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1.
2.
3.
4.
Esercizi di consolidamento
3
Costruisci l’angolo concavo il cui coseno è uguale a
.
2
5
Costruisci l’angolo ottuso il cui seno è uguale a .
6
3
Costruisci l’angolo concavo il cui seno è uguale a  .
4
1
Costruisci l’angolo acuto la cui tangente è uguale a .
2
Calcola i valori delle restanti funzioni goniometriche dell’angolo di misura , sapendo che:
1
 
   0; 
5. sen  
3
 2
1
 3 
   ;  
6. cos   
4
 2 
 
   0; 
7. tg  5
 2
Ricordando le relazioni fondamentali della goniometria, semplifica le seguenti espressioni:
tg 2  1
1


3
3
sen   cos  1  sen 
cot g 2  1
cos 

 (ricorda che: cot  = 1/ tan )
9. 
sen  sen 3   cos 3 
8.
Calcola il valore delle seguenti espressioni:
10. 2tg

6
 3tg

5
7
11
 sen
 cos
6
6
6
 2tg

 tg
5
11
 sen
4
6
11.
3tg
12.
1  3tg 43  3 cos 3  11sen 43
3
4
Disegna, nell’intervallo a fianco indicato, i grafici delle seguenti funzioni:


13. y  sen x  
0, 2 

3


14. y  cos x  

6


15. y  tg x  

4
0, 2 
0,  


16. y  cot g x  

3
0,  


17. y  cos 2 x  

3
0,  
 x 
18. y  cos  
 2 3
x 
19. y  sen  
 2 3


20. y  3 cos  x  2
4

2 , 2 
 ; 5 
 ,  
21. Calcola sen e cos sapendo che sen


1
e che  appartiene al 1° quadrante
3
2
22. Calcola cos(30° - 45°)
23. Calcola cos(2/3)
24. Determina sen(3) in funzione di sen  e cos utilizzando le formule di addizione e di
duplicazione
25. Calcola sen (15°)
Risolvi le seguenti equazioni:
26.
2sen x – 1 = 0
27.
3 cos x = 1
28.
sen(2x + /3) = - 1/2
29.
3tg(15x - /4) = 3
30.
sen(2x+3) = sen (5x - 2)
31.
cos (3x - /3) = cos (7x + /6)
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
cos(x/3 - 3) = - 1/2
sen x + cosx = 0
2senx + cos2x = 1
sen x – cosx +1 = 0
sen2 x – cos2 x = 0
(senx – 1)(2senx +1 )= 0
2sen2x + senx – 1 = 0
cos2x - 2sen2x + 2senx = 0
2cos2x –cosx – 1 =0
sen(x/2) – cos x = 0
cos 4x  cos 2x  cos x  0
tg x + 2senx = 0
4sen x cos x - 2cos x +23 sen x - 3 = 0
cos2 x + cosx sen x = 0
sen2 x - sen x cos x - 2cos2 x + 1 = 0
cos(x - /6) + 2 sen(x - /3) = 1
cos 2 x + sen x = 0
sen2x/2 + cos x = 1
Risolvi le seguenti disequazioni in un periodo:
50.
senx < 1/2
51.
2cosx > -1
52.
sen x + cosx > 0
53.
2senx + cos2x > 1
54.
sen x – cosx +1 < 0
55.
sen2 x – cos2 x < 0
56.
(senx – 1)(2senx +1 )> 0
57.
2sen2x + senx – 1 < 0
58.
2cos2x –cosx – 1 >0
59.
sen(x/2) – cos x < 0
60.
cos 4x  cos 2x  cos x  0
Risolvi le seguenti equazioni e disequazioni in un periodo
61. 3 cos (2x) + 2 3 sen x cos x = 0
x
62. sen 2
+ cos x = cos 2 x
2
63. sen3x + cos3 x > 0
64. sen (3x) – sen(2x) < – sen x
Determina il dominio delle seguenti funzioni nell’intervallo a fianco indicato:
cos x
65. y 
0, 2 
sen x  cos x
sen 2 x
0,  
cos 2 x
sen 2 x  5sen x  2
67. y 
  ,  
cos 2 x  sen x  1
  
68.
y  tg 2 x  1
  2 ; 2 
66. y 
Discuti le soluzioni, nell’intervallo a fianco indicato, al variare del parametro reale k, delle
eseguenti equazioni:

3
69. 2sen2x+senx-5+3k=0
con  x  
6
4
70. sen(2x) – k = 0 con 0 < x < 2
71. sen x – k cos x = 1 con 0 < x < 2

) + 1.
3
Tracciarne il grafico nell’intervallo [0,  ]
Determinare i suoi zeri (ascisse dei punti di intersezione con l’asse x)
Determinare per quali x si ha f(x) > 1
Disegnare g(x) = |f(x)|
72. Sia data la funzione f(x) = 2sen (3x a)
b)
c)
d)
Risolvi i seguenti triangoli rettangoli conoscendo la misura del cateto b e dell’angolo ad esso
opposto
73. b = 10  = 40°
R
 = 50° a  15,6
c  11,9
74. b = 32  = 10°
R
 = 80° a  184,3
c  181,5
Risolvi i seguenti triangoli rettangoli conoscendo la misura del cateto b e dell’angolo ad esso
adiacente
75. b = 20  = 47°
R
 = 43°
a  29,3
c  21,4
76. b = 3,2
 = 20°
R
 = 70°
a  3,4
c  1,16
Risolvi i seguenti triangoli rettangoli conoscendo la misura dell’ipotenusa a del cateto b
77. a = 40
78. a = 5,7
b = 20
b = 3,1
R
R
c  34,6
c  4,78
 = 30°
 = 33°
  60°
  57°
Risolvi i seguenti triangoli rettangoli conoscendo la misura dei cateti b e c
79. b = 5
c = 12
R a = 13
 = 23°
  67°
80. b = 17,1
c = 21
R c  27,08
 = 39°
  51°
Risolvi, se è possibile, i seguenti triangoli di cui sono dati i seguenti tre elementi
81. a = 60
82. a = 60
83. a = 50
b = 30
b = 30
b = 50
 = 30°
 = 30°
 = 30°
R
R
R
c = 30 3
c  37,2
c  25,9
 = 90°  = 60°
  126°   24°
 = 75°  = 75°
82. In una circonferenza di centro O e raggio r, la corda AB è uguale al lato del quadrato inscritto.
Condotta per il punto B la semiretta tangente alla circonferenza che giace, rispetto ad AB, nel
semipiano che contiene il centro O, determinare sulla semiretta un punto P tale che si abbia:
BA  AP
6 2

BP
2
83. Data una semicirconferenza di diametro AB = 2r, si tracci la semiretta t tangente in A alla
semicirconferenza stessa e su di essa si segnino i punti P e Q per i quali risulti PA = r e QA = 2r. Si
determini sulla semicirconferenza stessa un punto C per il quale risulti CQ = CP 2 .
84. L'indice n di rifrazione relativo del vetro flint leggero rispetto all'aria è circa 1,575. Calcolare
l'angolo limite (ossia l'angolo cui corrisponde la riflessione totale) di un raggio luminoso che
passa dal vetro flint leggero all'aria.
85. In una circonferenza di centro O si consideri una corda AB e sia M il suo punto medio. Si
AB  2OM
determini la funzione f che rappresenta la variazione del rapporto
in funzione
AO
dell’angolo BAO = x. Disegnare il grafico della funzione y = f(x) in un piano cartesiano Oxy.
86. Sia dato il quadrante OAB di un cerchio di raggio 1. Tracciare da un punto P di OAB la
tangente t all’arco di circonferenza che delimita il quadrante. Considerare le intersezioni di t con
i prolungamenti dei raggi OA e AB. Dette rispettivamente R e S tali intersezioni, esprimere
come varia la funzione che esprime la somma delle misure dei segmenti PR e PS al variare
dell’angolo AOP = x
87. Sul lato AB di un triangolo equilatero ABC si prenda un punto P e si studi come variano il
AB
rapporto
e il suo inverso in funzione dell’angolo BCP = x
CP
88. Si inscriva nella circonferenza di centro O il quadrato ABCD e sul lato AB si prenda un punto
P.
PB
Si studi come varia il rapporto
in funzione dell’angolo PDA = x
PD
89. Si consideri il triangolo equilatero ABC inscritto nella circonferenza di raggio r e centro O. Sul
minore dei due archi AB, si consideri un punto P e si studi come varia l’area del quadrilatero
convesso PBOA al variare dell’angolo PAB = x
90. È data la corda AB = 1, lato del quadrato inscritto nella circonferenza di centro O. Si consideri,
sul minore dei due archi AB un punto N e si tracci la bisettrice dell’angolo AON. Tale bisettrice
incontra l’arco AB considerato in un punto M. Si studi come varia la somma delle aree dei
triangoli AOM, MON e NOB al variare dell’angolo AOM = x
91. È data la corda AB = r 3 di una circonferenza di centro O. Dall’estremo C del diametro AC, si
DB  BC
conduca una corda che interseca in D AB. Si studi come varia il rapporto
al variare
DC
bell’angolo ACD = x
92. Nel triangolo ABC sono noti il lato AB=a, l’angolo B=arctang(4/3) e l’altezza CH=AB.
Sull’arco AB di circonferenza interno al triangolo e tangente in A al lato AC si consideri un punto
P in modo che: PA  PB  kPC 2
93. Un corpo di 2 kg. è attaccato a una molla avente la costante elastica k = 5. 103 N/m. La molla
viene allungata di 10-2 m. dall'equilibrio e poi lasciata andare. i trovino:
a) la frequenza del moto
b) il periodo del moto
c) l'ampiezza del moto
94. La configurazione di un mezzo in un certo istante t è descritto dalla sovrapposizione delle
cosinusoidi:
r
r
s1 = s01 cos 1 (t )
s2 = s02 cos 2 (t )
v1
v2
con s01 = 5.10-2 m
s02 = 2. 10-2 m.
1 = 1 rad/s 2 = 2rad/s
Si considerino i casi:
a) v1 = v2 = 1 m/s
b) v1 = 2m / s
v2 = 1 m/s
Si costruiscano i grafici della configurazione del mezzo agli istanti t = 1 s e t' = 5 s. Si mostri
che nel caso a) il profilo del mezzo all'istante t' si ottiene traslando in avanti il profilo all'istante t
senza deformarlo e che, invece, nel caso b) il profilo si deforma la passare del tempo.
95. Due diapason che oscillano con periodi rispettivamente di 1/100 e 1/1000 di secondo vengono
fatti oscillare per 1 s. Quale dei due realizza, con migliore approssimazione, una sorgente di
perturbazione armonica? Perché?