esercitazione 1

ESERCITAZIONE 1
Economia dell’Informazione e dei Mercati Finanziari
C.d.L. in Economia degli Intermediari e dei Mercati Finanziari (8 C.F.U.)
C.d.L. in Statistica per le decisioni …nanziarie ed attuariali (6 C.F.U.)
15 novembre 2012
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Premessa
Lo schema di esame prevede:
2 domande a risposta aperta (con limite di spazio di risposta). Una domanda coprirà la parte 2 del programma (economia dell’informazione),
una domanda verterà sulla parte 3 (mercati …nanziari). Vi sarà chiesto
di introdurre un argomento da un punto di vista teorico, dimostrare
come si deriva un risultato teorico e valutarne pro e contro. E’premiato il ricorso a gra…ci, ove possibile, e la contestualizzazione con esempi.
Ciasuna risposta vale 10 punti (per un totale di massimo 20 pt.).
1 o 2 domande-esercizio, in cui vi sarà chiesto di risolvere un semplice
quesito, dare delle de…nizioni e motivare i passaggi matematici. Questa
parte vale 10 pt ai …ni della valutazione.
1 domanda facoltativa per ottenere la lode (solo se si è risposto alle
altre parti)
Saranno coperti tutti gli argomenti previsti da programma.
In questa esercitazione, si propongono alcuni esempi di domande-esercizio
relative agli argomenti: utilità attesa, scelte in condizioni di incertezza, teoria
dei giochi, modello principale-agente standard con azzardo morale, estensioni
al modello di agenzia, contratti impliciti (cap.1-4 del testo "Economia dei
contratti").
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Utilità attesa, scelte in condizioni di incertezza, teoria dei giochi
Exercise 1 Sia data una funzione di utilità di un agente del tipo u = x1=4 .
La remunerazione dell’agente è data dal seguente prospetto incerto:
wh = 1800$ con probabilità p = 0:25
wL = 1200$ con probabilità 1
p = 0:75
a. Si calcoli il valore monetario atteso (VMA), l’equivalente certo (EC) e
il premio per il rischio (PR) di questa scommessa
b. Si dia una de…nizione ed intuizione di questi concetti
c. E’l’agente avverso, propenso o neutrale al rischio?
Exercise 2 Ad un individuo viene proposta la seguente scommessa: vincere 500 mila euro oppure vincere 10 mila euro con la stessa probabilità. Se
l’individuo non accetta la scommessa, ottiene 100 mila euro con certezza. Si
indichi:
a. il valore monetario atteso della scommessa
b. la scelta che farebbe un individuo neutrale al rischio
c. la scelta che farebbe un individuo con utilità u = x1=2
d. il valore minimo che il secondo giocatore sarebbe disposto ad accettare
invece di giocare la scommessa.
Exercise 3 Il proprietario di un’auto che vale 20 mila euro ha una probabilità del 2% (0.02) che la sua auto gli sia rubata.
a. Qual è il valore atteso se il proprietario non ha un’assicurazione?
b. Un’assicurazione gli o¤re il seguente contratto: un rimborso (R) pari
al valore dell’auto se questa viene rubata, in cambio di un premio (P) di 500
euro. Se l’individuo è neutrale al rischio, conviene assicurarsi?
c. E se l’individuo è avverso al rischio, con utilità u = x1=2 ?
d. Qual è il premio assicurativo massimo che l’individuo del punto c vorrà
pagare?
Exercise 4 Un agente deve scegliere tra due contratti:
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contratto A: wL = 500$ con probabilità p = 0:3 e wH = 1000$ con
probabilità 1 p = 0:7
contratto B: wL = 200$ con probabilità p = 0:4 e wH = 1500$ con
probabilità 1 p = 0:6
a. Si calcoli il valore monetario atteso da ciascun contratto
b. Quale contatto è scelto se l’agente è neutrale al rischio?
p c. Quale contratto è preferibile se l’agente è avverso al rischio, con u =
w?
Exercise 5 Si consideri la seguente matrice di pay-o¤, in cui l’ordine del
gioco è: principale sceglie se accordare …ducia, l’agente risponde cooperando
oppure defezionando. L’ordine dei pay-o¤ è: c>a>d>b.
a. Si spieghi perchè la coppia di strategie "…ducia-coopero" non è un
equilibrio di Nash.
b. Cosa succede se il gioco può ripetersi in…nite volte e il principale
adotta una trigger strategy? Si scriva e si commenti la condizione per cui
vale il Teorema di Folk, data la matrice dei pay-o¤
Agente
coopero non coopero
Principale …ducia
a,a
b,c
non …ducia
d,d
d,d
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Azzardo morale, modello di agenzia standard
Exercise 6 Un dipendente di un’impresa deve realizzare l’output y = 20e+",
dove e è l’e¤ort e " è una variabile casuale a media 0 e varianza 2 . Il costo
dell’e¤ort per l’agente è c(e) = (1=2)e2 .
a. Si calcoli lo sforzo ottimale (…rst best).
b. Se l’e¤ort non è osservabile, viene proposta una remunerazione all’agente
del tipo w = 10 + 0:8y. Dato lo schema di incentivazione lineare e una funzione di utilità dell’agente del tipo: u = e r[w c(e)] , dove r è la misura
dell’avversione al rischio dell’agente, quale sarà l’e¤ort ottimale per l’agente?
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p
Exercise 7 Sia dato un agente con funzione di utilità del tipo u= w e
ed utilità di riserva ū=4. Siano possibili solo due livelli di sforzo, eL = 1
e eH = 5. L’output y può assumere solo due valori: y = yL = 10 oppure
y = yH = 300: La probabilità con cui si realizza yL o yH dipende dallo sforzo
dell’agente, secondo le seguenti probabilità:
se e = eL , y = yL con p = 0:9 e y = yH con probabilità 1
p = 0:1;
se e = eH , y = yL con p = 0:4 e y = yH con probabilità 1
p = 0:6
a. Qual è l’azione ottimale se l’e¤ort è perfettamente osservabile (…rst
best) e quale contratto è o¤erto?
b. In presenza di asimmetria informativa sull’e¤ort, si scriva il vincolo
di partecipazione e il vincolo di compatibilità degli incentivi per incentivare
e = eH .
c. Qual è il salario incentivante in questo caso?
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Estensioni al modello di agenzia
Exercise 8 In un torneo con due agenti (i=1, 2), sia wH il salario che
un agente ottiene se vince il torneo, wL il salario in caso di scon…tta. La
probabilità (P) di vincere il torneo per il generico agente i sia una funzione
lineare nell’e¤ort ei , tale per cui @P=@ei = 3. Il costo dello sforzo sia lo
stesso per i due agenti, dato da c(e) = (5e2 )=2:
a. Si derivi la condizione di massimizzazione dell’utilità dell’agente neutrale al rischio (suggerimento: se l’agente è neutrale al rischio, utilità attesa
corrisponde al salario atteso)
b. Si determini lo spread salariale (wH wL ) se il principale vuole ottenere
uno sforzo pari a e = 12.
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Contratti impliciti
Exercise 9 Nel modello di Shapiro e Stiglitz (1984), un lavoratore con funzione di utilità del tipo u = w e può decidere di sforzarsi (eH = 500) oppure
di fare shirking (es = 100), e la probabilità di essere scoperto è p = 0:25. Il
salario di riserva sia w = 300. Si calcoli:
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a. l’utilità dell’agente se fa shirking;
b. l’utilità di comportarsi lealmente;
c. il salario di e¢ cienza che l’impresa deve pagare per disincentivare lo
shirking;
d. la rendita salariale per il lavoratore.
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