Esito della I prova di esame di Elettrotecnica Corso di Laurea in
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Esito della I prova di esame di Elettrotecnica Corso di Laurea in Ingegneria Informatica e delle Telecomunicazioni. De Francesco L. 22 Mastrolembo S. 26 Spitaleri G. 18 La registrazione dell’esame si terrà giorno 12 Giugno nello studio del docente dalle ore 15:30 alle ore 17:00. Nello stesso orario gli studenti che lo desiderano potranno visionare il proprio compito. Dott. Giuseppe Borzı̀ PS. Visti i risultati di questa prima prova scritta, nelle pagine seguenti viene riportata la soluzione del compito. Soluzione del I esercizio Per risolvere il primo esercizio occorre calcolare l’equivalente di Thevenin visto ai capi dell’impedenza di carico Z Carico . Si noti che la fase del generatore di tensione vg è irrilevante, quindi la si assume nulla. Calcoli preliminari V̇g = 12 V Z L = jωL = 2j Ω Z C = −j/ωC = −8j Ω Calcolo dell’impedenza di Thevenin Per calcolare l’impedenza di Thevenin si cortocircuita il generatore di tensione vg e si inserisce un generatore di prova I˙p al posto dell’impedenza di carico Z Carico , otteαv1 C 1 - + L R2 Ip R1 2 + v1 - nendo il circuito in figura. Risolto questo circuito, si otterrà l’impedenza di Thevenin come Z T h = Ė1 /I˙p . Usando l’analisi ai nodi si ottiene il sistema G2 + Y C + Y L −G2 − Y L G1 + G2 + Y L −G2 − Y L Ė1 Ė2 = I˙p + Y L αĖ2 −Y L αĖ2 Essendo V̇1 = Ė2 . Portando a primo membro i termini del secondo contenenti l’incognita Ė2 il sistema diventa G2 + Y C + Y L −G2 − Y L − αY L −G2 − Y L G1 + G2 + Y L + αY L Ė1 Ė2 = I˙p 0 Assumendo I˙p = 1 A il sistema in forma numerica è 0.125 − 0.375j −0.125 + 2j −0.125 + 0.5j 0.25 − 2j Ė1 Ė2 = 1 0 risolvendo si ottiene Ė1 = 1.8020 − 7.3174j V (non è necessario calcolare Ė2 ) e quindi Z T h = Ė1 /I˙p = 1.8020 − 7.3174j Ω. Calcolo della tensione di Thevenin La tensione di Thevenin si ricava aprendo l’impedenza Z Carico e calcolando la tensione tra i morsetti aperti del αv1 C vg circuito in figura. + − 1 - + L R2 R1 2 + v1 - Si noti che V̇T h = Ė1 e che trasformando il generatore reale di tensione costituito dalla serie di V g con Z C in un generatore reale di corrente si ottiene un circuito identico a quello usato per il calcolo dell’impedenza di Thevenin con I˙p = Y C V̇g = 1.5j A. Se con I˙p = 1 A si ha Ė1 = 1.8020 − 7.3174j V con I˙p = 1.5j A si otterrà Ė1 = (1.8020 − 7.3174j) · 1.5j V = 10.9761 + 2.7031j V e quindi V̇T h = 10.9761 + 2.7031j V Si noti che sarebbe sufficiente calcolare il modulo della tensione di Thevenin ¯ ¯ ¯ ¯ ¯V̇T h ¯ = |1.8020 − 7.3174j| · 1.5 V = 7.5360 · 1.5 V = 11.304 V. Calcoli finali Dal teorema del massimo trasferimento di potenza si ha ∗ Z Carico = Z T h = 1.8020 + 7.3174j Ω mentre la potenza complessa assorbita è S Carico = = 1 2 2 Z Carico ICarico2 |V̇T h | 1 2 Z Carico 4Re(Z )2 Th = 8.8636 + 35.9917j V A. Soluzione del II esercizio Nel secondo esercizio il transitorio si riduce ad una semplice scarica RL dell’induttore sul resistore R4 visto che gli interruttori aprono nell’istante t = 0 s. Per calcolare la condizione iniziale, ovvero la corrente che attraversa l’induttore nell’istante t = 0 s, si studia il circuito a regime per t < 0 s. Calcolati preliminarmente V̇g = 10 V e Z L = jωL = 40j Ω si osserva che con gli interruttori chiusi la tensione di uscita dell’operazionale è V̇o(−) = (1 + R2 /R1 ) V̇g = 20 V . Per calcolare la corrente a regime per t < 0 s è conveniente determinare l’equivalente di Thevenin visto dall’induttore RT h = R3 //R4 = 2Ω (−) R4 V̇T h = V̇o R3 +R4 = 13.333 V dai quali si ricava V̇T h = 0.016625 − 0.332502j A RT h + Z L si noti che non è necessario calcolare la parte immagi³ ´ naria di I˙L . Come noto iL (0) = Re I˙L = 0.016625 A e quindi per t > 0 s si ha I˙L = iL (t) = iL (0) exp (−t/τ ) = 0.016625 · exp (−t/τ ) A con la costante di tempo L = 1.6667 ms. R4 La tensione si calcola come segue τ= vL (t) = L diL (t) = −0.099751 exp (−t/τ ) V dt oppure vL (t) = −R4 iL (t) = −0.099751 exp (−t/τ ) V.
