Cenni sui processi stocastici • Si dice processo stocastico una famiglia di variabili aleatorie {Xt : t ∈ T } discrete o continue e definite sullo stesso spazio di probabilità (Ω, F , P ), dove t rappresenta un indice (o parametro) e T l’insieme dei suoi possibili valori. – Processo stocastico a parametro discreto quando T è costituito da un’infinità numerabile di valori. – Processo stocastico a parametro continuo se T è costituito da un insieme continuo di punti. • Il comportamento probabilistico di un processo stocastico è determinato qualora siano note le distribuzioni congiunte di tutti i possibili sottoinsiemi degli elementi Xt della famiglia. • Valore atteso del processo stocastico {Xt : t ∈ T }: µ (t) = E (Xt) , t∈T • Varianza del processo stocastico {Xt : t ∈ T }: σ 2 (t) = Var (Xt) t∈T • Autocovarianza del processo stocastico {Xt : t ∈ T }: γ (t1, t2) = Cov Xt1 , Xt2 (t1, t2) ∈ T × T • Autocorrelazione del processo stocastico {Xt : t ∈ T }: γ (t1, t2) ρ (t1, t2) = σ (t1) σ (t2) (t1, t2) ∈ T × T Processo bernoulliano (I) • Si consideri un esperimento casuale i caratterizzato da due soli risultati detti rispettivamente successo e insuccesso ed indicati con si e si e sia la probabilità di successo pari a P (si) = p. • A tale esperimento è possibile associare una variabile aleatoria Xi che vale 1 in caso di successo (con probabilità p) e 0 in caso di insuccesso (con probabilità 1 − p). Tale variabile aleatoria è detta indicatore di successo e la sua funzione di probabilità (detta bernoulliana) è data da: pXi (x) = p 1−p x=1 x=0 • Processo di Bernoulli o delle prove ripetute: processo stocastico {Xi : i = 1, . . . , n} costituito da una successione di n esperimenti dicotomici mutuamente stocasticamente indipendenti e con probabilità di successo costante per tutte le prove e pari a P (si) = p per i = 1, . . . n. – Media e varianza del processo di Bernoulli {Xi : i = 1, . . . , n}: µ(i) = p σ 2(i) = p (1 − p) • La variabile aleatoria discreta X che restituisce il numero dei successi nella successione delle n prove ripetute in un processo bernoulliano ha insieme di definizione RX = {x ∈ R : x = 0, . . . , n}. La funzione di probabilità della X, detta binomiale di parametri n e p, è data da: n pX (x) = px (1 − p)n−x x = 0, . . . , n x – Media e varianza della distribuzione binomiale: E (X ) = np Var (X ) = np (1 − p) – Funzione caratteristica della distribuzione binomiale: n iu ψX (u) = pe + 1 − p