probabilita formulario ridotto

Probabilità
Definizione di Laplace:
casi favorevoli
p
casi possibili
Proprietà della probabilità:
0 p1
p( S )  1 probabilità dello spazio degli eventi
p()  0 probabilità dell’insieme vuoto
Eventi:
incompatibili: p( A  B)  0 , A  B  
P( A  B)

dipendenti: p( A / B) 
compatibili: p( A  B)  0 , A  B   
P( B)

 indipendenti: p( A / B)  P( A)
Probabilità di eventi unione:
p A  B  p( A)  p( B)  p( A  B) eventi compatibili
p A  B  p( A)  p( B) eventi incompatibili
p A  B  C  p( A)  p( B)  p(C)  p( A  B)  p( A  C)  p(C  B)  p( A  B  C)
Probabilità condizionata:
P( A  B)
p A / B 
P( B)
Probabilità di eventi intersezione:
p( A  B)  0 eventi incompatibili
p( A  B)  p( A)  p( B / A)  p( B)  p( A / B) eventi dipendenti
p( A  B)  p( A)  p( B) eventi indipendenti
Probabilità dell’evento totale:
n
p( A)   p( A / Hi )  p( Hi ) gli Hi sono eventi incompatibili la cui unione è S
i 1
Teorema di Bayes:
p( A / Hk )  p( Hk )
p ( H k / A)  n
 p( A / Hi )  p( Hi )
i 1
Variabili aleatorie
Variabili aleatorie discrete:
n
 p( x )  1
i
i 1
n
m  E ( x )   p( xi )  x1 speranza, valore atteso o media
i 1
n
  V ( x )  E ( x  m)   p( xi )  ( xi  m) 2 varianza
2
2
i 1
  V ( x) scarto quadratico medio
Proprietà della varianza:
V ( x )  E ( x ) 2  m2
V (ax )  a 2V ( x )
V ( x  b)  V ( x )
V ( c)  0 varianza di una costante
V ( x  y)  V ( x)  V ( y) varianza della somma di variabili aleatorie indipendenti
Statistica
Definizioni:
popolazione: l’insieme di tutti gli elementi considerati nell’indagine statistica
unità statistica: singolo elemento della popolazione
campione: sottoinsieme di una popolazione
modalità: caratteristiche associate alle
qualitative (titolo di studio, colore dei capelli... )
popolazioni 
quantitative (peso, altezza, reddito... )
assoluta: numero di elementi che presentano una certa modalità
f
fr  a
frequenza: 
n
relativa: frequenza assoluta diviso il numero di tutti gli elementi considerati
la somma delle frequenze assolute di tutte le modalità dà n; la somma delle frequenze relative dà 1.
frequenza cumulata: somma delle frequenze di tutte le classi o elementi precedenti
discrete
le variabili statistiche possono essere: 
continue: divise in classi (intervalli)
ampiezza di una classe = estremo superiore - estremo inferiore
estremo superiore + estremo inferiore
elemento centrale di una classe =
2
Medie:
n
media aritmetica: m 
x
i
i 1
n
m
media aritmetica ponderata: m 
x
i
fi
i 1
n
n
media quadratica: m 
x
i 1
2
i
n
m
media quadratica ponderata: m 
x
i 1
media geometrica: m  n x1 x2 x3 ...xn 
2
i
fi
n
n
x
n
i 1
media geometrica ponderata: m  n x1f 1 x2f 2 x3f 3 ... xmfm
n
media armonica: m  n
1

i  1 xi
n
media armonica ponderata: m  m
fi

i  1 xi
marmonica  mgeometrica  maritmetica  mquadratica
le medie sono tanto più significative quanto più lo scarto quadratico medio è basso
n
per n > 30 lo scarto quadratico medio può essere corretto moltiplicandolo per
n1
Moda:
moda: l’elemento con frequenza maggiore (possono essercene più di una)
una serie con due mode è detta bimodale
1
moda nelle variabili continue: m  l 
a dove a è l’ampiezza della classe, l l’estremo
1   2
inferiore
Mediana:
mediana: il valore centrale quando si dispongono le variabili in ordine crescente se n è dispari; se n
è pari la mediana è la media aritmetica dei due valori centrali
Queste pagine sono state scritte da Paolo Massioni
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