Esito della I prova di esame di Elettrotecnica
Corso di Laurea in Ingegneria Informatica e delle
Telecomunicazioni.
De Francesco L. 22
Mastrolembo S. 26
Spitaleri
G. 18
La registrazione dell’esame si terrà giorno 12 Giugno
nello studio del docente dalle ore 15:30 alle ore 17:00.
Nello stesso orario gli studenti che lo desiderano potranno visionare il proprio compito.
Dott. Giuseppe Borzı̀
PS. Visti i risultati di questa prima prova scritta, nelle
pagine seguenti viene riportata la soluzione del compito.
Soluzione del I esercizio
Per risolvere il primo esercizio occorre calcolare l’equivalente
di Thevenin visto ai capi dell’impedenza di carico Z Carico .
Si noti che la fase del generatore di tensione vg è irrilevante, quindi la si assume nulla.
Calcoli preliminari
V̇g = 12 V
Z L = jωL
= 2j Ω
Z C = −j/ωC = −8j Ω
Calcolo dell’impedenza di Thevenin
Per calcolare l’impedenza di Thevenin si cortocircuita il
generatore di tensione vg e si inserisce un generatore di
prova I˙p al posto dell’impedenza di carico Z Carico , otteαv1
C
1
-
+
L
R2
Ip
R1
2
+
v1
-
nendo il circuito in figura.
Risolto questo circuito, si otterrà l’impedenza di Thevenin
come Z T h = Ė1 /I˙p . Usando l’analisi ai nodi si ottiene il
sistema
G2 + Y C + Y L −G2 − Y L
G1 + G2 + Y L
−G2 − Y L
Ė1
Ė2
=
I˙p + Y L αĖ2
−Y L αĖ2
Essendo V̇1 = Ė2 . Portando a primo membro i termini
del secondo contenenti l’incognita Ė2 il sistema diventa
G2 + Y C + Y L −G2 − Y L − αY L
−G2 − Y L
G1 + G2 + Y L + αY L
Ė1
Ė2
=
I˙p
0
Assumendo I˙p = 1 A il sistema in forma numerica è
0.125 − 0.375j −0.125 + 2j
−0.125 + 0.5j 0.25 − 2j
Ė1
Ė2
=
1
0
risolvendo si ottiene Ė1 = 1.8020 − 7.3174j V (non è
necessario calcolare Ė2 ) e quindi
Z T h = Ė1 /I˙p = 1.8020 − 7.3174j Ω.
Calcolo della tensione di Thevenin
La tensione di Thevenin si ricava aprendo l’impedenza
Z Carico e calcolando la tensione tra i morsetti aperti del
αv1
C
vg
circuito in figura.
+
−
1
-
+
L
R2
R1
2
+
v1
-
Si noti che V̇T h = Ė1 e che trasformando il generatore
reale di tensione costituito dalla serie di V g con Z C in
un generatore reale di corrente si ottiene un circuito
identico a quello usato per il calcolo dell’impedenza di
Thevenin con I˙p = Y C V̇g = 1.5j A. Se con I˙p = 1 A si
ha Ė1 = 1.8020 − 7.3174j V con I˙p = 1.5j A si otterrà
Ė1 = (1.8020 − 7.3174j) · 1.5j V = 10.9761 + 2.7031j V
e quindi
V̇T h = 10.9761 + 2.7031j V
Si noti che sarebbe sufficiente calcolare il modulo della
tensione di Thevenin
¯
¯
¯
¯
¯V̇T h ¯
= |1.8020 − 7.3174j| · 1.5 V
= 7.5360 · 1.5 V
= 11.304 V.
Calcoli finali
Dal teorema del massimo trasferimento di potenza si ha
∗
Z Carico = Z T h = 1.8020 + 7.3174j Ω
mentre la potenza complessa assorbita è
S Carico =
=
1
2
2 Z Carico ICarico2
|V̇T h |
1
2 Z Carico 4Re(Z )2
Th
= 8.8636 + 35.9917j V A.
Soluzione del II esercizio
Nel secondo esercizio il transitorio si riduce ad una semplice scarica RL dell’induttore sul resistore R4 visto che
gli interruttori aprono nell’istante t = 0 s. Per calcolare
la condizione iniziale, ovvero la corrente che attraversa
l’induttore nell’istante t = 0 s, si studia il circuito a
regime per t < 0 s.
Calcolati preliminarmente V̇g = 10 V e Z L = jωL =
40j Ω si osserva che con gli interruttori chiusi la tensione
di uscita dell’operazionale è V̇o(−) = (1 + R2 /R1 ) V̇g =
20 V . Per calcolare la corrente a regime per t < 0 s è
conveniente determinare l’equivalente di Thevenin visto
dall’induttore
RT h = R3 //R4
= 2Ω
(−) R4
V̇T h = V̇o R3 +R4 = 13.333 V
dai quali si ricava
V̇T h
= 0.016625 − 0.332502j A
RT h + Z L
si noti che non è necessario calcolare
la parte immagi³ ´
naria di I˙L . Come noto iL (0) = Re I˙L = 0.016625 A e
quindi per t > 0 s si ha
I˙L =
iL (t) = iL (0) exp (−t/τ ) = 0.016625 · exp (−t/τ ) A
con la costante di tempo
L
= 1.6667 ms.
R4
La tensione si calcola come segue
τ=
vL (t) = L
diL (t)
= −0.099751 exp (−t/τ ) V
dt
oppure
vL (t) = −R4 iL (t) = −0.099751 exp (−t/τ ) V.
