fondamenti - Dipartimento di Matematica

L’assiomatizzazione della matematica
La Geometria è stata per molto tempo l’unico ramo della matematica
con una solida base assiomatica (Euclide). Nei secoli XVIII e XIX, ci si
è convinti della possibilità di assiomatizzare tutti i rami della
matematica e ciò ha portato i matematici ad affrontare problemi posti
dai greci e rimasti a lungo insoluti come:
- la trisezione di un angolo con l’uso solo di riga e compasso,
- la costruzione di un cubo di volume doppio di quello di un
assegnato cubo,
- la costruzione di un quadrato di area uguale a quella di un
cerchio assegnato.
Lo studio di questi tre problemi ha stimolato profonde ricerche sulla
natura del numero e sulla struttura del “continuo numerico”. Furono
date definizioni rigorose per i numeri complessi, fu costruita una
base logica per il sistema dei numeri reali, fu iniziata la teoria dei
numeri infiniti.
Sempre nel XIX secolo, fu aritmetizzata l’algebra e quello che si
soleva chiamare il Calcolo infinitesimale, mostrando come le varie
nozioni impiegate nell’analisi matematica siano definibili in termini
esclusivamente aritmetici.
Per esempio, l’entità misteriosa -1 divenne la coppia di numeri reali
(0,1) e 2 fu definito come l’elemento di separazione tra la classe dei
numeri razionali il cui quadrato è minore di 2 e la classe dei numeri
razionali il cui quadrato è maggiore di 2.
In questo modo il problema fondamentale della matematica divenne
quello della coerenza dell’aritmetica o di una teoria che contenga
l’aritmetica, come è, ad esempio, la teoria degli insiemi.