Sessione straordinaria 2007
Y557 - ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO
CORSO SPERIMENTALE
PIANO NAZIONALE INFORMATICA
Tema di: MATEMATICA
Questionario
1. Si calcoli il limite della funzione
log ๐ฅ+3 −log (2๐ฅ+1)
, quando x tende a 2.
๐ฅ 2 +๐ฅ−6
2
2. Si calcoli il valore medio della funzione y = ๏ฝ1 - x ๏ฝnell’intervallo -2 ๏ฃ x ๏ฃ 3.
3. Data la funzione ๐ฆ = 1 − ๐ฅ 2 , si stabilisca se sono verificate le condizioni di validità del
teorema di Rolle nell’intervallo -1 ๏ฃ x ๏ฃ 1 e, in caso affermativo, si trovi il punto in cui si
verifica la tesi del teorema.
4. Si consideri la seguente preposizione: “Una piramide è retta se la verticale calata dal vertice
cade entro il poligono di base”. Si dica se è vera o falsa e si motivi esaurientemente la
risposta.
5. La regione finita di piano delimitata dalla curva di equazione ๐ฆ = ๐ ๐๐ ๐ฅ e dall’asse x
nell’intervallo 0 ๏ฃ x ๏ฃ ๏ฐ è la base di un solido S le cui sezioni ottenute con piani
perpendicolari all’asse x sono tutte quadrati. Si calcoli il volume di S.
6. Si verifichi che la curva di equazione ๐ฆ =
๐ฅ−1
๐ฅ−2
è simmetrica rispetto all’intersezione dei suoi
asintoti.
7. Si inscriva in una sfera di raggio r il cilindro di volume massimo.
8. È più probabile ottenere almeno un 6 lanciando quattro volte un dado o ottenere almeno un
12 lanciando ventiquattro volte due dadi?
9. Si enunci il quinto postulato di Euclide e si descriva qualche modello di planimetria non
euclidea.
10. Si trovi per quali valori di k ammetta soluzione l’equazione trigonometrica: senx + cosx = k.
๏ Il limite si presenta nella forma indeterminata [0/0], pertanto è possibile applicare la regola di De
L'Hôpital. Pertanto, essendo il rapporto tra la derivata del numeratore e la derivata del denominatore
dato da:
1
2
−
5
๐ฅ+3
2๐ฅ + 1 = −
2๐ฅ + 1
(๐ฅ + 3)(2๐ฅ + 1)2
è immediato verificare che il limite cercato vale – 1/25.
๏ Il valore medio di una funzione y = f(x) relativamente ad un intervallo [a, b] è dato da:
๐=
1
๐−๐
๐
๐ ๐ฅ ๐๐ฅ
๐
.
1
Nel nostro caso, considerando gli intervalli in cui l’argomento del valore assoluto è positivo o
negativo, si ha:
๐=
1
5
3
1 − ๐ฅ 2 ๐๐ฅ =
−2
−1
1
5
๐ฅ 2 − 1 ๐๐ฅ +
−2
1
3
1 − ๐ฅ 2 ๐๐ฅ +
−1
(๐ฅ 2 − 1)๐๐ฅ
1
e quindi:
1
๐=
5
1
๐ฅ3
−๐ฅ
3
๐ฅ3
+ ๐ฅ−
3
−2
1
๐ฅ3
+
−๐ฅ
3
−1
3
=
1
28
15
๏ Si osservi che la funzione data rappresenta una semicirconferenza di centro l’origine e raggio 1,
pertanto essa e continua e derivabile internamente all’intervallo [-1; 1], ossia in ]-1; 1[.
In effetti solo nei punti x = -1 e x =1 le tangenti sono parallele all’asse y e quindi la funzione non è
derivabile. Il punto cercato è pertanto l’origine dove la tangente è parallela all’asse x e quindi la
derivata è nulla.
๏ Una piramide è retta se il poligono di base è inscrittibile in una circonferenza il cui centro è piede
della perpendicolare condotta dal vertice della piramide al piano di base.
๏ L’area della sezione è quindi un quadrato di area sen x, per cui il volume è dato da:
๐
๐=
๐ ๐๐ ๐ฅ ๐๐ฅ = −๐๐๐ ๐ฅ
0
๐
0
=2
๏ La funzione data è un’iperbole omografica, ossia un’iperbole equilatera di asintoti: x = -2 e y = 1;
pertanto il punto d’intersezione degli asintoti (2; 1) è centro di simmetria della curva.
Volendo procedere ad una verifica diretta è semplice applicare all’equazione della funzione le
equazioni della simmetria centrale sostituendo a [x ๏ฎ 4 – x]; e a [y ๏ฎ 2 – y] e verificare così
l’asserto.
๏ Posta l’altezza del cilindro uguale a 2๏x, il raggio della circonferenza di base si ottiene applicando
il teorema di Pitagora al triangolo colorato in figura.
Pertanto il volume del cilindro è dato da: V = ๏ฐ (r 2 – x 2) ๏ 2 x = 2 ๏ฐ (r 2 x – x 3); dove 0 ๏ฃ x ๏ฃ r.
Per massimizzare il volume basterà massimizzare la funzione y = r 2 x – x 3.
Essendo y ' = r 2 – 3 x 2 il massimo si ha per x = r / ๏3.
2
๏ Per calcolare la probabilità di avere almeno un 6 lanciando quattro volte un dado calcoliamo
quella dell’evento contrario ossia che il 6 non esca neppure una volta nei quattro lanci. Detta
probabilità è data da: ๐ =
4
0
1
5 4
60
6
= 0,482 ; dove 1/6 è la probabilità che esca il 6 e 5/6 quella
dell’evento contrario. Pertanto la probabilità cercata è p = 1 – q = 0,518.
Analogamente calcoliamo la probabilità di avere almeno un 12 lanciando ventiquattro volte due
dadi. Ricordando che la probabilità che esca 12 lanciando due dadi è 1/36 e quella dell’evento
contrario è 35/36, si ha: ๐ =
24
0
1
36 0
35 24
36
= 0,509 ; quindi p = 1 – q = 0,491 che è quindi la
probabilità più piccola.
๏ Il quinto postulato di Euclide afferma l’esistenza e l’unicità della retta parallela ad una retta data
passante per un punto P non appartenente ad essa.
Un modello di geometria non euclidea è quello ottenuto sulla superficie di una sfera (ad esempio la
Terra) dove consideriamo i meridiani come rette parallele.
Per ulteriori approfondimenti si consulti un qualsiasi testo scolastico.
๏ Ponendo Y = sen x; X = cos x; e notando che la relazione fondamentale della goniometria diventa
X 2 + Y 2 = 1; si ha che risolvere l’equazione data equivale a risolvere il sistema parametrico:
๐+๐ = ๐
๐2 + ๐2 = 1
Graficamente cerchiamo le intersezioni tra le rette del fascio improprio e la
circonferenza.
È facile notare che si hanno sempre due intersezioni, ossia due soluzioni reali,
distinte o coincidenti (le tangenti), per rette comprese fra le posizioni delle due
rette tangenti, ossia per - ๏2 ๏ฃ k ๏ฃ ๏2.
๏ด๏ด๏ด๏ด
Prof. Ettore Limoli
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