. – Processi stocastici
PROF. LUCA LUSSARDI
OBIETTIVO DEL CORSO
Si vogliono presentare agli studenti i concetti e le tecniche fondamentali della
moderna teoria della probabilità unitamente ad alcune importanti applicazioni in
fisica, economia e nel campo della modellistica matematica.
PROGRAMMA DEL CORSO
Definizione di σ-algebra, misura e spazio di probabilità. Esempi e proprietà
fondamentali. Definizione di variabile aleatoria reale n-dimensionale. Integrazione
rispetto ad una misura di probabilità; definizione di valore atteso, varianza e
momenti. Disuguaglianza di Chebyshev. Distribuzione e densità di probabilità di
una variabile aleatoria. Distribuzione normale ed esponenziale.
Definizione di indipendenza per eventi, σ-algebre e variabili aleatorie.
Caratterizzazione dell'indipendenza mediante funzioni di ripartizione e densità di
probabilità. Definizione di limite superiore ed inferiore di una succassione di
eventi. Lemma di Borel-Cantelli. Legge forte dei grandi numeri. Teorema del
limite centrale. Definizione e proprietà del valore atteso condizionato. Un modello
matematico per le molecole polimeriche. Catena ideale. Interazioni a corto raggio.
Distribuzione dei monomeri e radius of gyration. Catena non ideale con interazione
di volume escluso. Modello statistico per l'elasticità della gomma. Definizione di
processo stocastico in tempo discreto e continuo. Definizione di storia di un
processo. Definizione di martingala e submartingala. Disuguaglianze funzionali su
martingale. Random walk unidimensionale come processo diffusivo. Definizione
di processo di Wiener o Moto Browniano unidimensionale. Costruzione di LévyCiesielski di un processo di Wiener unidimensionale. Processo di Wiener ndimensionale. Hӧlderianità e non-differenziabilità delle traiettorie campione.
Markovianità del processo di Wiener. Integrale stocastico di Itô: definizione e
proprietà. Integrale stocastico di Stratonovich. Definizione di differenziale
stocastico. Formule di Itô per il differenziale di un prodotto e di una funzione
composta. Definizione di equazione differenziale stocastica. Esempi di risoluzione
di SDE lineari. Equazione di Langevin e processo di Ornstein-Uhlenbeck.
Stopping times: definizione ed integrale stocastico con uno stopping time come
estremo d'integrazione. First hitting time di un insieme. Formula di Itô con
stopping time. Definizione di operatore generatore di un processo stocastico.
Rappresentazione stocastica delle funzioni armoniche. Formula di Feynman-Kac.
Modello di Black-Scholes-Merton per l'option pricing. Pricing a European call
option utilizzando l'equazione di Black-Scholes-Merton. Il modello di Heston per
l'option pricing. Optimal stopping. Optimal switching.
BIBLIOGRAFIA
L. C. EVANS, An Introduction to Stochastic Differential Equations, American Mathematical Society
2013.
DIDATTICA DEL CORSO
Lezioni in aula.
METODO DI VALUTAZIONE
Esame orale.
AVVERTENZE
Il Prof. Luca Lussardi riceve gli studenti dopo le lezioni nel suo studio.
