Equazioni goniometriche

Equazioni goniometriche
Equazioni goniometriche elementari (I° tipo)
L’equazione goniometrica elementare:
sen x = m
Le soluzioni sono date da:
x = α + 2 k 180°
x = 180° + α + 2 k 180°
L’equazione goniometrica elementare:
cos x = n
Le soluzioni sono date da:
x = mα + 2 k 180°
L’equazione goniometrica elementare:
tan x = p
Le soluzioni sono date da:
x = α + k 180°
ammette soluzioni se:
ammette soluzioni se:
−1 ≤ m ≤ 1
−1 ≤ n ≤ 1
ammette soluzioni ∀p ∈ R
Equazioni goniometriche elementari (II° tipo)
Le soluzioni dell’’equazione:
sen x = sen y
sono date da:
Le soluzioni dell’’equazione:
cos x = cos y
sono date da:
Le soluzioni dell’’equazione:
tan x = tan y
sono date da:
Matematica
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x − y = 2 k 180°
x + y = (2 k + 1)180°
x − y = 2 k 180°
x + y = 2 k 180°
x − y = k 180°
1
Equazioni lineari in seno e coseno
Un’equazione lineare in seno e coseno è un’equazione che, ridotta a forma normale, è del tipo:
a sen x + b cos x + c = 0
Essa può essere trasformata nell’equazione goniometrica fondamentale:
A sen (x + α ) + c = 0
con A =
a2 + b2
e
tan α =
b
a
Dimostrazione
Applicando la formula di addizione all’equazione: A sen (x + α ) + c = 0 si ha:
A sen x ⋅ cos α + A cos x ⋅ senα + c = 0 .
 A cos α = a
 Asenα = b
Quest’ultima è equivalente alla prima equazione se: 
 A 2 cos 2 α = a 2
elevando ambo i membri al quadrato si ha:  2
 A sen 2α = b 2
e sommando membro a membro si ottiene: A2 cos 2 α + A2 sen 2α = a 2 + b 2
cioè: A2 ⋅ (cos 2 α + sen 2α ) = a 2 + b 2 ;
 A cos α = a
 Asenα = b
Mentre dal sistema: 
A2 = a 2 + b 2 ;
A = a2 + b2 .
dividendo membro a membro si ottiene:
Asenα b
=
A cos α a
cioè tan α =
b
a
Equazioni goniometriche omogenee
Un’equazione omogenea in seno e coseno è un’equazione che, ridotta a forma normale, è del tipo:
a sen2 x + b sen x ⋅ cos x + c cos2 x = 0
Essa si trasforma in un’equazione lineare mediante le formule:
sen 2 x =
1 − cos 2 x
2
Matematica
sen x ⋅ cos x =
1
sen 2 x
2
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cos 2 x =
1 + cos 2 x
2
2