I numeri irrazionali nella
geometria e nella storia
Daniela Valenti, Treccani scuola
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Costruzioni geometriche di !a
Con la geometria possiamo costruire un segmento
che sia lungo esattamente !a
Una costruzione semplice e versatile è basata sul 2°
teorema di Euclide.
Osserviamo la costruzione con il file
Animazione_radice(a).
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2
Costruzioni geometriche di !a
Costruzione basata sul
teorema di Pitagora.
È facile, ma per costruire
!20 ….
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Calcolare la radice quadrata
Possiamo usare il tascabile, ma otteniamo un numero
decimale, che, in molti casi è un’approssimazione del
risultato con al massimo 10 o 15 cifre decimali.
Nei secoli si sono diffusi vari algoritmi per calcolare
la radice quadrata ‘a mano’ anche con più di 10 o 15
cifre. Si tratta generalmente di algoritmi lunghi e
macchinosi.
Ecco invece un algoritmo che porta facilmente a
successive approssimazioni della radice cercata.
L’algoritmo è dovuto al matematico greco Erone,
vissuto intorno al 2° secolo d.C.
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Algoritmo di Erone
Debbo calcolare !8.
Risolvo il problema se costruisco il quadrato di area 8.
Procedo con approssimazioni successive.
1.! Scelgo un numero b < 8; ad esempio b = 5 e costruisco il
rettangolo base b = 5 e altezza h = 8/5 = 1,6.
Il rettangolo ha area 8 e dà una prima approssimazione
del quadrato richiesto. Perciò b e h approssimano il lato
del quadrato (uno per eccesso e l’altro per difetto).
2. Calcolo la media b1 fra b e h, quindi ripeto il procedimento.
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Algoritmo di Erone
Con 3 passi dell’algoritmo di Erone
Stima dell’errore e3 = 2,8286 – 2,7951 = 0,0335
Con il tascabile
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8 " 2,8284271...
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I radicali nella storia del pensiero
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Radice di 2 nella storia del pensiero
Le difficoltà di scrittura rispecchiano le difficoltà
concettuali e la lunga, faticosa storia di !2.
I babilonesi (! 1800 a.C), gli indiani (V a.C) lasciano traccia
di procedimenti per calcolare la diagonale del quadrato.
Lo ‘scandalo’ della scoperta attribuita alla scuola pitagorica (VI a.C.)
e riportato in opere di Platone (V a.C) e Aristotele (IV a.C.): non si
può trovare un segmento, anche piccolissimo, che sia contenuto un
numero intero di volte sia nel lato che nella diagonale del quadrato,
cioè lato e diagonale del quadrato sono incommensurabili.
Nel III secolo (d.C.) si trova la prima dimostrazione scritta di questa
incommensurabilità, strettamente legata all’irrazionalità di !2: nella
dimostrazione già si parla di numeri e non di segmenti.
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Dimostrare che !2 è irrazionale
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Il lato e la diagonale del quadrato sono
incommensurabili
La scienza pitagorica era basata sull’idea di figura geometrica
formata di piccolissimi elementi-unità, ossia di punti estesi.
Perciò la scoperta degli incommensurabili determinò una profonda
crisi nella scuola pitagorica.
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Radice cubica di 2 nella storia del pensiero
Una leggenda dell’antica Grecia: ‘il problema di Delo’
A Delo infuria la peste e gli abitanti interrogano l'oracolo di Apollo sul modo di
liberarsi dall’epidemia. L’oracolo dà l'ordine di costruire un altare, di forma cubica,
con il volume doppio di quello presente nel tempio.
Gli abitanti si affrettano a costruire un altare con il lato doppio, ma la pestilenza
continua. … I matematici cercano la soluzione: bisogna raddoppiare il volume di un
cubo. Nasce ‘il problema della duplicazione del cubo’.
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La duplicazione del cubo
Il cubo di lato 1 ha il volume V dato da:
V = 13 = 1
Il cubo di lato 2 ha il volume V’ dato da:
V’ = 23 = 8.
Se raddoppio il lato, moltiplico per 8 il volume.
Come trovo il lato x del cubo di volume 2?
Con il nostro linguaggio matematico attuale rispondo:
Risolvo l’equazione
x3 = 2 e trovo la soluzione x = 3 2
Ma come hanno lavorato gli antichi Greci?
!
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La soluzione di Menecmo (IV a.C.)
Con il linguaggio dell’algebra e della geometria analitica è facile
descrivere l’idea che Menecmo espone con procedimenti
geometrici complicati. Tuttavia proprio con quei ragionamenti
Menecmo introduce, sembra per la prima volta, la parabola.
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I radicali nella storia della
matematica
La storia dell’estrazione di radice si dipana lungo molti
secoli: nascono i numeri negativi, l’algebra e la geometria
analitica, nel 1525 viene introdotto il simbolo !, poi nel 1671
Newton introduce le potenze ad esponente frazionario …
convivenza difficile fra tutti questi simboli!
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