Formule di duplicazione e
dilatazioni del piano
Daniela Valenti, Treccani scuola
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Espressioni con funzioni trigonometriche e
dilatazioni del piano cartesiano
Ecco un’animazione per riflettere: una cosinusoide disegnata
su un piano cartesiano che viene dilatato o contratto.
Animazione Trigo_formule_Geo_Presenta2a
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Espressioni con funzioni trigonometriche e
dilatazioni del piano cartesiano
Un’altra animazione per riflettere: una sinusoide disegnata su
un piano cartesiano che viene dilatato o contratto.
Animazione Trigo_formule_Geo_Presenta2b
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Funzioni trigonometriche e dilatazioni
Attenzione alla lettura delle formule
A. La moltiplicazione per un numero intero indica
un’addizione ripetuta
Con lettere e numeri affiancati è
sottintesa la moltiplicazione
Ricordate perché non c’è moltiplicazione sottintesa fra
sin e (2α) o fra sin e α?!
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Definizione di sinα e cosα
P percorre la circonferenza
goniometrica in verso antiorario
sinα = yP
cosα = xP
P(cosα, sinα)
sin α è una sigla (come SIM, DVD, …) che
sintetizza il procedimento per ottenere sin α.
Analoga osservazione vale per cos α.
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Funzioni trigonometriche e dilatazioni
Attenzione alla lettura delle formule
B. Scrivere la moltiplicazione per un numero razionale
Con lettere e numeri affiancati è
sottintesa la moltiplicazione
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Funzioni trigonometriche e dilatazioni
Attenzione alla lettura delle formule
C. Funzioni trigonometriche e priorità delle operazioni
In un’espressione dove compaiono funzioni trigonometriche,
moltiplicazioni (e divisioni), i calcoli si eseguono in questo
ordine stabilito:
1. funzioni trigonometriche;
2. moltiplicazioni (e divisioni).
Le parentesi cambiano questo ordine stabilito
Esempi
2cos
π
=
2
⋅
(−1)
=
−2
cos(2 π ) = 1
prima la parentesi
prima il coseno
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€
Funzioni trigonometriche e dilatazioni
Attenzione alla lettura delle formule
D. Abbreviazioni di scrittura per le funzioni trigonometriche
Le espressioni con funzioni trigonometriche si sono diffuse
in Europa a partire dal Rinascimento; i lunghi calcoli con
carta e penna hanno portato ad abbreviazioni di scrittura.
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Funzioni trigonometriche e dilatazioni
Attenzione alle formule abbreviate!
In espressioni con funzioni trigonometriche e moltiplicazione
troviamo convenzioni di scrittura per evitare errori di lettura.
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Formule di duplicazione
Finora è chiaro che cosa NON si può fare in espressioni
con funzioni trigonometriche e moltiplicazioni:
- non posso dimenticare che sin 2α o cos 2α sono sigle,
perciò non posso immaginare una moltiplicazione
sottintesa fra sin e 2α (o fra cos e 2α);
- non posso dimenticare alcune convenzioni per
leggere e scrivere correttamente le formule.
Ma allora ci sono delle regole di calcolo per
sviluppare formule come cos(2α) o sin(2α)? !
Sì. Prendono il nome di ‘Formule di
duplicazione’ e le studiamo in questa lezione.
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Attività 2. Ricavare le formule di duplicazione
Nel lavoro di gruppo sarete voi a partire dalle
formule di addizione per ricavare le formule di
duplicazione vederne immediate applicazioni.
Dividetevi in gruppi di 2 – 4 persone; ad
ogni gruppo viene data una scheda di
lavoro da completare.
Avete 40 minuti di tempo
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Ecco che cosa abbiamo trovato
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Formule di duplicazione di seno e coseno
Effetto delle formule di duplicazione
sin(2α) = 2sinα cosα
Da un’espressione di 1° grado a
un’espressione più lunga, di 2° grado.
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Formule di duplicazione di seno e coseno
Trasformare una funzione trigonometrica di 2° grado in una
funzione trigonometrica di 1° grado.
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Formule di duplicazione di seno e coseno
Trasformare una funzione trigonometrica di 2° grado in una funzione di 1° grado.
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Formule di bisezione di seno e coseno
C’è qualche valore di β per cui le formule perdono significato?
No, perché le due espressioni sotto radice non diventano mai
negative, dato che risulta -1 ≤ cosβ ≤ 1.
Nelle formule di bisezione compare il segno ± davanti al simbolo
di radice quadrata; c’è un motivo algebrico: estrarre la radice
quadrata nell’insieme dei numeri reali porta a due risultati
opposti, ma c’è anche un motivo trigonometrico che ora vediamo.
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Formule di bisezione di seno e coseno
β
1+ cos β
cos = ±
2
2
β
1− cos β
sin = ±
2
2
Con le formule posso calcolare seno e coseno di β/2 anche se conosco solo cosβ
ESEMPIO: conosco solo cosβ = ½ e potrei avere le seguenti situazioni:
€
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Formule di bisezione di seno e coseno
β
1+ cos β
cos = ±
2
2
β
1− cos β
sin = ±
2
2
Se però conosco l’angolo β, non ho più l’indecisione del doppio segno €
ESEMPIO: conosco β = 45° e quindi β/2 = 22°30’
1
1+
2
cos 22°30'=
2
€
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1
1−
2
sin 22°30'=
2
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Formula di bisezione della tangente
C’è qualche valore di β per cui la formule perde significato?
Sì, se β/2 = 90°, dato che non esiste tan90°.
In questo caso anche il 2° membro perde significato, perché risulta:
β = 180° e 1 + cos 180° = 0.
Se pensiamo alla funzione periodica y = tan(x/2), questa situazione si
ripete ogni volta che aggiungiamo a β = π multipli del periodo 2π.
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Formula di duplicazione della tangente
Non esiste tan90° perciò la
formula perde significato se
α = 90°
2α = 90°α = 45°
Pensiamo alla funzione
periodica y = tan(2x) e
aggiungiamo a questi angoli
multipli interi del periodo π/2.
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Formule e tavole trigonometriche
I calcoli appena eseguiti ci immergono in una storia che ha radici
antiche, ma arriva fino a circa trent’anni fa, quando non erano diffuse le
calcolatrici tascabili: per calcolare seno, coseno o tangente di un
angolo si usavano le tavole e le formule.
Per questo erano molto importanti le formule di bisezione.
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