. - Processi stocastici
PROF.GIULIO GIUSEPPE GIUSTERI
OBIETTIVO DEL CORSO
Si vogliono presentare agli studenti i concetti e le tecniche fondamentali della
moderna teoria della probabilità unitamente ad alcune importanti applicazioni in
fisica, economia e nel campo della modellistica matematica.
PROGRAMMA DEL CORSO
Definizione di σ-algebra, misura e spazio di probabilità. Esempi e proprietà
fondamentali. Definizione di variabile aleatoria reale n-dimensionale. Integrazione
rispetto ad una misura di probabilità; definizione di valore atteso, varianza e
momenti. Disuguaglianza di Chebyshev. Distribuzione e densità di probabilità di
una variabile aleatoria. Distribuzione normale ed esponenziale.
Definizione di indipendenza per eventi, σ-algebre e variabili aleatorie.
Caratterizzazione dell'indipendenza mediante funzioni di ripartizione e densità di
probabilità. Definizione di limite superiore ed inferiore di una succassione di
eventi. Lemma di Borel-Cantelli. Definizione di Tail σ-algebra. Legge 0-1 di
Kolmogorov. Legge forte dei grandi numeri. Teorema del limite centrale.
Un modello stocastico per i mezzi porosi: la percolazione su reticolo. Stime per la
soglia critica di percolazione.
Definizione e proprietà del valore atteso condizionato.
Un modello matematico per le molecole polimeriche. Catena ideale. Interazioni a
corto raggio. Distribuzione dei monomeri e radius of gyration. Catena non ideale
con interazione di volume escluso. Modello statistico per l'elasticità della gomma.
Definizione di processo stocastico in tempo discreto e continuo. Definizione di
storia di un processo. Definizione di martingala e submartingala. Disuguaglianze
funzionali su martingale.
Random walk unidimensionale come processo diffusivo. Definizione di processo
di Wiener o Moto Browniano unidimensionale. Costruzione di Lévy-Ciesielski di
un processo di Wiener unidimensionale. Processo di Wiener n-dimensionale.
Hӧlderianità e non-differenziabilità delle traiettorie campione. Markovianità del
processo di Wiener.
Integrale stocastico di Itô: definizione e proprietà. Integrale stocastico di
Stratonovich. Definizione di differenziale stocastico. Formule di Itô per il
differenziale di un prodotto e di una funzione composta. Definizione di equazione
differenziale stocastica. Esempi di risoluzione di SDE lineari. Equazione di
Langevin e processo di Ornstein-Uhlenbeck.
Equazioni di Kolmogorov. Equazione di Fokker-Planck per processi diffusivi.
Stopping times: definizione ed integrale stocastico con uno stopping time come
estremo d'integrazione. First hitting time di un insieme. Formula di Itô con
stopping time. Definizione di operatore generatore di un processo stocastico.
Rappresentazione stocastica delle funzioni armoniche. Formula di Feynman-Kac.
Modello di Black-Scholes-Merton per l'option pricing. Pricing a European call
option utilizzando l'equazione di Black-Scholes-Merton. Il modello di Heston per
l'option pricing. Optimal stopping. Optimal switching.
BIBLIOGRAFIA
Dispense e materiale didattico saranno messe a disposizione dal docente.
DIDATTICA DEL CORSO
Lezioni in aula
METODO DI VALUTAZIONE
Esame orale
AVVERTENZE
Il Prof. Giulio Giusteri riceve gli studenti dopo le lezioni nel suo studio.
