PI Greco Day – Soluzioni
1.
Nel rettangolo OCDH, unisco O con D, il segmento OD
è una delle diagonali del rettangolo in questione. In un
rettangolo, le diagonali sono uguali, quindi CH = OD =
Raggio del cerchio = 2.
RISPOSTA 1 : CH = 2
2.
Circonferenza della Terra = 40000 KM
Quindi : Raggio della Terra = 40000 / 6,28 = 6369,426750 KM
Circonferenza della Corda = 40000,003 KM (40000 KM + 3 M)
Quindi : Raggio della Corda = 40000,003 / 6,28 = 6369,427230 KM
Spazio disponibile sollevando la Corda = Raggio della Corda - Raggio della Terra = 0,00048 KM = 0,48 M
RISPOSTA 2 : (B) cioè appena sufficiente a passarci sotto
3.
Nelle due figure l’area della parte tratteggiata (contenuta nel quadrato) è UGUALE: nella prima figura l’area della
parte tratteggiata è un Cerchio di raggio R ; nella seconda figura l’area della parte tratteggiata è formata dallo stesso
Cerchio suddiviso in 4 parti dove ogni parte è un quarto (1/4 ) di cerchio di raggio R.
La Probabilità di colpire il bersaglio è pari al rapporto delle Aree, quindi:
Area Cerchio = PiGreco * R * R
Area Quadrato = L * L ma L = 2* R
quindi Area Quadrato = 4 * R * R
Quindi : Probabilità = Area Cerchio / Area Quadrato = (PiGreco * R * R) / (4 * R * R) = PiGreco / 4
RISPOSTA 3 : la probabilità di colpire la zona tratteggiata è la stessa per entrambi i tirassegni e vale : PiGreco / 4
4.
La formula per calcolare l’area della parte comune è :
Area Parte Comune dei Cerchi Secanti = Area Segmento Circolare (AO’B di base AB) + Area Segmento Circolare
(AOB di base AB)
I due segmenti circolari sono UGUALI, quindi :
Area Parte Comune dei Cerchi Secanti = 2 * Area Segmento Circolare (AOB di base AB)
Dobbiamo calcolare:
Area Segmento Circolare (AOB di base AB) = Area Settore Circolare (AOB) – Area triangolo (AOB)
1) Per calcolare l’Area del settore circolare (AOB) facciamo la seguente considerazione: i triangolo OAO’ e OBO’
sono EQUILATERI avendo tutti i lati uguali, infatti la misura di tali lati è pari al raggio del Cerchio: OA = AO’ =
R e BO = BO’ = R e OO’ = R (per costruzione della figura)
Quindi, essendo Equilateri, gli angoli interni sono tutti di 60°, cioè:
angolo(AOO’) = angolo (BOO’) = 60° angolo (AOB) = 120°
Area Settore Circolare (AOB) = Area Cerchio * angolo (AOB) / 360° = (PiGreco * R * R * angolo (AOB)) / 360°
Area Settore Circolare (AOB) = 150,72 cmq
2) Passiamo al triangolo AOB, questo è isoscele con base AB e altezza OH
Calcoliamo AB : se consideriamo i triangoli equilateri OAO’ e OBO’ di lato R, allora:
AH = HB = altezza = ½ * RadiceQuadrata(3)* R
AB = AH + HB = 2 * AH = RadiceQuadrata(3)* R
Calcoliamo OH: siccome OO’ è la base del triangolo equilatero OAO’, l’altezza AH taglia la base in due parti
uguali, quindi OH = ½ * OO’ = ½ * R
Quindi : Area Triangolo (AOB) = ½ * AB * OH = ¼ * RadiceQuadrata(3)* R * R = 6,93 cmq
A questo punto si conclude che :
Area Segmento Circolare (AOB di base AB) = Area Settore Circolare (AOB) – Area triangolo (AOB) =
= (PiGreco * R * R * angolo (AOB)) / 360° - ¼ * RadiceQuadrata(3)* R * R = 150,72 cmq - 6,93 cmq = 143,79 cmq
Quindi :
Area Parte Comune dei Cerchi Secanti = 2 * Area Segmento Circolare (AOB di base AB) = 287,58 cmq
RISPOSTA 4 : Area Parte Comune dei Cerchi Secanti = 287,58 cmq
