= A 2, 3, 4, 6 e specificane il tipo 3 2 4 6 = #2 ; 2% , #2 ; 4% , #2 ; 6%, #3 ; 3% , #3 ; 6%% , #4 ; 4% , #6 ; 6% La relazione è: Riflessiva – Antisimmetrica – Transitiva – Ordine parziale largo A\A A 2 2 X 3 4 6 3 4 6 X X X X X X 6. Traccia il grafico delle seguenti funzioni: + =− +3 , Matematica : → biunivoca = |2 − 3| www.mimmocorrado.it : → 220, +∞2 non iniettiva, suriettiva 2 =− ,. > = − , − 2 + 3 : − 0 → − 0 biunivoca : → 3−∞, 43 non iniettiva, suriettiva 7. Traccia il grafico di una funzione suriettiva ma non iniettiva avente per dominio 1 = 2−3, 63 e per codominio 1 = 2−2, 43 8. Siano e 5 due rette parallele, tagliate da una trasversale 6 rispettivamente nei punti e . Si prendano rispettivamente su e 5, da una stessa parte rispetto alla trasversale 6, due punti C e D tali che 4 ≅ 1. Dimostra che ≅ 41. IPOTESI ∥5 4 ≅ 1 TESI ⇒ ≅ 41 Dimostrazione Per dimostrare che ≅ 41 è sufficiente dimostrare che i triangoli 1 e 41 sono congruenti. ABD ≅ ACD per il I C.C.T. Infatti: 4 ≅ 1 1 9 ≅ 4;1 1 per ipotesi in comune perché angoli alterni interni alle rette parallele e 5 tagliate dalla trasversale 1. Avendo dimostrato che ABD ≅ ACD si ha la tesi, cioè: ≅ 41 Matematica www.mimmocorrado.it 3 9. Sia ABC un triangolo isoscele sulla base AB e CH l’altezza relativa ad AB. Prolunghiamo CH, dalla parte di H, di un segmento 81 ≅ 48 e dimostriamo che la retta AC è parallela alla retta BD. IPOTESI 4 è un triangolo isoscele 81 ≅ 48 TESI ⇒ 4 ∥ 1 Dimostrazione Per dimostrare che 4 ∥ 1 è sufficiente dimostrare che esse formano con una generica retta 9 8. trasversale angoli alterni interni congruenti. Pertanto, è sufficiente dimostrare che 4; 8 ≅ 1 9 8 è sufficiente dimostrare che i triangoli 48 e 18 sono congruenti. Per dimostrare che 4; 8 ≅ 1 A48 ≅ 18 per il I C.C.T. Infatti: 8 ≅ 8 48 ≅ 18 9 4 ≅ 8 91 8 perché nel triangolo isoscele l’altezza relativa al lato non uguale è anche mediana per ipotesi perché angoli opposti al vertice. 9 8 e che 4 ∥ 1 . Avendo dimostrato che A48 ≅ 18 si ha che 4; 8 ≅ 1 9 : e 14; : motivando le risposte? 11. Nella figura a lato, determina le ampiezze degli angoli 41 Soluzione 1 9C un angolo piatto, si ha: 4:C 1 = 180° − BE 9D = 180° − 120° = 60° . Essendo E Essendo la somma degli angoli interni di un quadrilatero uguale a due angoli piatti, si ha: 9−B 9 E = 360° − A 9 − BE 9D = 360° − 75° − 40° − 120° = 125° . AD 9 4 un angolo piatto, si ha: CD 9 E = 180° − AD 9 E = 180° − 125° = 55° . Essendo 1 Essendo la somma degli angoli interni di un triangolo uguale a un angolo piatto, si ha: 9 : − 4:C 1 = 180° − 55° − 60° = 65° . 4; = 180° − 41 Soluzione 2 9C un angolo piatto, si ha: 4:C 1 = 180° − BE 9D = 180° − 120° = 60° . Essendo E Essendo la somma degli angoli interni di un triangolo uguale a un angolo piatto, si ha: 4; = 180° − ; − C = 180° − 75° − 40° = 65° . Essendo la somma degli angoli interni di un triangolo uguale a un angolo piatto, si ha: 9 : = 180° − 4; − 4:C 1 = 180° − 65° − 60° = 55° . 41 Matematica www.mimmocorrado.it 4