schema Equazioni goniometriche

Equazioni goniometriche
Equazioni elementari
Le equazioni trigonometriche più semplici sono quelle riconducibili alle forme seguenti:
Soluzioni delle equazioni goniometriche elementari
L'equazione (1) ammette le soluzioni
L'equazione (2) ammette le soluzioni
L'equazione (3) ammette le soluzioni
Rappresentazione grafica delle soluzioni
Equazioni riconducibili a elementari
Equazioni in una sola funzione trigonometrica
a  sen2 x  b  sen x  c  0
a  cos 2 x  b  cos x  c  0
Attraverso una sostituzione sen x  t , cos x  t ,
Equazioni lineari in seno e coseno
tg x  t
a  tg 2 x  b  tg x  c  0
vengono ricondotte a “elementari”.
Posto
e
, si imposta il sistema:
Risolvendo questo sistema (che equivale geometricamente a trovare le intersezioni della retta di
equazione
con la circonferenza goniometrica), si ottengono due sistemi di
equazioni “elementari” equivalenti all'equazione iniziale.
Equazioni omogenee in seno e coseno
Equazione omogenea di secondo grado
Se
oppure
,
l'equazione si può scomporre in fattori e si applica la legge di annullamento del prodotto;
ad esempio, per
Se invece
e
si osserva che
sono diversi da 0,
, dividendo l'equazione per
Risolvendo questa equazione si trova facilmente il valore di
si ottiene:
, per cui il problema si riduce ad
equazioni elementari.
Equazione non omogenea di secondo grado
L'equazione più generale
si riconduce facilmente ad una omogenea osservando che
;