Lezione 14

Analisi della disponibilità d’acqua
Valutazione dell’impianto attraverso il calcolo di un indice
economico (criterio)
Approccio diverso a seconda del criterio di valutazione
Nel caso di criterio statistico di facile stima (perché l’evento a cui
si riferisce il criterio si osserva abbastanza frequentemente):
semplice simulazione del funzionamento dell’impianto nell’intero
periodo di osservazione
Nel caso di criterio statistico di stima più difficile (perché l’evento
a cui si riferisce il criterio non si osserva abbastanza
frequentemente):
ricorso al metodo Montecarlo
Processi stocastici
Spesso la distribuzione delle grandezze
idrologiche non è costante nel tempo.
Cause del fenomeno:
periodicità stagionale
persistenza
trend (tendenza)
La variazione delle cause fisiche produce:
periodicità stagionale
trend
Il perdurare delle cause o degli effetti produce:
persistenza
x = f( t)
(0, T )
f 1 (t), f 2 (t), …, f i(t), …
f(t) coincide, a caso, con f 1 (t), f 2 (t), …, f i (t), …
La variabile x prende il nome di p r o c e s s o
stocastico.
t è il parametro del processo stocastico.
f i (t) è una realizzazione del processo stocastico.
Usualmente il parametro t coincide con il tempo.
La dipendenza dal valore del parametro
rappresenta la periodicità stagionale.
t
La dipendenza dai valori precedenti della x
rappresenta la persistenza.
Il parametro t (tempo) può essere una variabile
continua o una variabile discreta.
Nelle applicazioni numeriche si considera solo il
caso di variabile discreta e si considerano solo
periodi di tempo di lunghezza finita:
x 1 , x 2 , …, x N .
In linea di principio per individuare un processo
stocastico si può assegnare la distribuzione
congiunta delle N variabili x 1 , x 2 , …, x N .
In pratica basta conoscere la distribuzione della
variabile x condizionata al valore del parametro
t e ai valori precedenti della x, vale a dire la
distribuzione della variabile x all'istante i- e s i m o
(x i ) condizionata al tempo (istante i) e ai valori
precedenti della x.
Un processo che non dipende dal tempo è
stazionario.
Un processo si dice strettamente stazionario
quando, per qualunque scelta degli interi m , i 1 ,
i 2 , ..., i m e k la distribuzione congiunta delle
variabili x i 1 , x i 2 , ..., x i m è identica a quella delle
variabili x i 1 + k , x i 2 + k , ..., x i m + k .
Un processo può essere stazionario con
riferimento a un parametro (per esempio nella
media).
Per un processo stazionario nella media è
µ (x i) = µ (x)
x
i
i+k
Fissati due tempi i e i + k, si considerano
- la covarianza γ k (x i ) (che per k uguale a zero
coincide con la varianza di x i )
- il coefficiente di correlazione lineare
ρ k (x i ) =
γ k (x i )
σ (x i ) σ (x i+k )
che prendono i nomi di
- autocovarianza di ordine k
- coefficiente di autocorrelazione di ordine k
Quando γ k (x i ) dipende solo da k il processo è
stazionario nell'autocovarianza.
Caso importante: processo stazionario nella
media
e
nell'autocovarianza
(processo
debolmente stazionario o stazionario in senso
lato)
In generale ρ k (x i ) dipende da k (ordine) e da i
(tempo).
Se il processo è stazionario nell'autocovarianza
ρ k (x i ) dipende solo dall'ordine k:
ρ k (x i ) = ρ k (x)
La funzione
f(k ) = ρ k (x )
si chiama funzione di autocorrelazione.
Il grafico della funzione di autocorrelazione
prende il nome di autocorrelogramma.
In importanti applicazioni idrologiche di
processi periodici (quindi non stazionari)
l'autocorrelogramma non è univocamente
definito.
1,0
0,8
ρ
0,6
0,4
0,2
0,0
0
1
2
3
4
k
5
6
7
8
L'autocorrelogramma si può sempre stimare a
partire da una serie temporale qualsiasi: quello
che si ottiene è l'autocorrelogramma empirico.
Se il processo originario non ammette un solo
autocorrelogramma, il risultato è una stima
dell'autocorrelogramma medio.
L'autocorrelogramma
empirico
fornisce
informazioni sulla persistenza e sulla periodicità
del processo stocastico.
Ergodicità
Poichè generalmente è nota una sola
realizzazione del processo, è necessario che il
processo si possa individuare utilizzando le
informazioni contenute nella sola realizzazione
nota.
La caratteristica per cui un parametro si può
stimare a partire da una sola realizzazione
prende il nome di ergodicità.
Indipendenza
Un processo stocastico è i n d i p e n d e n t e quando
la distribuzione della x i (variabile x all'istante
i-esimo) non dipende dai valori assunti dalla
variabile x nei tempi precedenti.
Un processo indipendente è un processo senza
persistenza.
Un processo strettamente stazionario e
indipendente prende il nome di rumore bianco.
Esempio di processo stocastico:
il modello di Thomas-Fiering, che rappresenta il
succedersi dei deflussi mensili
Periodicità stagionale:
x j deflusso del mese j-esimo
z=
x j - µ (x j )
σ (x j)
(j = 1, 12)
(j = 1, 12)
z variabile gaussiana standardizzata
[ µ (z ) = 0; σ 2 (z ) = 1 ]
Persistenza:
z i = φ z i- 1 + ε i
(i = 1, N )
ε variabile gaussiana a media nulla
Persistenza variabile da mese a mese
(12 relazioni):
z ji = φ j z j- 1 i- 1 + ε ji
(j = 1, 12; i = 1, N )
Varianza della variabile ε :
z ji = φ j z j- 1 i- 1 + ε j i
σ 2 (z j ) = φ 2j σ 2 (z j-1 ) + σ 2 ( ε j )
σ 2 ( ε j ) = [1 - φ 2j ] σ 2 (z j ) = 1 - φ 2j
Introducendo
standardizzata
uj =
la
variabile
gaussiana
εj
1 - φ 2j
√

il modello di Thomas-Fiering è rappresentato
dalle relazioni (con 36 parametri)
z ji =
x ji - µ (x j )
σ (x j)
z ji = φ j z j- 1 i- 1 + u ji √
1 - φ 2j

(j = 1 , 12; i = 1 , N )
Il metodo Montecarlo
Sia x una variabile casuale, di cui è nota la distribuzione di probabilità, e
sia w (x) una nuova variabile casuale, legata a x da una funzione
deterministica complicata.
In linea di principio si può derivare la distribuzione di probabilità P (w )
dalla distribuzione di probabilità P (x) per via analitica. In pratica la
derivazione può non essere fattibile (e spesso non lo è).
Allora per risolvere il problema si genera a caso un gran numero di
valori di x, si calcolano i corrispondenti valori di w e infine si stima la
distribuzione di w a partire dal campione (numerosissimo).
Così si ottiene un'approssimazione di P (w ), che è tanto migliore quanto
più numeroso è il campione.
La tecnica prende il nome di metodo della generazione dei dati, o m e t o d o
Montecarlo.
Nello studio della disponibilità delle risorse idriche si genera una serie di
deflussi lunga quanto si vuole e si calcolano (simulando l'effetto delle
opere e della gestione) i valori della grandezza risultante w di cui si
vuole determinare la distribuzione di probabilità.
Estrazione a caso dei valori di una variabile
casuale (processo stocastico indipendente e
stazionario).
x
variabile casuale
P(x)
probabilità di non superamento
y = P (x )
nuova variabile casuale
y è funzione crescente di x
Poichè y è funzione crescente di x,
P (y) = P (x)
p (y ) d y = p (x ) d x
p (y ) = p (x )
dx
dy
dx
1
=
dy d y/dx
d y d P (x )
=
= p (x )
dx
dx
dx
1
=
d y p (x)
p (y ) = 1
La distribuzione di y = P (x) è uniforme.
Esempio di applicazione del modello di Thomas-Fiering
Ticino alla Miorina
Valori dei parametri del modello di Thomas-Fiering stimati a partire dalle osservazioni del
periodo 1921-1935. Il coefficiente I coincide con il coefficiente di correlazione lineare del
deflusso del mese considerato con quello del mese precedente (ovviamente il mese che precede
gennaio è dicembre).
mese
gennaio
febbraio
marzo
aprile
maggio
giugno
luglio
agosto
settembre
ottobre
novembre
dicembre
P (x ) [m3 s -1 ]
137.5
123.6
137.2
255.7
495.9
538.7
405.9
325.4
335.3
370.5
423.5
247.1
V (x ) [m3 s -1 ]
35.2
44.3
46.6
121.6
150.5
119.3
134.8
99.3
121.7
197.7
321.1
97.3
I
0.717
0.519
0.642
0.541
0.579
0.586
0.734
0.267
0.458
0.511
0.149
0.626
Costruzione di una serie artificiale di deflussi
Si estrae a caso una serie di valori di probabilità di non superamento P dalla distribuzione
uniforme limitata tra zero e uno:
P
0.2936
0.3545
0.0031
0.0053
0.7517
0.2578
0.1643
0.7368
0.8660
0.0673
...
...
Utilizzando l'inversa della funzione di probabilità della distribuzione di Gauss si calcolano i
valori della variabile standardizzata z corrispondenti ai valori di P:
P
0.2936
0.3545
0.0031
0.0053
z
-0.542509
-0.372755
-2.73739
-2.55603
0.7517
0.2578
0.1643
0.7368
0.8660
0.0673
0.679552
-0.649824
-0.976887
0.633180
1.10773
-1.49650
Si assegna il mese a cui si riferisce il primo deflusso artificiale. Qui si assume che sia
gennaio. Allora il primo deflusso da costruire è x 11 (dove il primo pedice si riferisce alla
posizione del mese nell'anno e il secondo alla posizione nell'intera serie artificiale).
Il primo valore della serie deve essere estratto dalla distribuzione del mese a cui si
riferisce, non condizionata al valore assunto nel mese precedente, che è incognito. Sarà
quindi, indicando con P (x1) e V (x1) la media e lo scarto quadratico medio del mese di gennaio
(al quale si riferisce il pedice) e assegnando a z 11 il primo della serie di valori di z estratti
a caso:
x 1 1 = P (x 1 ) + z 1 1 V ( x 1 ) = 1 3 7 . 5 + ( - 0 . 5 4 2 5 0 9 ) v 35.2 = 118.4
m3 s -1.
Ora si calcola il secondo valore della serie, utilizzando l'espressione che lega tra loro il
deflusso normalizzato del mese considerato (febbraio) e quello del mese precedente. Sarà
quindi, assegnando a u22 il secondo della serie di valori di z estratti a caso (perchè anche u è
una variabile gaussiana standardizzata):
z 22 = I 2 z 11 + u 22
1 -I
˜CCC
2
2
= 0 . 5 1 9 v ( - 0 . 5 4 2 5 0 9 ) + ( - 0 . 3 7 2 7 5 5 ) ˜CCCCCCCCCC
1 - 0.5192) =
-0.600184.
Quindi il deflusso del mese di febbraio è:
x 2 2 = P (x 2 ) + z 2 2 V ( x 2 ) = 1 2 3 . 6 + ( - 0 . 6 0 0 1 8 4 ) v 44.3 = 97.0
m3 s - 1 .
Ora si calcola il terzo valore della serie, utilizzando l'espressione che lega tra loro il
deflusso normalizzato del mese considerato (marzo) e quello del mese precedente. Sarà
quindi, assegnando a u 33 il terzo della serie di valori di z estratti a caso:
z 33 = I 3 z 22 + u 33
1 -I
˜CCC
2
3
= 0 . 6 4 2 v ( - 0 . 6 0 0 1 8 4 ) + ( - 2 . 7 3 7 3 9 ) ˜CCCCCCCCCC
1 - 0.6422) =
-2.484088.
Quindi il deflusso del mese di febbraio è:
x 3 3 = P (x 3 ) + z 3 3 V ( x 3 ) = 1 3 7 . 2 + ( - 2 . 4 8 4 0 8 8 ) v 46.6 = 21.4
m3 s - 1 .
Si procede quindi così fino a completare la serie di deflussi voluta.
Vale la pena di fare due osservazioni.
La prima è che il deflusso normalizzato del mese di gennaio del secondo anno sarà indicato con
i pedici 1 e13, quello del mese di febbraio con i pedici 2 e 14, e così via (perchè il primo
pedice, che indica il mese dell'anno, varia tra 1 e 12, mentre il secondo, che indica il mese
della serie, continua a crescere).
La seconda osservazione è che si potrebbe anche procedere in modo diverso, costruendo prima
l'intera serie dei deflussi normalizzati z e ricavando quindi la serie dei deflussi x.