ESERCITAZIONE 1
Economia dell’Informazione e dei Mercati Finanziari
C.d.L. in Economia degli Intermediari e dei Mercati Finanziari (8 C.F.U.)
C.d.L. in Statistica per le decisioni …nanziarie ed attuariali (6 C.F.U.)
15 novembre 2012
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Premessa
In questa esercitazione, si propongono alcuni esempi di domande-esercizio
relative agli argomenti: utilità attesa, scelte in condizioni di incertezza, teoria
dei giochi, modello principale-agente standard con azzardo morale, estensioni
al modello di agenzia, contratti impliciti (cap.1-4 del testo "Economia dei
contratti").
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Utilità attesa, scelte in condizioni di incertezza, teoria dei giochi
Exercise 1 Sia data una funzione di utilità di un agente del tipo u = x1=4 .
La remunerazione dell’agente è data dal seguente prospetto incerto:
wh = 1800$ con probabilità p = 0:25
wL = 1200$ con probabilità 1
p = 0:75
a. Si calcoli il valore monetario atteso (VMA), l’equivalente certo (EC) e
il premio per il rischio (PR) di questa scommessa.
Il VMA è dato da: 0:25 1800 + 0:75 1200 = 1350
Il EC si calcola dalla funzione di utilità, ed è il valore w che restituisce la
stessa utilità attesa della scommessa.
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L’Utilità attesa è calcolata come: 0:25 (1800)1=4 + 0:75 12001=4 = 6:04,
da cui il EC è il valore w che soddisfa l’equazione: w1=4 = 6:04 ! w = 1333:2
Il PR è la di¤erenza tra VMA e EC: PR=1350 1333:2 = 16:77
b. Si dia una de…nizione ed intuizione di questi concetti
Il VMA è il valore oggettivo della scommessa, cioè ciò che in media si
può ottenere partecipando alla scommessa. Il EC è, invece, il valore soggettivo, che dipende dalla funzione di utilità dell’individuo: è l’ammontare che
rende l’individuo indi¤erente tra ottenere il CE con certezza e partecipare
alla scommessa con guadagno aleatorio pari al VMA. Il PR è l’ammontare
massimo che l’individuo pagherebbe per liberarsi dal rischio della scommessa.
c. E’l’agente avverso, propenso o neutrale al rischio?
Poichè il PR è positivo, l’individuo è avverso al rischio.
Exercise 2 Ad un individuo viene proposta la seguente scommessa: vincere 500 mila euro oppure vincere 10 mila euro con la stessa probabilità. Se
l’individuo non accetta la scommessa, ottiene 100 mila euro con certezza. Si
indichi:
a. il valore monetario atteso della scommessa.
V M A = 0:5 500000 + 0:5 10000 = 255000
b. la scelta che farebbe un individuo neutrale al rischio.
Un individuo neutrale al rischio accetterebbe 100 mila euro se questo
valore fosse superiore al VMA della scommessa; in questo caso, non accetta
la scommessa.
c. la scelta che farebbe un individuo con utilità u = x1=2
p
500000+
L’
utilità
attesa
di
tale
individuo
dalla
scommessa
rischiosa
è
0:5
p
0:5 10000p= 403:55. Da qui, il certo equivalente della scommessa è il valore
X tale che X = 403:55 ! X = 162855:33. Tale individuo sarebbe indi¤erente tra la scommessa e ricevere con certezza 162855.33 euro, quindi ri…uta
i 100 mila euro.
d. il valore minimo che il secondo giocatore sarebbe disposto ad accettare
invece di giocare la scommessa.
Tale valore minimo è il certo equivalente della scommessa, dunque 162855.33
euro.
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Exercise 3 Il proprietario di un’auto che vale 20 mila euro ha una probabilità del 2% (0.02) che la sua auto gli sia rubata.
a. Qual è il valore atteso se il proprietario non ha un’assicurazione?
Il valore atteso VA senza assicurazione è dato da: 0:02 0 + 0:98 20000 =
19600 euro
b. Un’assicurazione gli o¤re il seguente contratto: un rimborso (R) pari
al valore dell’auto se questa viene rubata, in cambio di un premio (P) di 500
euro. Se l’individuo è neutrale al rischio, conviene assicurarsi?
Per un individuo neutrale al rischio, il VA della seconda scommessa è:
0:02 (20000 20000 + 20000 500) + 0:98 (20000 500) = 19500 < 19600:
per questo individuo non conviene assicurarsi.
c. E se l’individuo è avverso al rischio, con utilità u = x1=2 ?
p
20000 =
L’utilità attesa della scommessa senza assicurazione
è:
0:02
0+0:98
p
138:59, mentre con l’assicurazione, l’utilità attesa è 19500 = 139:64 ! per
tale individuo, è conveniente assicurarsi, in quanto l’utilità attesa senza assicurazione è minore dell’utilità attesa con assicurazione.
d. Qual è il premio assicurativo massimo che l’individuo del punto c vorrà
pagare?
Fin tanto che, pagando il premio P e ricevendo il valore della macchina
come bonus, l’utilità attesa con assicurazione resta maggiore dell’utilità attesa senza assicurazione, l’individuo sarà contento di assicurarsi. Il premio
questa condizione:
p massimo è allora trovato in modo che sia rispettata
20000 P 138:59 ! Pmax = 20000 138:592 = 792:81
[Nota: l’utilità attesa con assicurazione è la radice del valore dell’auto al
netto del premio, perché l’assicurazione è completa, e dunque la ricchezza nei
due stati del mondo è la stessa]
[Nota 2: il premio max. corrisponde alla di¤erenza tra valore dell’auto e
certo equivalente senza assicurazione]
Exercise 4 Un agente deve scegliere tra due contratti:
contratto A: wL = 500$ con probabilità p = 0:3 e wH = 1000$ con
probabilità 1 p = 0:7
contratto B: wL = 200$ con probabilità p = 0:4 e wH = 1500$ con
probabilità 1 p = 0:6
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a. Si calcoli il valore monetario atteso da ciascun contratto
V M A(A) = 0:3 500 + 0:7 1000 = 850
V M A(B) = 0:4 200 + 0:6 1500 = 980
b. Quale contatto è scelto se l’agente è neutrale al rischio?
Il secondo, perché ha maggiore valore atteso.
p c. Quale contratto è preferibile se l’agente è avverso al rischio, con u =
w?
p
p
L’utilità attesa dal contratto A è 0:3 p 500 + 0:7 p 1000 = 28:844
200 + 0:6
1500 = 28:895
L’utilità attesa dal contratto B è 0:4
Anche l’individuo avverso al rischio sceglie il contratto B.
Exercise 5 Si consideri la seguente matrice di pay-o¤, in cui l’ordine del
gioco è: principale sceglie se accordare …ducia, l’agente risponde cooperando
oppure defezionando. L’ordine dei pay-o¤ è: c>a>d>b.
a. Si spieghi perchè la coppia di strategie "…ducia-coopero" non è un
equilibrio di Nash.
b. Cosa succede se il gioco può ripetersi in…nite volte e il principale
adotta una trigger strategy? Si scriva e si commenti la condizione per cui
vale il Teorema di Folk, data la matrice dei pay-o¤
Agente
coopero non coopero
Principale …ducia
a,a
b,c
non …ducia
d,d
d,d
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Azzardo morale, modello di agenzia standard
Exercise 6 Un dipendente di un’impresa deve realizzare l’output y = 20e+",
dove e è l’e¤ort e " è una variabile casuale a media 0 e varianza 2 . Il costo
dell’e¤ort per l’agente è c(e) = (1=2)e2 .
a. Si calcoli lo sforzo ottimale (…rst best).
Lo sforzo ottimale è quello che massimizza il benessere complessivo (S)
della relazione:
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S = E(y) c(e) = 20e e2 =2
Da cui, lo sforzo ottimale è quello che rende nulla la derivata prima si S
rispetto ad e:
@S=@e = 20 e = 0 ! eF B = 20
b. Se l’e¤ort non è osservabile, viene proposta una remunerazione all’agente
del tipo w = 10 + 0:8y. Dato lo schema di incentivazione lineare e una funzione di utilità dell’agente del tipo: u = e r[w c(e)] , dove r è la misura
dell’avversione al rischio dell’agente, quale sarà l’e¤ort ottimale per l’agente?
Con schema di incentivazione lineare e funzione di utilità del tipo CARA,
il certo equivalente (CE), che corrisponde al Valore Monetario Atteso (VMA)
meno il premio per il rischio (PR) dell’individuo, si può esprimere come:
CE(e) = E(w) C(e) P R = 10 + 0:8(E(y)) C(e) P R = 10 + 0:8
(20e) e2 =2 P R
L’e¤ort ottimale per l’individuo è quello che rende nulla la derivata prima
dell’espressione del suo certo equivalente, calcolata rispetto ad e, per cui:
@CE=@e = 0:8 20 e = 0 ! e = 16
p
Exercise 7 Sia dato un agente con funzione di utilità del tipo u= w e
ed utilità di riserva ū=4. Siano possibili solo due livelli di sforzo, eL = 1
e eH = 5. L’output y può assumere solo due valori: y = yL = 10 oppure
y = yH = 300: La probabilità con cui si realizza yL o yH dipende dallo sforzo
dell’agente, secondo le seguenti probabilità:
se e = eL , y = yL con p = 0:9 e y = yH con probabilità 1
p = 0:1;
se e = eH , y = yL con p = 0:4 e y = yH con probabilità 1
p = 0:6
a. Qual è l’azione ottimale se l’e¤ort è perfettamente osservabile (…rst
best) e quale contratto è o¤erto?
L’e¤ort che massimizza i pro…tti attesi dell’impresa è eH . Infatti, se
e = eH , l’impresa o¤re il salario di riserva all’individuo (cioè, il salario che,
se sostituitopnella funzione di utilità dell’agente restituisce la sua utilità di
w eH = u ! w = 81), e i suoi pro…tti attesi sono: 0:4
riserva ū:
10 + 0:6 300 81 =p103. Se invece si realizza l’e¤ort eL e l’impresa paga
il salario di riserva ( w eL = u ! w = 25), i suoi pro…tti attesi sono
0:9 10 + 0:1 300 25 = 14, per cui l’impresa o¤rirà un salario pari a zero
se osserva eL ed il salario di riserva se osserva eH , cioè 81.
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b. In presenza di asimmetria informativa sull’e¤ort, si scriva il vincolo
di partecipazione ed il vincolo di compatibilità degli incentivi per incentivare
e = eH .
Se non si può osservare l’e¤ort, l’impresa trasferisce parte del rischio sul
lavoratore per incentivarlo, o¤rendo un salario wL se si realizza l’output yL
e un salario wH se si realizza l’output yH . Il vincolo di partecipazione è dato
p
p
p
p
da: 0:6( wH 5) + 0:4( wL 5) 4 ! 0:6 wH + 0:4 wL 9
p
Il vincolo di compatibilità degli incentivi è dato da: 0:6( wH
5) +
p
p
p
p
p
0:4( wL 5) 0:1( wH 1) + 0:9( wL 1) ! 0:5 wH 0:5 wL 4
c. Qual è il salario incentivante in questo caso?
Mettendo a sistema i due vincoli, soddisfatti con uguaglianza, otteniamo:
p
p
dal vincolo di compatibilità degli incentivi:
wH = 4=0:5 + wL =
p
p
p
8+ wL . Sostituendo nel vincolo di partecipazione: 0:6(8+ wL )+0:4 wL =
p
9 ! wL = 4:2
Da cui: wL = 17:64 e wH = 148:84
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Estensioni al modello di agenzia
Exercise 8 In un torneo con due agenti (i=1, 2), sia wH il salario che
un agente ottiene se vince il torneo, wL il salario in caso di scon…tta. La
probabilità (P) di vincere il torneo per il generico agente i sia una funzione
lineare nell’e¤ort ei , tale per cui @P=@ei = 3. Il costo dello sforzo sia lo
stesso per i due agenti, dato da c(e) = (5e2 )=2:
a. Si derivi la condizione di massimizzazione dell’utilità dell’agente neutrale al rischio
L’utilità attesa dell’agente neutrale al rischio è il salario atteso:
E(U ) = E(w e) = P (wH c(e)) + (1 P ) (wL c(e)) = P wH +
(1 P ) wL (5e2 )=2
Nota: P è funzione di e.
Tale espressione, valutata rispetto all’e¤ort e, è massima quando
@E(U )=@e = 0 ! @P=@e wH @P=@e wL 5e = 0 ! @P=@e(wH wL ) =
5e
b. Si determini lo spread salariale (wH wL ) se il principale vuole ottenere
uno sforzo pari a e = 12.
Sostituendo nella precedente espressione, otteniamo: wH wL = 20
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Contratti impliciti
Exercise 9 Nel modello di Shapiro e Stiglitz (1984), un lavoratore con funzione di utilità del tipo u = w e può decidere di sforzarsi (eH = 500) oppure
di fare shirking (es = 100), e la probabilità di essere scoperto è p = 0:25. Il
salario di riserva sia w = 300. Si calcoli:
a. l’utilità dell’agente se fa shirking;
L’utilità attesa dallo fare lo scansafatiche è: us = 0:75 (w
(300 100) = 0:75w + 0:25 300 100 = 0:75w 25
b. l’utilità di comportarsi lealmente;
L’utilità del comportarsi lealmente è uc = w
100) + 0:25
500
c. il salario di e¢ cienza che l’impresa deve pagare per disincentivare lo
shirking;
Imponendo che sia uc
us , otteniamo: w 500 0:75w 25 ! w =
1900
d. la rendita salariale per il lavoratore.
Se l’informazione fosse perfetta (cioè, la probabilità di osservare se l’individuo
fa lo scansafatiche fosse uno), allora l’impresa o¤rirebbe il salario che, al
netto dello sforzo, rende l’individuo esattamente indi¤erente tra accettare e
ri…utare (il salario netto deve essere pari al salario di riserva): w 500 =
300 ! w = 800
Da qui, la rendita per il lavoratore è 1900 800 = 1100:
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