jnj - 9 (hb) ~ ~W~ ~9

Esercizio 1 Un'urna contiene 6 palline rosse, 4 nere, 8 bianche. Si estrae una
pallina; calcolare la probabilità di avere a) una pallina bianca; b) una pallina
nera; e) una pallina non bianca; d) una pallina blu.
[a) I; b) I; e) f ; d) O/
Soluzione
P(P\- # bianche _ 4
(hja}
-
jnj
_ # nere __ 2
- 9
# bianche
(hb)
5
~ ~W~ ~ 9
# blu
9
=
Esercizio 2 Un'urna contiene 50 palline numerate da 1 a 50; si estraggono
contemporaneamente 2 palline. Calcolare la probabilità di avere: a) due numeri
dispari; b) un numero divisibile per 5 e uno non divisibile per 5; due numeri la
cui .somma è 50.
!n] 12 »,) 16
) 24 7
/"/ 4 9 7 °7 49; V 1225 i
Soluzione
|fì| numero di combinazioni di classe 2 sulle 50 palline (650.2)Lo spazio campionario considera insiemi non ordinati!!
\Ea numero di combinazioni di classe 2 sulle 25 palline dispari (625,2)\Eh\o di coppie (non ordinate) di palline in cui una è divisibile per 5 e
una non lo è.
"palline divisibili per 5 (ovvero 10)" x "palline non divisibili per 5 (ovvero
40)".
\EC\o di coppie (non ordinate) di palline che danno come somma 50
(ovvero 24)
650,2
24
P(EC] =
650,2
49
24
1225
v
"'
650,2
49
Esercizio 3 Si estraggono contemporaneamente 3 carte da un mazzo di 40 carte. Calcolare la probabilità di avere: a) 3 figure; b) 2 figure e un asso; e) una
figura, un asso, un sette.
ini IL- hi 33 • r ) 24 /
/"/ 494' "/ 1235' L/ 1235 J
Soluzione
|0| numero di combinazioni di classe 3 su 40 (6*40,3).
Lo spazio campionario considera insiemi non ordinati!!
\Ea\o di combinazioni di classe 3 sulle 12 figure (612,3).
\Eb\o tra il numero di combinazioni di classe 2 sulle 12 figure (612,2)1 e
il numero di possibili assi (ovvero 4).
\EC\o tra il numero di figure (ovvero 12), il numero di assi (ovvero 4),
e il numero di 7 (ovvero 4).
6193
H
640,3
494
„,„,
v
"'
6 *12,2
129-4
33
C40,3
1235
P(E } = 12'4'4 = -?L
V c)
640,3 1235
Esercizio 4 Nel gioco del Totocalcio calcolare la probabilità dei seguenti eventi,
supponendo che qualunque risultato sia equopossibile: a) totalizzare 13 punti; b)
totalizzare 12 punti; e) sbagliare tutti i pronostici.
ln )
1
. /, )
26
. ) 8192 /
/ / 1594323' / 1594323' / 1594323-/
Soluzione
|fi| numero di disposizioni di classe 13 sui 3 possibili pronostici (1, 2, X) (D'3
Ì3)
Lo spazio campionario considera insiemi ordinati!!
\En\a combinazione vincente
\E\j\l prodotto tra il numero di combinazioni vincenti di classe 12 sulle 13 partite (613,12), e il numero di pronostici perdenti sull'unica partita sbagliata
(ovvero 2)
\EC\l numero di disposizioni perdenti di classe 13 (il numero di partite) sui 2
possibili pronostici (due perché una e vincente e due sono perdenti) (D'2l3}
26
013
°
13
|1
213
-—
~ 013
ó
Esercizio 5 Una scatola contiene 20 lampadine di cui si sa che 5 sono difettose;
si prendono a caso 3 lampadine. Calcolare la probabilità che: a) siano tutte
difettose; b) almeno una non sia difettosa.
fa) Ii4'' ^ iW
Soluzione
|Q| numero di combinazioni di classe 3 sulle 20 possibili lampadine (6*20,3)
Lo spazio campionario considera insiemi non ordinati!!
\Ea\o di combinazioni di lampadine difettose di classe 3 (65,3)
\Eh\o insieme è complementare ad Ea
114
= 1 - P(Ea) =
114
Esercizio 6 Si lanciano 3 dadi. Calcolare la probabilità di avere: a) 3 numeri
dispari; b) due numeri pari e uno dispari; e) tre numeri la cui somma sia 5;
almeno due 1.
[a) \; b) |; e) a; d) %]
Soluzione
| il | numero di disposizioni cori ripetizione di classe 3 (numero di dadi) sui 6
possibili numeri (D'6 3)
Lo spazio campionario considera insiemi ordinati!!
Ea\o di disposizioni con ripetizione di classe 3 (numero di dadi) sui 3
possibili valori (numeri dispari tra 1 e 6) (D'3 3 )
\Eb\o tra il numero di disposizioni con ripetizione di classe 2 (i due
dadi) sui 3 possibili valori (numeri pari tra 1 e 6) (D32), il numero di
valori dispari che può assumere il terzo dado (ovvero 3), e il numero di
ordinamenti possibili (ovvero 63,2)
\EC numero di coppie ordinate di numeri tra 1 e 6 la cui somma da 5
\Ed prodotto tra il numero di combinazioni di classe 2 (i due dadi con l'I) sui
3 dadi e il numero di valori che può assumere il terzo dado tralasciando
l'I l (ovvero 5). In più sommiamo l'esito (1,1,1).
_
ZXj3 _
1
-^6,3
8
6
1
D'Gì,
36
£>32-3
27
Esercizio 7 Cinque amici A, B, C, D, E acquistano 5 biglietti per 5 posti contigui a teatro e si siedono a caso in uno dei posti. Calcolare la probabilità degli
eventi: a) i cinque amici si siedono in ordine alfabetico; b) A e B sono seduti
vicino.
M ife/ V lì
lr rralasciamo l'I perché la combinazione (1,1,1) non è riordinabile. quindi non deve entrarmi
del prodotto con i possibili ordinamenti 6*3,2
Soluzione
| fi | numero di permutazioni dei 5 amici (5!)
Lo spazio campionario considera insiemi ordinati!!
\Ea\a permutazione che preserva l'ordine alfabetico
\Ei\o tra il numero di esiti che fanno sedere A e B vicini (ovvero 8), e
il numero di permutazioni degli altri 3 amici sui restanti 3 posti (3!)
5!
12
Esercizio 8 Si consideri un gruppo di 5 persone. Calcolare le seguenti probabilità: a) che siano nate tutte nello stesso mese, supponendo che le nascite nei
vari mesi siano egualmente possibili; b) siano nate tutte in mesi diversi.
/"•/ 20736' "/ 144
144J
Soluzione
f2| II numero di disposizioni con ripetizione di classe 5 (le persone) sui 12
possibili mesi (D'Ì2 5)
Lo spazio campionario considera insiemi ordinati !!
\Ea\I numero di esiti che corrispondono a nascita di ciascuna persona nello
stesso mese (ovvero 12)
|.E/,| II numero di disposizioni di classe 5 (le persone) sui possibili mesi (£12.5)
12
1
D12,5
55
Esercizio 9 In una moneta non è regolare, la probabilità di avere testa è 3 la
probabilità di avere croce. Calcolare la probabilità di ciascuna faccia.
Soluzione
P(T] =
1. P(A \B} = P(A) - P(A H B)
2. P(A n Bc) = P(A) - P(A n B)
\o 10 Verificare che per qualunque coppia di eventi A, B G A
3. P(AC n Bc) = 1 - P(A U B)
4. P(AC U Bc) = I - P(A n B)
Soluzione
1.
P(A\B] = P(An(AnB)) = P((AcU(AnB)c)c) = l-P(Ac(J(AnB}c}
= P(A] - P(A n B)
2.
P(A n B c ) = P(A \B} = P(A) - P(A n B)
3.
P(AC n Bc) = P((4 U B) c ) - 1 - P(A U B)
4.
P(y4c U Bc) = P((A n B) c ) = 1 - P(A n B)
Esercizio 11 Un giocatore di poker riceve all'inizio del gioco cinque carte da
un normale mazzo di 52. a) Qual è la probabilità di ricevere almeno 2 assi? b)
Qual è la probabilità di ricevere cinque carte dello stesso seme? e) Qual è la
probabilità di ricevere un poker servito?
fa) 0.4168; b) 13. ; e) 3.rJ
Soluzione
|0| II numero combinazioni di classe 5 (il numero di carte ricevute) sulle 52
carte possibili (6*52,5 )•
Lo spazio campionario considera insiemi non ordinati !!
\Ea\o considerare il caso di estrarre esattamente 2, 3 e 4 assi quindi
avremo la sommatoria con i E [2,4] del prodotto tra il numero di combinazioni di classe i (gli assi estratti) sui 4 assi possibil^C^), e il numero
di combinazioni di classe 5 — i (le carte rimanenti) sulle restanti 48 carte
(r1 \i )•
\Eb\I prodotto tra il numero di semi (ovvero 4) e il numero di combinazioni di
classe 5 (il numero di carte) sulle 13 carte per seme (6*13,5)
\EC\I prodotto tra il numero di possibili poker (ovvero 13), e il numero di
restanti valori per la carta rimanente (ovvero 48)
P(Ea) = Y
C4^C48'5-?:
•i=2
P(E<) = ^
'
4165
= 0.4168
P(Eb} = ^-^- 33
-52,5
16660
'