Definizione 1. Siano A e B insiemi. Si definisce prodotto cartesiano l’insieme:
A × B = {(a, b) : a ∈ A ∧ b ∈ B}.
Osservazione 1. Si osservi che nella Definizione 1. le coppie sono ordinate, vale a
dire la coppia (x, y) 6= (y, x) se x 6= y. È quindi chiaro che A × B 6= B × A, se A 6= B.
Risulta inoltre: A × ∅ = ∅ × A = ∅.
Definizione 2. Siano A e B insiemi. Si dice relazione tra gli A elementi di A e gli
elementi di B un qualunque sottoinsieme del prodotto cartesiano A × B.
Se A = B, si parla semplicemente di relazione tra gli elementi di A; quindi, in questo
caso, R ⊆ A × A.
Esempio 1. L’insieme
R = {(x, y) ∈ Z × Z : y = −x}
è una relazione tra gli elementi di N e Z. Si ha
R = {(0, 0), (1, −1), (2, −2), (3, −3), . . . }.
Esempio 2. L’insieme
R0 = {(x, y) ∈ Z × Z : y = −x}
è una relazione tra gli elementi di Z. Risulta
R0 = {. . . , (−2, 2), (−1, 1), (0, 0), (1, −1), (2, −2), . . . }.
Definizione 3. Siano A e B insiemi. Si dice relazione tra gli A elementi di A e gli
elementi di B un qualunque sottoinsieme del prodotto cartesiano A × B. Se A = B, si
parla semplicemente di relazione tra gli elementi di A; quindi, in questo caso, R ⊆ A×A.
Definizione 4. Siano A un insieme non vuoto, R una relazione tra gli elementi di A.
Si dice che R è riflessiva se è verificata la sequente condizione:
(∀a ∈ A) ((a, a) ∈ R).
Osservazione 2. Ovviamente, perchè R non sia riflessiva basta che esista un solo
elemento x ∈ A tale che (x, x) ∈
/ A.
Definizione 5. Siano A un insieme non vuoto, R una relazione tra gli elementi di A.
Si dice che R è antiriflessiva se è verificata la sequente condizione:
(∀a ∈ A) ((a, a) ∈
/ R).
Esempio 3. Non ha senso chiedersi se la relazione R dell’Esempio 1 sia riflessiva, visto
che si tratta di una relazione tra elementi di due insiemi diversi.
Esempi 1. Delle relazioni sull’insieme A = {α, β, γ}
R1 = {(α, α), (β, β), (γ, γ), (α, β), (α, γ)}
R2 = {(α, α), (β, β), (α, β), (β, γ)}
R3 = {(α, β), (β, α), (γ, β), (β, γ), (γ, γ)}
R4 = {(α, β), (β, α), (α, γ)}
R5 = {(α, α), (β, β), (γ, γ), (α, β), (β, α)}
sono riflessive R1 e R5 , è antiriflessiva R4 , mentre R2 e R3 non sono riflessive (ne’
antiriflessive).
Definizione 6. Siano A un insieme non vuoto, R una relazione tra gli elementi di A.
Si dice che R è simmetrica se è verificata la sequente condizione:
(∀a, b ∈ A) ((a, b) ∈ R ⇒ (b, a) ∈ R).
1
2
Osservazione 3. Naturalmente è sufficiente che esista una sola coppia (x, y) ∈ R,
x 6= y, tale che (y, x) ∈
/ R perchè R non sia simmetrica.
Definizione 7. Si dice che R è antisimmetrica se è verificata la sequente condizione:
(∀a, b ∈ A) ((a, b) ∈ R ∧ (b, a) ∈ R) ⇒ a = b .
Osservazione 4. La condizione di antisimmetria può essere riscritta nel modo che
segue:
(∀a, b ∈ A, a 6= b)((a, b) ∈
/ R)).
Esempi 2. R1 e R2 sono antisimmetriche, R3 e R5 sono simmetriche, R4 non è simmetrica ne’ antisimmetrica.
Definizione 8. Siano A un insieme non vuoto, R una relazione tra gli elementi di A.
Si dice che R è transitiva se è verificata la sequente condizione:
(∀a, b, c ∈ A) ((a, b) ∈ R ∧ (b, c) ∈ R) ⇒ (a, c) ∈ R .
Osservazione 5. Anche in questo caso è sufficiente che esistano (x, y), (y, z) ∈ R tali
che (x, z) ∈
/ R perchè R non sia transitiva.
Esempi 3. R1 e R5 sono transitive, R2 , R3 e R4 non lo sono.
Esempio 4. La relazione R0 dell’Esempio 2 non è riflessiva perchè, per esempio (1, 1) ∈
/
R, non è neppure antiriflessiva perchè (0, 0) ∈ R. Sicuramente è simmetrica, perchè
(x, y) ∈ R0 ⇒ y = −x ⇒ x = −y ⇒ (x, y) ∈ R0 .
R0 non è transitiva: ((1, −1) ∈ R ∧ (−1, 1) ∈ R) ma (1, 1) ∈
/R
Osservazione 6. Si osservi che spesso si usa la notazione aRb in luogo di (a, b) ∈ R.
Definizione 9. Si dice che R è una relazione d’ordine se è riflessiva, antisimmetrica
e transitiva. La coppia ordinata (A, R) (ovvero l’insieme A munito della relazione
d’ordine) si chiama insieme ordinato.
Esempio 5. La relazione
R1 = {(α, α), (β, β), (γ, γ), (α, β), (α, γ)}
è d’ordine.
Esempio 6. Sia X un insieme. Allora la relazione ” ⊆ ” è una relazione d’ordine su
P(X). Infatti si è osservato in precedenza che per ogni A, B, C sottoinsiemi di X
(1) A ⊆ A
(2) se A ⊆ B e B ⊆ A allora A = B
(3) se A ⊆ B e B ⊆ C allora A ⊆ C
Esempio 7. L’ordinamento naturale ” ≤ ” sull’insieme Z dei numeri relativi è la relazione definita come segue:
∀m, n ∈ Z, si dice che m ≤ n se e solo se ∃h ∈ N tale che n = m + h.
Si verifica che ” ≤ ” è una relazione d’ordine su Z.
• riflessività:
se n ∈ Z, allora ∃0 ∈ N tale che n = n + 0 e pertanto n ≤ n
• antisimmetria:
siano n, m ∈ Z, in modo che n ≤ m ∧ m ≤ n. Si ha:
(n ≤ m ∧ m ≤ n) ⇒ (∃h ∈ N tale che n = m + h) ∧ (∃k ∈ N tale che n = m + k)
⇒ n = m + h = n + k + h ⇒ h + k = 0 ⇒ h = k = 0 ⇒ n = m.
3
• transitività:
siano n, m, p ∈ Z, in modo che m ≤ n ∧ n ≤ p. Allora:
(m ≤ n ∧ n ≤ p) ⇒ (∃h ∈ N tale che m = m + h) ∧ (∃k ∈ N tale che p = n + k)
⇒ p = n + k = m + h + k ⇒ ∃h + k ∈ N tale che p = m + (h + k) ⇒ m ≤ p.
Esempio 8. Si può considerare su Z la seguente relazione: ∀m, n ∈ Z, si pone m < n
se e solo se ∃h ∈ N∗ tale che n = m + h. Questa relazione non è d’ordine in quanto non
riflessiva. Si osservi che
m < n ⇔ (m ≤ n ∧ m 6= n).
Definizione 10. Siano a, b ∈ Z, a 6= 0. Si dice che a divide b o che è un divisore di b o
anche che b moltiplica a o b è un multiplo di a e si scrive a | b se esiste h ∈ Z tale che
b = ha. Quindi
a | b ⇐⇒ ∃h ∈ Z tale che b = ha
Esercizio 1. La relazione ”| ” sull’insieme N∗ := N r {0} dei numeri naturali non nulli
è una relazione d’ordine. Si tratta di provare che la relazione definita ∀m, n ∈ N∗ da
m | n ⇐⇒ ∃h ∈ N∗ tale che n = hm
è riflessiva, antisimmetrica e transitiva. La verifica è del tutto analoga a quella dell’Esempio
7.
