Formule di addizione o sottrazione e traslazioni del piano

Formule di addizione o
sottrazione e traslazioni del piano
Daniela Valenti, Treccani scuola
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Espressioni con funzioni trigonometriche e
traslazioni del piano cartesiano
Ecco un’animazione per riflettere: una cosinusoide
disegnata su un piano cartesiano che trasla.
Animazione Trigo_formule_Geo_Presenta1a
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Espressioni con funzioni trigonometriche e
traslazioni del piano cartesiano
Ecco un’altra animazione: una sinusoide disegnata su un
piano cartesiano che trasla.
Animazione Trigo_formule_Geo_Presenta1b
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Funzioni trigonometriche e traslazioni
Attenzione alla lettura delle formule
A. Funzioni trigonometriche e priorità delle operazioni
In un’espressione dove compaiono funzioni trigonometriche,
addizioni (e sottrazioni), moltiplicazioni (e divisioni) i
calcoli si eseguono in questo ordine stabilito:
1. funzioni trigonometriche;
2. moltiplicazioni e divisioni;
3. addizioni e sottrazioni.
Le parentesi cambiano questo ordine stabilito
π
π
cos π − = −1− ≅ −2,05
3

3

prima il coseno
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Esempi

π
2π
1
cosπ −  = cos
= − = −0,5


3
2
3

prima la parentesi
4
€
Funzioni trigonometriche e traslazioni
Attenzione alla lettura delle formule
B. In espressioni con solo moltiplicazione e addizione
Con lettere e numeri affiancati
è sottintesa la moltiplicazione
Applico la proprietà distributiva e
distribuisco il fattore a
C. In espressioni con funzioni trigonometriche e addizione
NON c’è moltiplicazione sottintesa fra sin e α, perciò NON POSSO DISTRIBUIRE il fattore ‘sin’
 π
7π
1
sinπ +  = sin
=−
 6
6
2
MA
π
1 1
sin π + sin = 0 + =
6
2 2
Ricordate perché non c’è moltiplicazione
sottintesa fra sin e α o fra cos e α?!
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€
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Definizione di sinα e cosα
P percorre la circonferenza
goniometrica in verso antiorario
sinα = yP
cosα = xP
P(cosα, sinα)
sin α è una sigla (come SIM, DVD, …) che
sintetizza il procedimento per ottenere sin α.
Analoga osservazione vale per cos α.
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La circonferenza goniometrica
Con misura di angoli.
P percorre la circonferenza in
verso antiorario.
L’angolo AOP ampio α ha:
- primo lato il semiasse
positivo delle x;
- secondo lato la semiretta OP.
Circonferenza disegnata nel piano cartesiano con
centro O(0; 0) e raggio r = 1
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Formule di sottrazione e addizione
Finora è chiaro che cosa NON si può fare in espressioni
con funzioni trigonometriche, addizioni e sottrazioni:
- non posso dimenticare le parentesi;
- non posso dimenticare che sin α è una sigla, perciò
non posso immaginare una moltiplicazione sottintesa
fra sin e α (o fra cos e α).
Ma allora ci sono delle regole di calcolo per
sviluppare formule come cos(α-β) o sin(α+β)? !
Sì. Prendono il nome di ‘Formule di addizione
e sottrazione’ e le studiamo in questa lezione.
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Formula di sottrazione del coseno
Animazione Trigo_formule_Geo_Presenta1c
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Formule di addizione e sottrazione
Per arrivare alla formula di sottrazione del coseno ho seguito un
procedimento lungo e parecchi calcoli, perciò conviene ricordare a
memoria la formula ottenuta.
Invece le altre formule non richiedono uno sforzo di memoria, perché si
ricavano rapidamente a partire dalla formula di sottrazione del coseno.
Bisogna però ricordare due nozioni richiamate qui sotto.
Seno e coseno di
angoli opposti
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Seno e coseno di
angoli complementari
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Attività 1. Ricavare tutte le formule di
addizione e sottrazione
Nel lavoro di gruppo sarete voi a partire dalla
formula di sottrazione del coseno per ricavare
le altre formule di addizione e sottrazione e
vederne immediate applicazioni.
Dividetevi in gruppi di 2 – 4 persone; ad
ogni gruppo viene data una scheda di
lavoro da completare.
Avete 30 minuti di tempo
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Ecco che cosa abbiamo trovato
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Formule di addizione e sottrazione del
seno e del coseno
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Formule di addizione e sottrazione della tangente
Perde significato se
α− β= 90°
α= 90°
β= 90°
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Perde significato se
α+β= 90°
α= 90°
β= 90°
Non esiste
tan90°
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Formule di addizione e sottrazione della tangente
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Formule e tavole trigonometriche
I calcoli appena eseguiti ci immergono in una storia che ha radici
antiche, ma arriva fino a circa trent’anni fa, quando non erano diffuse le
calcolatrici tascabili: per calcolare seno, coseno o tangente di un
angolo si usavano le tavole e le formule.
Per questo erano importanti le formule appena studiate e quelle al
centro della prossima attività.
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