Proprietà della media aritmetica

Approfondimenti teorici, anche con l’uso del laboratorio di informatica
Proprietà della media aritmetica
Semplici applicazioni del calcolo algebrico possono essere utili per dimostrare alcune proprietà
della media aritmetica. Inoltre il laboratorio di matematica, con l’uso del computer si presta
per verificare tali proprietà tramite simulazione.
Tra
le
più
importanti
proprietà
della
media
aritmetica
vi
sono
le
seguenti:
a) la somma algebrica degli scarti tra i singoli termini e la media è nullo. Infatti, nella
distribuzione delle frequenze dove x i è la modalità i-esima del carattere X ed ni è la
corrispondente frequenza assoluta
xi
ni
x1
n1
x2
n2
…
…
xi
ni
…
…
xk
nk
k
Totali
n
i 1
i
M , la media aritmetica, è calcolata con la formula:
k
x
M 
i 1
i
 ni
k
n
i 1
i
Indicando lo scarto con xi- M, si ha:
k
k
k
i 1
i 1
  x i  M   ni   x i ni  M  ni
i 1
k
k
 x i ni 
i 1
x n
i 1
k
i
n
i 1
i
k
n
i 1
i
0
i
Nella figura seguente è mostrata una verifica sperimentale usando il foglio elettronico della
proprietà utilizzando la distribuzione delle famiglie italiane rispetto al numero di
componenti.
b) La somma dei quadrati degli scarti tra i singoli termini e la media aritmetica è un minimo.
Siano M la media aritmetica e M1 = M   un valore qualsiasi, anche scelto al di fuori dei
valori della distribuzione, diversa dalla media aritmetica. La somma dei quadrati degli scarti
rispetto alla M è:
k
 x
i 1

k

 M   ni   xi2  2 xi M  M 2  ni 
2
i
i 1
k
k
k
i 1
i 1
i 1
k
k
 xi2 ni  2M  xi ni  M 2  ni 
x
i 1
2
i
k
k
k
i 1
i 1
i 1
 xi2 ni  2M  M   ni  M 2  ni 
ni  M 2  ni
i 1
La somma dei quadrati degli scarti rispetto a M1 sarà, invece:
2
k
 x
i 1
k
 x
i 1
i
 M 1   ni 
2
i
 2 x i M 1  M 1  ni 
2

k
k
k
i 1
i 1
i 1
 xi2 ni  2  M 1  M  ni  M 12  ni
Sostituendo a M1 = M  si ottiene:
k
k
i 1
i 1
 xi2 ni  2  M     M  ni M   
2
k
n
i 1
i

k
k
k
k
k
k
i 1
i 1
i 1
i 1
i 1
i 1
 xi2 ni  2  M 2  ni  2  M     ni  M 2  ni  2  M    ni  2  ni 
k
k
k
i 1
i 1
i 1
 xi2 ni  M 2  ni   2  ni
Dai due risultati risulta che la somma dei quadrati degli scarti rispetto ad un valore che
differisce dalla media aritmetica della quantità   supera la somma dei quadrati degli scarti
k
dalla media aritmetica della quantità positiva
 2  ni
i 1
Nella figura seguente è mostrata una verifica sperimentale usando il foglio elettronico della
proprietà di minimo della media aritmetica utilizzando la distribuzione delle famiglie italiane
rispetto al numero di componenti.
Nella riga 24 sono indicati i tre valori di M1 utilizzati e i nella 25 i corrispondenti valori di
nella 43 sono riportate le differenze fra la somma dei quadrati degli scarti calcolati rispetto
al valore M1 e quella calcolata rispetto alla media aritmetica M.
Questi valori corrispondono ai valori in riga 39 calcolati applicando direttamente la formula
k
 2  ni
i 1
.