Analisi dei Dati – Prof. Marozzi Esercitazione 1 86 famiglie sono state classificate in base al numero di auto possedute. Auto 0 1 2 3 4 Famiglie 4 21 42 14 5 i) Indicare il carattere oggetto di interesse e la sua tipologia. ii) Calcolare la media aritmetica ed interpretarne il risultato. iii) Verificare la proprietà di nullità della somma degli scarti dalla media aritmetica. iv) Calcolare la media quadratica. v) Definire e calcolare lo scarto quadratico medio. vi) Ottenere la varianza del carattere utilizzando media aritmetica e media quadratica. Analisi dei Dati – Prof. Marozzi Svolgimento dell’esercitazione i) Il carattere oggetto di interesse è il numero di auto possedute da una famiglia. E’ un carattere quantitativo discreto, in quanto le modalità sono numeri ottenuti per conteggio. (ii) La formula per il calcolo della media aritmetica è M =x= 1 n k i =1 xi ni , essendo k=5 il numero delle modalità. xi 0 1 2 3 4 totale ni 4 21 42 14 5 86 x i ni 0 21 84 42 20 167 Segue che x= 1 n k i =1 xi ni = 1 167 = 1,94 . 86 La media aritmetica è pari a circa 1,94; immaginando quindi che il numero totale delle auto sia equamente distribuito tra le 86 famiglie, spetterebbe a ogni famiglia 1,94 auto. Analisi dei Dati – Prof. Marozzi iii) Una della proprietà della media aritmetica afferma che la somma degli scarti con segno delle osservazioni rispetto alla loro media aritmetica è pari a zero, in simboli k i =1 (xi − x )ni = 0 . I calcoli nella seguente tabella verificano la proprietà con riferimento al carattere e alla distribuzione che stiamo studiando. xi 0 1 2 3 4 totale (xi − x ) (xi − x )ni ni 4 21 42 14 5 86 -1,94 -0,94 0,06 1,06 2,06 - -7,77 -19,78 2,44 14,81 10,29 0 iv) La formula per il calcolo della media quadratica è Mq = xi 0 1 2 3 4 totale ni 4 21 42 14 5 86 1 n k i =1 xi2 ni . xi2 0 1 4 9 16 - xi2 ni 0 21 168 126 80 395 Quindi Mq = 1 n k i =1 xi2 ni = 1 395 = 4,59 = 2,14 . 86 Analisi dei Dati – Prof. Marozzi v) Lo scarto quadratico medio è la media quadratica degli scarti delle osservazioni dalla loro media aritmetica. xi ni 0 1 2 3 4 4 21 42 14 5 totale (xi − x )2 ni 15,08 18,63 0,14 15,68 21,18 70,71 Quindi 1 SQM = n 5 i =1 (xi − x )2 ni = 70,71 = 0,82 = 0,91 . 86 vi) La varianza può essere ottenuta sottraendo al quadrato della media quadratica il quadrato della media aritmetica V = (Mq ) − (M ) = 2,14 2 − 1,942 = 0,82. 2 2 Lo stesso valore può essere ottenuto calcolando V= 1 n 5 i =1 (xi − x )2 ni = 70,71 = 0,82 , 86 ovvero elevando al quadrato lo scarto quadratico medio 0,912=0,82.