GEOMETRIA A – FOGLIO DI ESERCIZI NUMERO 1
Esercizio 1. Determinare quali proprietà tra riflessiva, simmetrica e transitiva sono verificate dalle
relazioni seguenti.
(i) Sia E l’insieme {0, 1} e sia R ⊆ E × E la relazione {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}.
(ii) Sia E l’insieme {0, 1, 2, 3, 4} e sia R ⊆ E × E la relazione {(0, 0), (0, 1), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}.
(iii) Sia E l’insieme {0, 1, 2, 3, 4} e sia R ⊆ E × E la relazione {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 1),
(2, 2), (3, 3), (4, 4)}.
(iv) Sia E l’insieme {0, 1, 2, 3, 4} e sia R ⊆ E × E la relazione {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 1),
(2, 2), (0, 2), (2, 0), (3, 3), (4, 4)}.
(v) Sia E l’insieme {0, 1, 2, 3, 4} e sia R ⊆ E × E la relazione {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3),
(4, 4), (3, 4), (4, 3)}.
Esercizio 2. Stabilire se le seguenti relazioni sono relazioni di equivalenza.
(i) Sia E l’insieme di tutti i triangoli e sia R la relazione “avere tutti gli angoli uguali”.
(ii) Sia E l’insieme di tutti i triangoli e sia R la relazione “avere un lato uguale”.
(iii) Sia E l’insieme di tutti le rette del piano e sia R la relazione “essere parallele”.
(iv) Sia E l’insieme di tutti le rette del piano e sia R la relazione “essere perpendicolari”.
Esercizio 3. Si consideri l’insieme dei numeri interi Z. Per ognuna delle relazioni <, 6 e 6= su Z,
stabilire quali tra le proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva sono soddisfatte.
Esercizio 4. Si consideri l’insieme E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Verificare che la relazione
xRy
⇐⇒
2x + 3y è un multiplo di 5
è una relazione di equivalenza.
Esercizio 5. Per ogni relazione binaria R sull’insieme E = Z descritta nel seguito, stabilire se R è
una relazione riflessiva, simmetrica, transitiva. In caso negativo, indicare quali proprietà non sono
verificate, motivando la risposta.
(i) R = {(x, y) ∈ Z × Z | x e y sono entrambi pari}.
(ii) R = {(x, y) ∈ Z × Z | x > y}.
(iii) R = {(x, y) ∈ Z × Z | x è un multiplo o un divisore di y}.
Esercizio 6. Stabilire se le seguenti relazioni sono relazioni di equivalenza ed eventualmente descrivere
l’insieme quoziente.
(i) Sia E l’insieme formato dagli studenti di una scuola e sia R la relazione “essere nella stessa classe”.
(ii) Sia E l’insieme formato dagli studenti di una classe e sia R la relazione “essere nati nello stesso
anno”.
(iii) Sia E l’insieme formato da tutte le persone e sia R la relazione “avere due genitori in comune”.
(iv) Sia E l’insieme formato da tutte le persone e sia R la relazione “avere un genitore in comune”.
Esercizio 7. Si descriva l’insieme quoziente dell’insieme Z rispetto alla relazione d’equivalenza
aRb
⇐⇒
1
a = b.
Esercizio 8. Per ogni relazione binaria R sull’insieme E = Z descritta nel seguito, stabilire se R è
una relazione riflessiva, simmetrica, transitiva. In caso negativo, indicare quali proprietà non sono
verificate, motivando la risposta.
(i) x R y ⇔ x + y è pari.
(ii) x R y ⇔ x + y è dispari.
(iii) x R y ⇔ xy è pari.
(iv) x R y ⇔ xy è dispari.
Esercizio 9. Si consideri l’insieme E = R. Per ogni elemento x ∈ R, definiamo parte intera di x il
numero intero bxc = max {z ∈ Z | z 6 x}. Verificare che la relazione a R b ⇔ bac = bbc è una
relazione di equivalenza e descrivere l’insieme quoziente E/R.
Nel tentativo di “conservare” l’operazione di somma sui reali anche sull’insieme quoziente, proviamo
a definire un’operazione di somma come segue:
E/R × E/R −→ E/R
([a], [b])
7−→ [a + b].
In altre parole, per sommare due classi di equivalenza, scegliamo un rappresentante per ogni classe, sommiamo i rappresentanti scelti e prendiamo come somma delle classi di partenza la classe del
risultato.
Determinare se tale operazione è ben definita: in altre parole se il risultato è indipendente dai
rappresentanti scelti per le classi di equivalenza.
Esercizio 10. Si consideri l’insieme E = R. Per ogni elemento x ∈ R, definiamo parte frazionaria
di x il numero reale {x} = x − bxc (osserviamo che 0 6 {x} < 1). Verificare che la relazione
a R b ⇔ {a} = {b} è una relazione di equivalenza e descrivere l’insieme quoziente E/R. Si stabilisca
se l’operazione
E/R × E/R −→ E/R
([a], [b])
7−→ [a + b].
è ben definita.
Esercizio 11. Si consideri l’insieme E = R e la relazione R = {(a, b) ∈ R × R | a2 − b2 ∈ Z} ⊆ R√× R.
Si verifichi che R è una relazione di equivalenza e si descrivano la classe di equivalenza di 0, 1 e 2.
Esercizio 12. Si consideri l’insieme N∗ = N \ {0} e la relazione su E = N∗ × N∗ definita da
(a, b) R (c, d)
⇐⇒
a d = b c.
• Si verifichi che R è una relazione di equivalenza.
• Si descrivano le classi di equivalenza delle coppie (1, 1) e (3, 1).
• Si descriva l’insieme quoziente.
Si verifichi inoltre che l’operazione
E/R × E/R −→
E/R
0
0
0
[(a, b)], [(a , b )] 7−→ [(ab + a0 b, bb0 )]
è ben definita sull’insieme quoziente.
Esercizio 13. Consideriamo l’insieme E = N \ {0, 1} e per ogni n ∈ E denotiamo:
• n
e := max{p primo | p 6 n};
• n
b := n − n
e.
Verificare che le relazioni
n R1 m ⇔ n
e=m
e
e
n R2 m ⇔ n
b=m
b
sono relazioni di equivalenza. Stabilire se le operazioni indotte dalla somma sui numeri naturali
E/R1 × E/R1 −→ E/R1
([n], [m])
7−→ [n + m]
e
sono ben definite sugli insiemi quoziente.
2
E/R2 × E/R2 −→ E/R2
([n], [m])
7−→ [n + m]
