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Esercizi di Probabilità e Statistica
Samuel Rota Bulò
19 giugno 2006
Spazi di probabilità finiti e uniformi
Esercizio 1 Un’urna contiene 6 palline rosse, 4 nere, 8 bianche. Si estrae una
pallina; calcolare la probabilità di avere a) una pallina bianca; b) una pallina
nera; c) una pallina non bianca; d) una pallina blu.
[a) 49 ; b) 29 ; c) 59 ; d) 0]
Soluzione
# bianche
4
=
|Ω|
9
# bianche
5
P (Ec ) = 1 −
=
|Ω|
9
# nere
2
=
|Ω|
9
# blu
P (Ed ) =
=0
|Ω|
P (Ea ) =
P (Eb ) =
Esercizio 2 Un’urna contiene 50 palline numerate da 1 a 50; si estraggono
contemporaneamente 2 palline. Calcolare la probabilità di avere: a) due numeri
dispari; b) un numero divisibile per 5 e uno non divisibile per 5; due numeri la
cui somma è 50.
16
24
[a) 12
49 , b) 49 , c) 1225 ]
Soluzione
|Ω| numero di combinazioni di classe 2 sulle 50 palline (C50,2 ).
Lo spazio campionario considera insiemi non ordinati!!
|Ea | numero di combinazioni di classe 2 sulle 25 palline dispari (C25,2 ).
|Eb | numero di coppie (non ordinate) di palline in cui una è divisibile per 5 e
una non lo è.
“palline divisibili per 5 (ovvero 10)” × “palline non divisibili per 5 (ovvero
40)”.
|Ec | numero di coppie (non ordinate) di palline che danno come somma 50
(ovvero 24)
C25,2
12
=
C50,2
49
24
24
P (Ec ) =
=
C50,2
1225
P (Ea ) =
P (Eb ) =
1
10 · 40
16
=
C50,2
49
Esercizio 3 Si estraggono contemporaneamente 3 carte da un mazzo di 40 carte. Calcolare la probabilità di avere: a) 3 figure; b) 2 figure e un asso; c) una
figura, un asso, un sette.
11
33
24
[a) 494
; b) 1235
; c) 1235
]
Soluzione
|Ω| numero di combinazioni di classe 3 su 40 (C40,3 ).
Lo spazio campionario considera insiemi non ordinati!!
|Ea | numero di combinazioni di classe 3 sulle 12 figure (C12,3 ).
|Eb | prodotto tra il numero di combinazioni di classe 2 sulle 12 figure (C12,2 ), e
il numero di possibili assi (ovvero 4).
|Ec | prodotto tra il numero di figure (ovvero 12), il numero di assi (ovvero 4),
e il numero di 7 (ovvero 4).
11
C12,3
=
C40,3
494
12 · 4 · 4
24
P (Ec ) =
=
C40,3
1235
P (Eb ) =
P (Ea ) =
C12,2 · 4
33
=
C40,3
1235
Esercizio 4 Nel gioco del Totocalcio calcolare la probabilità dei seguenti eventi,
supponendo che qualunque risultato sia equopossibile: a) totalizzare 13 punti; b)
totalizzare 12 punti; c) sbagliare tutti i pronostici.
1
26
8192
[a) 1594323
; b) 1594323
; c) 1594323
]
Soluzione
0
|Ω| numero di disposizioni di classe 13 sui 3 possibili pronostici (1, 2, X) (D3,13
)
Lo spazio campionario considera insiemi ordinati!!
|Ea | l’unica combinazione vincente
|Eb | il prodotto tra il numero di combinazioni vincenti di classe 12 sulle 13 partite (C13,12 ), e il numero di pronostici perdenti sull’unica partita sbagliata
(ovvero 2)
|Ec | il numero di disposizioni perdenti di classe 13 (il numero di partite) sui 2
0
possibili pronostici (due perchè una è vincente e due sono perdenti) (D2,13
)
P (Ea ) =
1
1
= 13
0
D3,13
3
P (Ec ) =
0
D2,13
213
=
0
D3,13
313
P (Eb ) =
26
C13,12 · 2
= 13
0
D3,13
3
Esercizio 5 Una scatola contiene 20 lampadine di cui si sa che 5 sono difettose;
si prendono a caso 3 lampadine. Calcolare la probabilità che: a) siano tutte
difettose; b) almeno una non sia difettosa.
1
[a) 114
; b) 113
114 ]
2
Soluzione
|Ω| numero di combinazioni di classe 3 sulle 20 possibili lampadine (C20,3 )
Lo spazio campionario considera insiemi non ordinati!!
|Ea | numero di combinazioni di lampadine difettose di classe 3 (C5,3 )
|Eb | questo insieme è complementare ad Ea
P (Ea ) =
C5,3
1
=
C20,3
114
P (Eb ) = 1 − P (Ea ) =
113
114
Esercizio 6 Si lanciano 3 dadi. Calcolare la probabilità di avere: a) 3 numeri
dispari; b) due numeri pari e uno dispari; c) tre numeri la cui somma sia 5;
almeno due 1.
1
2
; d) 27
]
[a) 18 ; b) 38 ; c) 36
Soluzione
|Ω| numero di disposizioni con ripetizione di classe 3 (numero di dadi) sui 6
0
possibili numeri (D6,3
)
Lo spazio campionario considera insiemi ordinati!!
|Ea | numero di disposizioni con ripetizione di classe 3 (numero di dadi) sui 3
0
possibili valori (numeri dispari tra 1 e 6) (D3,3
)
|Eb | prodotto tra il numero di disposizioni con ripetizione di classe 2 (i due
0
dadi) sui 3 possibili valori (numeri pari tra 1 e 6) (D3,2
), il numero di
valori dispari che può assumere il terzo dado (ovvero 3), e il numero di
ordinamenti possibili (ovvero C3,2 )
|Ec | numero di coppie ordinate di numeri tra 1 e 6 la cui somma da 5
|Ed | prodotto tra il numero di combinazioni di classe 2 (i due dadi con l’1) sui
3 dadi e il numero di valori che può assumere il terzo dado tralasciando
l’1 1 (ovvero 5). In più sommiamo l’esito (1,1,1).
0
D3,2
·3
3
=
C3,2
8
C3,2 · 5 + 1
2
P (Ed ) =
=
63
27
0
D3,3
1
=
0
D6,3
8
6
1
P (Ec ) = 0 =
D6,3
36
P (Ea ) =
P (Eb ) =
Esercizio 7 Cinque amici A, B, C, D, E acquistano 5 biglietti per 5 posti contigui a teatro e si siedono a caso in uno dei posti. Calcolare la probabilità degli
eventi: a) i cinque amici si siedono in ordine alfabetico; b) A e B sono seduti
vicino.
1
; b) 25 ]
[a) 120
1 Tralasciamo l’1 perchè la combinazione (1,1,1) non è riordinabile, quindi non deve entrarmi
del prodotto con i possibili ordinamenti C3,2
3
Soluzione
|Ω| numero di permutazioni dei 5 amici (5!)
Lo spazio campionario considera insiemi ordinati!!
|Ea | l’unica permutazione che preserva l’ordine alfabetico
|Eb | prodotto tra il numero di esiti che fanno sedere A e B vicini (ovvero 8), e
il numero di permutazioni degli altri 3 amici sui restanti 3 posti (3!)
P (Ea ) =
1
1
=
5!
120
P (Eb ) =
8 · 3!
2
=
5!
5
Esercizio 8 Si consideri un gruppo di 5 persone. Calcolare le seguenti probabilità: a) che siano nate tutte nello stesso mese, supponendo che le nascite nei
vari mesi siano egualmente possibili; b) siano nate tutte in mesi diversi.
55
1
; b) 144
]
[a) 20736
Soluzione
|Ω| Il numero di disposizioni con ripetizione di classe 5 (le persone) sui 12
0
possibili mesi (D12,5
)
Lo spazio campionario considera insiemi ordinati !!
|Ea | Il numero di esiti che corrispondono a nascita di ciascuna persona nello
stesso mese (ovvero 12)
|Eb | Il numero di disposizioni di classe 5 (le persone) sui possibili mesi (D12,5 )
P (Ea ) =
12
1
= 4
0
D12,5
12
P (Eb ) =
D12,5
55
=
0
D12,5
144
Esercizio 9 In una moneta non è regolare, la probabilità di avere testa è
probabilità di avere croce. Calcolare la probabilità di ciascuna faccia.
[T= 25 ; C= 35 ]
2
3
la
Soluzione
P (T ) = 23 · P (C)
P (T ) + P (C) = 1
(1)
2
5
3
5
(2)
P (T ) =
P (C) =
Esercizio 10 Verificare che per qualunque coppia di eventi A, B ∈ A
1. P (A \ B) = P (A) − P (A ∩ B)
2. P (A ∩ B C ) = P (A) − P (A ∩ B)
4
3. P (AC ∩ B C ) = 1 − P (A ∪ B)
4. P (AC ∪ B C ) = 1 − P (A ∩ B)
Soluzione
1.
P (A\B) = P (A∩(A∩B)) = P ((AC ∪(A∩B)C )C ) = 1−P (AC ∪(A∩B)C )
= P (A) − P (A ∩ B)
2.
P (A ∩ B C ) = P (A \ B) = P (A) − P (A ∩ B)
3.
P (AC ∩ B C ) = P ((A ∪ B)C ) = 1 − P (A ∪ B)
4.
P (AC ∪ B C ) = P ((A ∩ B)C ) = 1 − P (A ∩ B)
Esercizio 11 Un giocatore di poker riceve all’inizio del gioco cinque carte da
un normale mazzo di 52. a) Qual è la probabilità di ricevere almeno 2 assi? b)
Qual è la probabilità di ricevere cinque carte dello stesso seme? c) Qual è la
probabilità di ricevere un poker servito?
3
13
; c) 4165
]
[a) 0.4168; b) 16660
Soluzione
|Ω| Il numero combinazioni di classe 5 (il numero di carte ricevute) sulle 52
carte possibili (C52,5 ).
Lo spazio campionario considera insiemi non ordinati !!
|Ea | Dobbiamo considerare il caso di estrarre esattamente 2, 3 e 4 assi quindi
avremo la sommatoria con i ∈ [2, 4] del prodotto tra il numero di combinazioni di classe i (gli assi estratti) sui 4 assi possibili(C4,2 ), e il numero
di combinazioni di classe 5 − i (le carte rimanenti) sulle restanti 48 carte
(C48,i ).
|Eb | Il prodotto tra il numero di semi (ovvero 4) e il numero di combinazioni di
classe 5 (il numero di carte) sulle 13 carte per seme (C13,5 )
|Ec | Il prodotto tra il numero di possibili poker (ovvero 13), e il numero di
restanti valori per la carta rimanente (ovvero 48)
P (Ea ) =
4
X
C4,i · C48,5−i
i=2
P (Ec ) =
C52,5
= 0.4168
3
13 · 48
=
C52,5
4165
5
P (Eb ) =
4 · C13,5
33
=
C52,5
16660