Esercizi di trigonometria

Istituto Superiore “XXV aprile” Pontedera - Prof. Francesco Daddi
Esercizi di trigonometria - 4aC Liceo Scientifico - 13/11/2013
Esercizio 1. Risolvere la disequazione 2 sin x + sin(2 x) < 0 .
Esercizio 2. Risolvere la disequazione sin(2 x) · cos x ≥ 0 .
[R. π + 2 kπ < x < 2 π + 2 kπ ]
[R. 2 kπ ≤ x ≤ π + 2 kπ ∨ x =
Esercizio 3. Risolvere la disequazione tan x − 2 sin x ≤ 0 sull’intervallo −
[R. − π2 < x ≤ − π3 ∨ 0 ≤ x ≤
π
3
∨
π
2
<x≤π ]
3
2
π + 2 kπ ]
π
3
< x < π.
2
2
Esercizio 4. Trovare il punto di massimo ed il punto di minimo della funzione
√
f (x) = 5 3 cos x + 5 sin x − 2 sull’intervallo 0 ≤ x ≤ 2 π .
[R. Il massimo viene assunto per x =
π
6
mentre il minimo per x =
Esercizio 5. Trovare il punto di massimo della funzione f (x) =
(Suggerimento: per prima cosa si scriva cos(2 x) = 1 − 2 sin2 x.)
[R. Il massimo si ottiene per x = π3 ]
7
6
π]
√
1
π
cos(2 x) + 3 sin x sull’intervallo 0 ≤ x ≤ .
2
2
Esercizio 6. Determinare i punti di massimo e di minimo della funzione
√
π
4023 π + e2− 3
√
√
sull’intervallo 0 ≤ x ≤ .
f (x) =
2
2
3
5 + 3 sin (3 x) − 2 sin(3 x) cos(3 x) − 3 cos (3 x)
(Suggerimento: il numeratore è costante e > 0 mentre il denominatore è 6= 0 per ogni x reale; la frazione è massima
quando è minimo il denominatore ed è minima quando è massimo il denominatore.)
7
π
mentre il minimo viene assunto per x = 36
π]
[R. Il massimo viene assunto per x = 36
Esercizio 7. Risolvi la disequazione sin3 x + cos3 x ≥ 0. [R. 2 kπ ≤ x ≤
3
4
π + 2 kπ ∨
7
4
π + 2 kπ ≤ x ≤ 2 π + 2 kπ]
Esercizio 8. Stabilire per quali k l’equazione sin4 x − cos4 x + 3 = k non ammette soluzioni. (Suggerimento:
sfruttare la relazione A2 − B 2 = (A − B)(A + B) con A = sin2 x e B = cos2 x .) [R. k < 2 ∨ k > 4 .]
Ò una semiretta OC che forma con OA un angolo
Esercizio 9. Si conduca internamente ad un angolo retto AOB
√
Ò
AOC = x; presi rispettivamente su OA ed OB due punti M ed N tali che OM = 1, ON = 3, siano M ′ ed N ′
le rispettive proiezioni di M ed N su OC. Detto P il punto medio di M ′ N ′ , si determini x in modo che risulti
massima l’area del triangolo
N OP . (* Maturità 1975 ordinaria *)
√
3
π
π
3
[R. Si ha Area(x) =
cos2 x + sin x cos x, con 0 < x < ; il massimo si ottiene per x = .]
4
4
2
6
Ò si costruisca sulla corda AB, da parte
Esercizio 10. Dato in una circonferenza di raggio r l’angolo al centro AOB,
√
3
opposta rispetto al centro O, il triangolo isoscele ABC avente per base AB e per altezza CH =
· AB.
2
Ò per il quale il quadrilatero OACB ha area massima.
a) Si determini il valore dell’angolo AOB
√
Ò per i quali il quadrilatero OACB ha area pari a 3 r2 .
b) Si determinino i valori dell’angolo AOB
2
(* Maturità 1979 ordinaria * - con modifiche)
€
Š
√
√
Ò con 0 < x < π, si ha Area(x) = r2
[R. Posto x = AOB,
3 + sin x − 3 cos x .
2
a) Il massimo si ottiene per x = 56 π. b) Si ha x = π3 .]
b = 90◦ , AB = a, si conduca per il vertice C la
Esercizio 11. Dato il triangolo rettangolo isoscele ABC con B AC
retta non secante il triangolo tale che risulti massima la somma delle perpendicolari AM e BN condotte su di essa.
(* Maturità 1984 suppletiva *)
Ò (con 0 < x < π ) si ha Somma(x) = a (2 sin x + cos x); il massimo della funzione si
[R. Posto x = ACM
2
π
trova per x = 2 − arctan 12 = arctan 2 .]
Esercizio 12. Considerato il triangolo ABC avente i lati CA = a e CB = 2 a, si costruisca, da parte opposta a C
rispetto alla retta AB, il triangolo rettangolo ABD il cui cateto BD sia uguale alla metà del cateto AB. Si studi
Ò e si calcoli il perimetro di detto quadrangolo
come varia l’area del quadrangolo ADBC al variare dell’angolo ACB
quando la sua area è massima. (* Maturità 1988 ordinaria
 *)
‹
5
3
2
Ò
[R. Posto x = ACB (con 0 < x < π), si ha Area(x) = a sin x − cos x +
; l’area è massima per x = π
4
4
È
√
√
6 + ( 5 + 1) 5 + 2 2
ed il perimetro corrispondente è pari a a
.]
2