Relazioni di equivalenza
Definizione E.1. Sia E un insieme non vuoto e sia R una relazione
binaria su E, cioè un sottoinsieme del prodotto cartesiano E E.
R si dice relazione di equivalenza su E se è riflessiva, simmetrica
e transitiva, cioè se valgono le seguenti proprietà:
1) proprietà riflessiva: ogni elemento di E è in relazione con se
stesso, cioè x E (x, x ) R , (ovvero x R x );
2) proprietà simmetrica: l’ordine in cui si considerano elementi in
relazione è irrilevante, cioè
x, y E (x, y ) R (y, x ) R ,
(ovvero x R y y R x );
3) proprietà transitiva: se un elemento è in relazione con un secondo
elemento e quest’ultimo lo è con un terzo, allora il primo è in
relazione con il terzo, cioè
x, y, z E (x, y ) R (y, z ) R (x, z ) R,
ovvero (x R y y R z ) x R z .
Si noti che il quantificatore universale comporta tutte le possibili
scelte, anche quelle di elementi uguali.
Esempio E.1) Consideriamo in Z la seguente relazione R Z Z:
(p, q ) Z Z
(p, q ) R 2|(p q )
dove 2|(p q ) significa “ 2 divide p q ”, ovvero “p q è pari”.
R è riflessiva: per ogni p Z, si ha p – p 0, quindi 2 divide p p,
cioè p R p.
R è simmetrica: infatti, per ogni (p, q ) Z Z, si ha
p R q 2|(p q ) 2|(q p ) q R p.
R è transitiva: infatti, per ogni (p, q, w) Z Z Z, si ha
p R q q R w 2|(p q ) 2|(q w ) 2|(p w ) p R w.
Esempio E.2) Sia f : E E una applicazione. Si consideri la
relazione Rf E E definita da:
(x, y ) E E
x Rf y f (x ) f (y ).
Rf è ovviamente di equivalenza perché espressa in termini di
uguaglianza, che è chiaramente riflessiva, simmetrica e transitiva.
Rf prende il nome di relazione di equivalenza determinata dalla
applicazione f.
Definizione E.2. Sia R una relazione di equivalenza su un insieme
E non vuoto. Sia x un elemento di E.
Si dice classe di R-equivalenza di x l’insieme
clR (x ) [x ]R { y E | y R x }.
Abitualmente si omette l’indice R, se non vi è possibilità di equivoco.
Ovviamente, per ogni x E, si ha [x ] E. Inoltre elementi distinti di
E possono individuare la stessa classe; infatti se y x, ma y R x,
allora si ha z [y ] z R y, e dalla transitività di R segue che z R x,
ovvero z [x ] e quindi [y ] [x ].
Analogamente si ottiene [x ] [y ] e dunque [y ] [x ].
Più precisamente si ha:
[y ] [x ] y R x.
L’implicazione da destra a sinistra è stata appena provata. L’altra è
ovvia; infatti [y ] [x ] y [x ] y R x.
Esempio E.3) Con riferimento all’ Esempio E.1), si ottengono solo
due classi di equivalenza [0] e [1], costituite rispettivamente
dall’insieme dei numeri pari e da quello dei numeri dispari.
Per l’Esempio E.2), la classe determinata da un elemento x E è
costituita da tutti gli y E tali che f(x ) f(y ) cioè [x ] f -1(f(x )).
Esercizio E.1. Sia f : R R l’applicazione definita da f(x ) x2.
Si determini, per ogni x R, la classe [x ], per la relazione di
equivalenza Rf.
Soluzione
Esercizio. Sia R R R la relazione definita da
(x, y ) R R
x R y k Z y x 2k .
R si chiama congruenza modulo 2, si scrive anche x y (mod 2)
in luogo di x R y, e si legge “x è congruo y modulo 2”.
a) Provare che si tratta di una relazione di equivalenza;
b) determinare le classi di equivalenza [0], [] e [2];
c) descrivere l’insieme quoziente R/ ;
d) provare che R/ è bigettivo a S1, circonferenza unitaria (di raggio
r 1) nel piano euclideo E2 R2.
e) Discutere la cardinalità di R e di R/.
Soluzione
