Formule di addizione o sottrazione e traslazioni del piano
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Formule di addizione o sottrazione e traslazioni del piano Daniela Valenti, Treccani scuola 1 Espressioni con funzioni trigonometriche e traslazioni del piano cartesiano Ecco un’animazione per riflettere: una cosinusoide disegnata su un piano cartesiano che trasla. Animazione Trigo_formule_Geo_Presenta1a Daniela Valenti, Treccani scuola 2 Espressioni con funzioni trigonometriche e traslazioni del piano cartesiano Ecco un’altra animazione: una sinusoide disegnata su un piano cartesiano che trasla. Animazione Trigo_formule_Geo_Presenta1b Daniela Valenti, Treccani scuola 3 Funzioni trigonometriche e traslazioni Attenzione alla lettura delle formule A. Funzioni trigonometriche e priorità delle operazioni In un’espressione dove compaiono funzioni trigonometriche, addizioni (e sottrazioni), moltiplicazioni (e divisioni) i calcoli si eseguono in questo ordine stabilito: 1. funzioni trigonometriche; 2. moltiplicazioni e divisioni; 3. addizioni e sottrazioni. Le parentesi cambiano questo ordine stabilito π π cos π − = −1− ≅ −2,05 3 3 prima il coseno Daniela Valenti, Treccani scuola Esempi π 2π 1 cosπ − = cos = − = −0,5 3 2 3 prima la parentesi 4 € Funzioni trigonometriche e traslazioni Attenzione alla lettura delle formule B. In espressioni con solo moltiplicazione e addizione Con lettere e numeri affiancati è sottintesa la moltiplicazione Applico la proprietà distributiva e distribuisco il fattore a C. In espressioni con funzioni trigonometriche e addizione NON c’è moltiplicazione sottintesa fra sin e α, perciò NON POSSO DISTRIBUIRE il fattore ‘sin’ π 7π 1 sinπ + = sin =− 6 6 2 MA π 1 1 sin π + sin = 0 + = 6 2 2 Ricordate perché non c’è moltiplicazione sottintesa fra sin e α o fra cos e α?! Daniela Valenti, Treccani scuola € 5 Definizione di sinα e cosα P percorre la circonferenza goniometrica in verso antiorario sinα = yP cosα = xP P(cosα, sinα) sin α è una sigla (come SIM, DVD, …) che sintetizza il procedimento per ottenere sin α. Analoga osservazione vale per cos α. Daniela Valenti, Treccani scuola 6 La circonferenza goniometrica Con misura di angoli. P percorre la circonferenza in verso antiorario. L’angolo AOP ampio α ha: - primo lato il semiasse positivo delle x; - secondo lato la semiretta OP. Circonferenza disegnata nel piano cartesiano con centro O(0; 0) e raggio r = 1 Daniela Valenti, Treccani scuola 7 Formule di sottrazione e addizione Finora è chiaro che cosa NON si può fare in espressioni con funzioni trigonometriche, addizioni e sottrazioni: - non posso dimenticare le parentesi; - non posso dimenticare che sin α è una sigla, perciò non posso immaginare una moltiplicazione sottintesa fra sin e α (o fra cos e α). Ma allora ci sono delle regole di calcolo per sviluppare formule come cos(α-β) o sin(α+β)? ! Sì. Prendono il nome di ‘Formule di addizione e sottrazione’ e le studiamo in questa lezione. Daniela Valenti, Treccani scuola 8 Formula di sottrazione del coseno Animazione Trigo_formule_Geo_Presenta1c Daniela Valenti, Treccani scuola 9 Formule di addizione e sottrazione Per arrivare alla formula di sottrazione del coseno ho seguito un procedimento lungo e parecchi calcoli, perciò conviene ricordare a memoria la formula ottenuta. Invece le altre formule non richiedono uno sforzo di memoria, perché si ricavano rapidamente a partire dalla formula di sottrazione del coseno. Bisogna però ricordare due nozioni richiamate qui sotto. Seno e coseno di angoli opposti Daniela Valenti, Treccani scuola Seno e coseno di angoli complementari 10 Attività 1. Ricavare tutte le formule di addizione e sottrazione Nel lavoro di gruppo sarete voi a partire dalla formula di sottrazione del coseno per ricavare le altre formule di addizione e sottrazione e vederne immediate applicazioni. Dividetevi in gruppi di 2 – 4 persone; ad ogni gruppo viene data una scheda di lavoro da completare. Avete 30 minuti di tempo Daniela Valenti, Treccani scuola 11 Ecco che cosa abbiamo trovato Daniela Valenti, Treccani scuola 12 Formule di addizione e sottrazione del seno e del coseno Daniela Valenti, Treccani scuola 13 Formule di addizione e sottrazione della tangente Perde significato se α− β= 90° α= 90° β= 90° Daniela Valenti, Treccani scuola Perde significato se α+β= 90° α= 90° β= 90° Non esiste tan90° 14 Formule di addizione e sottrazione della tangente Daniela Valenti, Treccani scuola 15 Formule e tavole trigonometriche I calcoli appena eseguiti ci immergono in una storia che ha radici antiche, ma arriva fino a circa trent’anni fa, quando non erano diffuse le calcolatrici tascabili: per calcolare seno, coseno o tangente di un angolo si usavano le tavole e le formule. Per questo erano importanti le formule appena studiate e quelle al centro della prossima attività. Daniela Valenti, Treccani scuola 16
