Cenni sui processi stocastici

Cenni sui processi stocastici
• Si dice processo stocastico una famiglia di variabili aleatorie {Xt : t ∈ T } discrete o continue e definite sullo stesso
spazio di probabilità (Ω, F , P ), dove t rappresenta un indice
(o parametro) e T l’insieme dei suoi possibili valori.
– Processo stocastico a parametro discreto quando T è
costituito da un’infinità numerabile di valori.
– Processo stocastico a parametro continuo se T è costituito da un insieme continuo di punti.
• Il comportamento probabilistico di un processo stocastico è
determinato qualora siano note le distribuzioni congiunte di
tutti i possibili sottoinsiemi degli elementi Xt della famiglia.
• Valore atteso del processo stocastico {Xt : t ∈ T }:
µ (t) = E (Xt) ,
t∈T
• Varianza del processo stocastico {Xt : t ∈ T }:
σ 2 (t) = Var (Xt)
t∈T
• Autocovarianza del processo stocastico {Xt : t ∈ T }:
γ (t1, t2) = Cov Xt1 , Xt2
(t1, t2) ∈ T × T
• Autocorrelazione del processo stocastico {Xt : t ∈ T }:
γ (t1, t2)
ρ (t1, t2) =
σ (t1) σ (t2)
(t1, t2) ∈ T × T
Processo bernoulliano (I)
• Si consideri un esperimento casuale i caratterizzato da due
soli risultati detti rispettivamente successo e insuccesso ed
indicati con si e si e sia la probabilità di successo pari a
P (si) = p.
• A tale esperimento è possibile associare una variabile aleatoria Xi che vale 1 in caso di successo (con probabilità p) e 0
in caso di insuccesso (con probabilità 1 − p).
Tale variabile aleatoria è detta indicatore di successo e la sua
funzione di probabilità (detta bernoulliana) è data da:
pXi (x) =



p

 1−p
x=1
x=0
• Processo di Bernoulli o delle prove ripetute: processo stocastico {Xi : i = 1, . . . , n} costituito da una successione di n esperimenti dicotomici mutuamente stocasticamente indipendenti e con probabilità di successo costante per tutte le prove
e pari a P (si) = p per i = 1, . . . n.
– Media e varianza del processo di Bernoulli {Xi : i = 1, . . . , n}:
µ(i) = p
σ 2(i) = p (1 − p)
• La variabile aleatoria discreta X che restituisce il numero dei
successi nella successione delle n prove ripetute in un processo bernoulliano ha insieme di definizione RX = {x ∈ R : x = 0, . . . , n}.
La funzione di probabilità della X, detta binomiale di parametri
n e p, è data da:
n
pX (x) =
px (1 − p)n−x x = 0, . . . , n
x
– Media e varianza della distribuzione binomiale:
E (X ) = np
Var (X ) = np (1 − p)
– Funzione caratteristica della distribuzione binomiale:
n
iu
ψX (u) = pe + 1 − p