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Assicurazioni vita e mercato del
risparmio gestito
Lezione 6
Il modello di Black Scholes
Un albero particolare
• Costruite un albero nel quale
Y(t+1) può assumere due valori Y(t)*u (nello stato H) o
Y(t)*d (nello stato L).
u e d sono gli stessi su ogni nodo (indipendenza dal tempo
e dagli stati)
u*d = 1
• L’albero è “ricombinante” e per un numero di
steps sufficientemente grande converge al moto
geometrico browniano nel tempo, utilizzato nel
modello di Black & Scholes
Verso il tempo continuo
• Fissato un orizzonte di investimento h
Y(t+h) – Y(t) = rYY(t)
è il guadagno sull’investimento nel periodo
• Il tasso di interesse sull’investimento rY è una
grandezza aleatoria
rY =  + , con   N (0,1)
per cui è naturale scrivere la dinamica
Y(t+h) – Y(t) = Y(t) + Y(t)
• Per h che diventa molto piccolo otteniamo una
descrizione della dinamica nel tempo continuo
Una dinamica più semplice
• Consideriamo una variabile che segue la dinamica
s(t+h) – s(t) =  + 1, con 1  N (0,1)
• Ci chiediamo qual è la distribuzione della variabile
al tempo t +nh. Se i disturbi i i = 1,2, …n non
sono correlati, è ovvio che avremo
s(t+nh)  N (s(t) + n, n2)
• La media della distribuzione e la varianza
crescono linearmente con l’orizzonte temporale
• N.B. In econometria processi di questo tipo sono
detti “integrati” o “a radice unitaria”
Processi stocastici
• L’estensione dell’analisi al tempo continuo richiede la
definizione di processo stocastico
• Un processo stocastico è descritto rispetto a un insieme di
eventi  e una sequenza di -algebre t (filtration).
• Si tratta di tutte le possibili unioni e intersezioni di eventi
osservati al tempo t. Euristicamente, E’ il set di
informazione disponibile al tempo t.
• Es. la filtration t generata da una serie di prezzi contiene
la serie di tutti i prezzi osservati fino al tempo t.
• Un processo stocastico è una sequenza di variabili aleatorie
definite rispetto alla filtration e che assume valore nella algebra della retta dei numeri reali (Borel set).
Processi stocastici diffusivi
• Un processo stocastico, come ad esempio il prezzo
Y(t) è caratterizzato da una misura di probabilità
(la tripla { t P} definisce uno spazio
probabilizzato).
• Un processo stocastico è detto diffusivo se
lim h0 E[Y(t+h) – Y(t)] = Ydt
lim h0 Var[Y(t+h) – Y(t)] = Y2dt
lim h0 Prob[|Y(t+h) – Y(t)| > ] = 0,   > 0
Il processo di Wiener
• Un processo stocastico diffusivo per il quale valga
z(t+h) – z(t)  N(0, h)
…è detto processo di Wiener
• Si tratta di un processo a traiettorie continue che
non è derivabile in nessun punto con probabilità
uno (non è derivabile in quasi nessun punto)
• Nel continuo: dz(t) = lim h0 E[z(t+h) – z(t)]
• Processo diffusivo: dS(t) = dt + dz(t)
Probabilità condizionale
• Es. ds(t) =  dt +  dz(t)
• La distribuzione di probabilità al tempo  > t di s è
normale e ha media ( - t), mentre la varianza è
2 ( - t)
• Es. dY(t)/Y(t) =  dt +  dz(t) rappresenta il moto
geometrico browniano, e nel nostro caso il
rendimento istantaneo di un titolo rischioso. Il
rendimento istantaneo è distribuito secondo la
normale, mentre Y(t) non lo è.
Il lemma di Ito
• Se s(t) è un processo diffusivo e p = f(s,t) è una
funzione, anche p(t) è un processo diffusivo, con
lim h0 E[p(t+h) – p(t)] = (f t+ s f s + ½ s2 f ss)dt
lim h0 Var[p(t+h) – p(t)] = (s f s)2dt
• Es. Da dY(t)/Y(t) =  dt +  dz(t) e f(Y,t) = log Y
otteniamo…
d log Y(t) = ( - ½ 2)dt +  dz(t)
… e Y( | t) ha distribuzione log-normale.
Valutazione di contratti derivati
• Assumiamo che il sottostante segua un
moto geometrico browniano
dY(t) = Y(t) dt +  Y(t) dz(t)
• Il valore di un contratto derivato C(Y,t)
segue, per il lemma di Ito
E(dC(t)) = (C t+ Y CY + ½ 2Y2 CYY)dt
Var[dC(t)] = (YCY)2dt
Applicazione: delta hedging
• Assumiamo di voler immunizzare una posizione in
un derivato C.
• Consideriamo un portafoglio con
– Una posizione lunga in una unità di C
– Una posizione corta in  = CY unità di Y
• La dinamica del portafoglio C(t) – CYY(t)
E(dC(t) - CY dY(t)) = (C t + ½ 2Y2 CYY)dt
Var[dC(t) - CY dY(t)] = 0
Black & Scholes
• Il principio di non arbitraggio implica che
C t + ½ 2Y2 CYY = r(C(t) - CYY(t))
…da cui la fundamental PDE
½ 2Y2 CYY + C t + rCYY(t) - rC(t) = 0
…e il valore del contratto derivato deve
essere una risoluzione della PDE con
condizione al contorno
C(Y(T),T) = funzione di pay-off
Il modello di Black & Scholes
• Il modello di Black & Scholes è basato sull’assunzione di
distribuzione normale dei rendimenti. Si tratta di un modello
nel tempo continuo. Ricordando la definizione di prezzo
forward F(Y,t) = Y(t)/v(t,T)
call Y , t ; K , T   Y t N d1   v t , T KN d 2 
ln F Y , t  / K   1 / 2 T  t 
d1 
 T t
2
d 2  d1   T  t
Prezzi di opzioni put
• Dalla relazione di parità put-call e dalla proprietà
della normale standard secondo la quale: 1 – N(a)
= N(– a) otteniamo
put Y , t ; K , T   Y t N  d1   v t , T KN  d 2 
ln F Y , t  / K   1 / 2 2 T  t 
d1 
 T t
d 2  d1   T  t
Ancora su ENEL
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Data di valutazione 16/03/2005
Data di esercizio 15/05/2005
Prezzo a pronti ENEL 7,269
Prezzo BOT scadenza 16/05/2005: 99,66
Prezzo forward Enel:
7,269/0,9966 = 7,2937989
Prezzo strike: 7,6
Volatilità: 16,38%
Delta Call = N(–0,58602) = 27,8931%
Leverage = 7,6 x N(–0,652432) = 1,9536652
Prezzo = 7,269 x 0,278931 – 0,9966 x 1,9536652
= 0,0805254 = prezzo di mercato