Prova scritta di Teoria dei Segnali: nuovo ordinamento (a) Siena, 21

Prova scritta di Teoria dei Segnali: nuovo ordinamento (a)
Siena, 21 Gennaio 2002
1. Si calcoli l’autocorrelazione del segnale x(t) = rect(t+0.5) + rect(t+2.5) e se ne disegni l’andamento grafico.
(3 punti)
2. Si calcoli il valore del seguente integrale:
. (3 punti)
3. Si calcoli la trasformata di Fourier del segnale s(t) = tr(6t+24)cos(πt). (3 punti)
4. Dopo aver introdotto la nozione di sistema non distorcente, si enuncino le condizioni di non distorsione per
un sistema lineare tempo invariante e si discutano tali condizioni in relazione a un sistema caratterizzato
da una risposta in frequenza H(f) pari a (3 punti):
5. Si calcoli la trasformata di Fourier del segnale periodico riportato in figura e se ne disegni l’andamento
grafico (4 punti):
2
-4
-2
2
2
1
1
2
45 5
-2
6. Detti x(t) e y(t) il segnale in ingresso e in uscita ad un sistema, si studi la linearità e la tempo invarianza dei
sistemi caratterizzati dalle seguenti relazioni ingresso/uscita (4 punti):
7. Si calcoli il valor medio di una variabile aleatoria X avente densità di probabilità fX(x) = 2e-2xu(x) (3 punti)
8. Dato un processo x(k,t) = (A+4B)cos(2πf0t - 2θ), dove A, B e θ sono variabili aleatorie indipendenti aventi
densità di probabilità distribuite uniformemente rispettivamente in [0,2], [-1,1] e [0,2π], se ne studi la
stazionarietà in senso lato e se ne calcoli la densità spettrale di potenza media. (3 punti)
9. Un sacco contiene 3 dadi, per il primo le probabilità che escano le varie facce sono pari a P(1) = P(2) =
P(3) =P(4) = P(5) = P(6) = 1/6, per il secondo le facce pari hanno una probabilità maggiore essendo P(1)
= P(3) = P(5) = 1/9 e P(2) = P(4) = P(6) = 2/9, mentre per il terzo la faccia 6 è più probabile delle altre, in
quanto P(6) = 1/3 e P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = 2/15. Un giocatore estrae a caso un dado e poi lo
lancia 2 volte. Si calcoli la probabilità che la somma dei due lanci sia pari a 10. (3 punti)
10. Si considerino due segnali aleatori indipendenti e stazionari s1(k,t) e s2(k,t). Il primo segnale è un
passa basso ideale avente banda 2B, mentre il secondo è un passa banda con densità spettrale
di potenza media costante nell’intervallo [f0-4B, f0+4B], con f0 >> B. A partire da s1(k,t) e s2(k,t) si
costruisca un nuovo segnale y(k,t) = s1(k,t)s2(k,t). Sapendo che la densità spettrale di potenza
media all’interno della banda dei due segnali è costante e uguale a N0, si chiede di verificare la
stazionarietà in senso lato di y(k,t) e di calcolarne la densità spettrale di potenza media e la
potenza media. (4 punti)
Nome……………………………… Cognome …………………………………… Matricola …………………………..
Nuovo Ordinamento
Vecchio -> Nuovo Ordinamento
Prova scritta di Teoria dei Segnali: nuovo ordinamento (b)
Siena, 21 Gennaio 2002
1. Si calcoli l’autocorrelazione del segnale x(t) = rect(t-0.5) + rect(t-2.5) e se ne disegni l’andamento grafico.
(3 punti)
2. Si calcoli la trasformata di Fourier del segnale s(t) = tr(2t+4)cos(6πt). (3 punti)
3. Si calcoli il valore del seguente integrale:
. (3 punti)
4. Dopo aver introdotto la nozione di sistema non distorcente, si enuncino le condizioni di non distorsione per
un sistema lineare tempo invariante e si discutano tali condizioni in relazione a un sistema caratterizzato
da una risposta in frequenza H(f) pari a (3 punti):
5. Si calcoli la trasformata di Fourier del segnale periodico riportato in figura e se ne disegni l’andamento
grafico (4 punti):
22
-5
-1
11
55
-2
6. Detti x(t) e y(t) il segnale in ingresso e in uscita ad un sistema, si studi la linearità e la tempo invarianza dei
sistemi caratterizzati dalle seguenti relazioni ingresso/uscita (4 punti):
7. Si calcoli il valor medio di una variabile aleatoria X avente densità di probabilità fX(x) = 0.5e-x/2u(x) (3 punti)
8. Dato un processo x(k,t) = (A+2B)cos(2πf0t - θ), dove A, B e θ sono variabili aleatorie indipendenti aventi
densità di probabilità distribuite uniformemente rispettivamente in [–1,1], [2,4] e [0,2π], se ne studi la
stazionarietà in senso lato e se ne calcoli la densità spettrale di potenza media. (3 punti)
9. Un sacco contiene 3 dadi, per il primo le probabilità che escano le varie facce sono pari a P(1) = P(2) =
P(3) =P(4) = P(5) = P(6) = 1/6, per il secondo le facce dispari hanno una probabilità maggiore essendo
P(1) = P(3) = P(5) = 2/9 e P(2) = P(4) = P(6) = 1/9, mentre per il terzo la faccia 6 è più probabile delle
altre, in quanto P(6) = 1/3 e P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = 2/15. Un giocatore estrae a caso un dado e
poi lo lancia 2 volte. Si calcoli la probabilità che la somma dei due lanci sia pari a 4. (3 punti)
10. Si considerino due segnali aleatori indipendenti e stazionari s1(k,t) e s2(k,t). Il primo segnale è un
passa basso ideale avente banda B, mentre il secondo è un passa banda con densità spettrale di
potenza media costante nell’intervallo [f0-2B, f0+4B], con f0 >> B. A partire da s1(k,t) e s2(k,t) si
costruisca un nuovo segnale y(k,t) = s1(k,t)s2(k,t). Sapendo che la densità spettrale di potenza
media all’interno della banda dei due segnali è costante e uguale a N0, si chiede di verificare la
stazionarietà in senso lato di y(k,t) e di calcolarne la densità spettrale di potenza media e la
potenza media. (4 punti)
Nome……………………………… Cognome …………………………………… Matricola …………………………..
Nuovo Ordinamento
Vecchio -> Nuovo Ordinamento
Prova scritta di Teoria dei Segnali: nuovo ordinamento (c)
Siena, 21 Gennaio 2002
1. Si calcoli la trasformata di Fourier del segnale s(t) = tr(10t+5)sen(πt). (3 punti)
2. Si calcoli il valore del seguente integrale:
. (3 punti)
3. Si calcoli l’autocorrelazione del segnale x(t) = rect(t-1.5) + rect(t-3.5) e se ne disegni l’andamento grafico.
(3 punti)
4. Dopo aver introdotto la nozione di sistema non distorcente, si enuncino le condizioni di non distorsione per
un sistema lineare tempo invariante e si discutano tali condizioni in relazione a un sistema caratterizzato
da una risposta in frequenza H(f) pari a (3 punti):
5. Si calcoli la trasformata di Fourier del segnale periodico riportato in figura e se ne disegni l’andamento
grafico (4 punti):
2
22
-4
-1
11 1
45 5
-2
6. Detti x(t) e y(t) il segnale in ingresso e in uscita ad un sistema, si studi la linearità e la tempo invarianza dei
sistemi caratterizzati dalle seguenti relazioni ingresso/uscita (4 punti):
7. Si calcoli il valor medio di una variabile aleatoria X avente densità di probabilità fX(x) = 2e2xu(-x) (3 punti)
8. Dato un processo x(k,t) = (A+4B)sen(2πf0t + θ), dove A, B e θ sono variabili aleatorie indipendenti aventi
densità di probabilità distribuite uniformemente rispettivamente in [-2,0], [-1,1] e [0,2π], se ne studi la
stazionarietà in senso lato e se ne calcoli la densità spettrale di potenza media. (3 punti)
9. Un sacco contiene 6 dadi, per tre dadi le probabilità che escano le varie facce sono pari a P(1) = P(2) =
P(3) =P(4) = P(5) = P(6) = 1/6, per altri 2 le facce dispari hanno una probabilità maggiore essendo P(1) =
P(3) = P(5) = 1/9 e P(2) = P(4) = P(6) = 2/9, mentre per il dado restante la faccia 5 è più probabile delle
altre, in quanto P(5) = 1/3 e P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(6) = 2/15. Un giocatore estrae a caso un dado e
poi lo lancia 2 volte. Si calcoli la probabilità che la somma dei due lanci sia pari a 10. (3 punti)
10. Si considerino due segnali aleatori indipendenti e stazionari s1(k,t) e s2(k,t). Il primo segnale è un
passa basso ideale avente banda W, mentre il secondo è un passa banda con densità spettrale di
potenza media costante nell’intervallo [f0-3W, f0+3W], con f0 >> W. A partire da s1(k,t) e s2(k,t) si
costruisca un nuovo segnale y(k,t) = s1(k,t)s2(k,t). Sapendo che la densità spettrale di potenza
media all’interno della banda dei due segnali è costante e uguale a N0, si chiede di verificare la
stazionarietà in senso lato di y(k,t) e di calcolarne la densità spettrale di potenza media e la
potenza media. (4 punti)
Nome……………………………… Cognome …………………………………… Matricola …………………………..
Nuovo Ordinamento
Vecchio -> Nuovo Ordinamento
Prova scritta di Teoria dei Segnali: nuovo ordinamento (d)
Siena, 21 Gennaio 2002
1. Si calcoli la trasformata di Fourier del segnale s(t) = rect(6t-3)sen(10πt). (3 punti)
2. Si calcoli il valore del seguente integrale:
. (3 punti)
3. Si calcoli l’autocorrelazione del segnale x(t) = rect(t+0.5) + rect(t-1.5) e se ne disegni l’andamento grafico.
(3 punti)
4. Dopo aver introdotto la nozione di sistema non distorcente, si enuncino le condizioni di non distorsione per
un sistema lineare tempo invariante e si discutano tali condizioni in relazione a un sistema caratterizzato
da una risposta in frequenza H(f) pari a (3 punti):
5. Si calcoli la trasformata di Fourier del segnale periodico riportato in figura e se ne disegni l’andamento
2
grafico (4 punti):
2
2
-4
1
-2
5
21
4
5
-2
6. Detti x(t) e y(t) il segnale in ingresso e in uscita ad un sistema, si studi la linearità e la tempo invarianza dei
sistemi caratterizzati dalle seguenti relazioni ingresso/uscita (4 punti):
7. Si calcoli il valor medio di una variabile aleatoria X avente densità di probabilità fX(x) = 0.5ex/2u(-x) (3 punti)
8. Dato un processo x(k,t) = (2A-B)cos(2πf0t + 2θ), dove A, B e θ sono variabili aleatorie indipendenti aventi
densità di probabilità distribuite uniformemente rispettivamente in [–1,1], [2,4] e [0,2π], se ne studi la
stazionarietà in senso lato e se ne calcoli la densità spettrale di potenza media. (3 punti)
9. Un sacco contiene 6 dadi, per due dadi le probabilità che escano le varie facce sono pari a P(1) = P(2) =
P(3) =P(4) = P(5) = P(6) = 1/6, per altri 3 le facce dispari hanno una probabilità maggiore essendo P(1) =
P(3) = P(5) = 1/9 e P(2) = P(4) = P(6) = 2/9, mentre per il dado restante la faccia 1 è più probabile delle
altre, in quanto P(1) = 1/3 e P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = 2/15. Un giocatore estrae a caso un dado e
poi lo lancia 2 volte. Si calcoli la probabilità che la somma dei due lanci sia pari a 4. (3 punti)
10. Si considerino due segnali aleatori indipendenti e stazionari s1(k,t) e s2(k,t). Il primo segnale è un
passa basso ideale avente banda 4W, mentre il secondo è un passa banda con densità spettrale
di potenza media costante nell’intervallo [f0-W, f0+2W], con f0 >> W. A partire da s1(k,t) e s2(k,t) si
costruisca un nuovo segnale y(k,t) = s1(k,t)s2(k,t). Sapendo che la densità spettrale di potenza
media all’interno della banda dei due segnali è costante e uguale a N0, si chiede di verificare la
stazionarietà in senso lato di y(k,t) e di calcolarne la densità spettrale di potenza media e la
potenza media. (4 punti)
Nome……………………………… Cognome …………………………………… Matricola …………………………..
Nuovo Ordinamento
Vecchio -> Nuovo Ordinamento