Goniometria-base

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MISURA DI UN ANGOLO IN RADIANTI
A
B
α
LA MISURA DI UN ANGOLO IN RADIANTI
SI OTTIENE COME RAPPORTO TRA LA
LUNGHEZZA DELL’ARCO AB SOTTESO
DALL’ANGOLO E IL RAGGIO r DEL CERCHIO.
r
αRAD =
AB
r
O
ESEMPIO: SE α = 360° (ANGOLO GIRO)
LA MISURA DI α IN RADIANTI È:
α = (2r)/r = 2
IN GENERALE PER PASSARE DA GRADI A RADIANTI (E VICEVERSA) SI USA LA PROPORZIONE:
360° : 2 = α° : αRAD
OPPURE
180° :  = α° : αRAD
LA CIRCONFERENZA GONIOMETRICA
y
4° quadrante
1° quadrante
A
( ; )
D
r
B
1
O
x
( ; )
( ; )
3° quadrante
( ; )
P(x;y)
α
C
LA CIRCONFERENZA GONIOMETRICA
È UNA CIRCONFERENZA CON CENTRO
NELL’ORIGINE E RAGGIO r = 1.
IL SEGMENTO OP CHE UNISCE IL
CENTRO DELLA CIRCONFERENZA CON
UN PUNTO P SULLA CIRCONFERENZA
SI CHIAMA RAGGIO VETTORE.
2° quadrante
GLI ANGOLI SI MISURANO A
PARTIRE DAL RAGGIO VETTORE OA
(SULL’ASSE y) E RUOTANDO IN SENSO
ORARIO.
NELLA FIGURA SONO RIPORTATI I
QUADRANTI IN SENSO ORARIO E I
SEGNI DELLE COORDINATE DEI PUNTI
P(x;y) NEI DIVERSI QUADRANTI.
ANGOLI PRINCIPALI
y
330°
360° 0°
30°
45°
315°
60°
300°
270°
90°
x
240°
120°
135°
225°
150°
210°
180°
α°
αRAD
0°
0
30°
/6
45°
/4
60°
/3
90°
/2
120°
2/3
135°
3/4
150°
5/6
180°

210°
7/6
225°
5/4
240°
4/3
270°
3/2
300°
5/3
315°
7/4
330°
11/6
360°
2
LE FUNZIONI GONIOMETRICHE SENO E COSENO
y
IL SENO DI UN ANGOLO α È DEFINITO COME
ASCISSA DELLA PROIEZIONE ORTOGONALE
DEL RAGGIO VETTORE OP SULL’ASSE x:
sen α = OK
A
P
H
cos α
D
α
sen α
O
POICHÉ OP = 1 POSSIAMO ANCHE SCRIVERE:
sen α = HP/OP (SI NOTI CHE HP = OK)
r
K
B
1
x
IL COSENO DI UN ANGOLO α È DEFINITO COME
ORDINATA DELLA PROIEZIONE ORTOGONALE DEL
RAGGIO VETTORE OP SULL’ASSE y:
cos α = OH
C
APPLICANDO IL TEOREMA DI
PITAGORA AL TRIANGOLO OHP
POICHÉ OP = 1 POSSIAMO ANCHE SCRIVERE:
cos α = OH/OP
sen2α

cos2α
=1
1a LEGGE FONDAMENTALE
DELLA GONIOMETRIA
N.B.: sen2α = (sen α )2 ; MENTRE sen2α  sen (α2)
LE FUNZIONI GONIOMETRICHE TANGENTE E COTANGENTE
y
A
S
tg α
T
O
α
cotg α
P
H
cos α
LA TANGENTE DI UN ANGOLO α È DEFINITA
COME L’ASCISSA DEL PUNTO T, INTERSEZIONE
DEL PROLUNGAMENTO DEL RAGGIO VETTORE
OP E DELLA TANGENTE GEOMETRICA ALLA
CIRCONFERENZA IN A:
tg α = AT
r
sen α
K
B
1
x
LA COTANGENTE DI UN ANGOLO α È DEFINITA
COME L’ORDINATA DEL PUNTO S, INTERSEZIONE
DEL PROLUNGAMENTO DEL RAGGIO VETTORE
OP E DELLA TANGENTE GEOMETRICA ALLA
CIRCONFERENZA IN B:
cotg α = BS
APPLICANDO LE PROPRIETÀ DEI TRIANGOLI SIMILI AI TRIANGOLI OHP E OAT SI HA:
sen α
tg α = cos α
2a LEGGE FONDAMENTALE
DELLA GONIOMETRIA
y
A
tg α
α
POICHÉ OA = 1 POSSIAMO ANCHE SCRIVERE:
tg α = AT/OA
cotg α
O
T
P
H
cos α
S
POICHÉ OB = 1 POSSIAMO ANCHE SCRIVERE:
cotg α = BS/OB
r
sen α K
B
1
x
IN TAL MODO tg α E cotg α SI ESPRIMONO
COME RAPPORTO TRA I CATETI DEI TRIANGOLI
RETTANGOLI OAT E OBS RISPETTIVAMENTE (SI
NOTI CHE OŜB = α)
APPLICANDO LE PROPRIETÀ DEI TRIANGOLI SIMILI AI TRIANGOLI OBS E OHP SI HA:
cotg α =
cos α = 1
sen α
tg α
αRAD
sen α
cos α
tg α
cotg α
0°
0
0
1
0
∄
30°
/6
1/2
√3/2
√3/3
√3
45°
/4
√2/2
√2/2
1
1
60°
/3
√3/2
1/2
√3
√3/3
90°
/2
1
0
∄
0
120°
2/3
√3/2
-1/2
-√3
-√3/3
135°
3/4
√2/2
-√2/2
-1
-1
150°
5/6
1/2
-√3/2
-√3/3
-√3
180°

0
-1
0
∄
210°
7/6
-1/2
-√3/2
√3/3
√3
225°
5/4
-√2/2
-√2/2
1
1
240°
4/3
-√3/2
-1/2
√3
√3/3
270°
3/2
-1
0
∄
0
300°
5/3
-√3/2
1/2
-√3
-√3/3
315°
7/4
-√2/2
√2/2
-1
-1
330°
11/6
-1/2
√3/2
-√3/3
-√3
360°
2
0
1
0
∄
4° q.
1° q.
tg α
cotg α
α°
cos α α
sen α
3° q.
2° q.
sen
cos
1° q.


2° q.


3° q.


4° q.


tg
cotg
1° q.


2° q.


3° q.


4° q.


SINUSOIDE: y = sin (x)
(grafico funzione seno)
COSINUSOIDE: y = cos (x)
(grafico funzione coseno)
TANGENTOIDE: y = tg (x)
(grafico funzione tangente)
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