ESERCIZI SU GLI INSIEMI
STEFANO MONTALDO
(1) Ordinare i seguenti numeri razionali in ordine crescente
3 5 13 1
, ,
, .
4 6 10 2
(2) Gigi ha una torta: dopo un’ora, ne ha mangiato i (2/7) e, nell’ora seguente, ne
mangia i (2/7) di ciò che rimaneva dopo la prima ora. Quale parte di torta viene
mangiata da Gigi in queste due ore?
(3) Scrivere in forma di quoziente di interi il numero periodico 2, 1331 .
(4) Si consideri la funzione f : N → N definita da:
f (n) = n3 ,
∀n∈N.
Stabilire se f è: iniettiva, surgettiva, bigettiva.
(5) Dimostrare le seguenti affermazioni:
(i) la somma di due numeri pari è un numero pari;
(ii) la somma di due numeri dispari è un numero pari;
(iii) il prodotto di due numeri dispari è un numero dispari.
(6) Dati due numeri reali a e b, con a < b, poniamo:
(a, b) = {x ∈ R : a < x < b} .
L’insieme (a, b) viene chiamato intervallo aperto di estremi a e b (si noti che a 6∈
(a, b) e b 6∈ (a, b)). Ora si consideri l’insieme
I=
[
(k, k + 1)
k∈Z
(questa simbologia significa che l’insieme I è l’unione degli (infiniti) intervalli aperti
(k, k + 1) , dove k è un numero intero). Determinare CR (I) .
1
2
STEFANO MONTALDO
(7) Dati gli insiemi
A = {x ∈ R : 1 < x ≤ 2},
B = {x ∈ R : x < 2}
descrivere
• A∪B
• A∩B
• A\A∪B
• B\A∪B
(8) Utilizzando i diagrammi di Venn dimostrare le seguenti uguaianze
• C(A ∪ B) = C(A) ∩ C(B)
• C(A ∩ B) = C(A) ∪ C(B)
(9) Dati gli insiemi A = {I numeri naturali pari} e B = {I numeri naturali divisibili per 5}
• Descrivere i due insiemi usando formule matematiche
• Calcolare A ∪ B e A ∩ B
• è possibile calcolare A \ B?
(10) Dire, tra i seguenti insiemi, quali sono quelli finiti.
• Linsieme A dei numeri pari
• Linsieme B dei dei numeri razionali minori di 2
• Linsieme C dei numeri naturali minori di 19
• Linsieme D = {x ∈ N : 3 < x < 32}
• Linsieme dei punti di una circonferenza
Calcolare poi tutte le intersezioni degli insiemi A, B, C, D presi a due a due
(11) Dare la rappresentazione estensiva dellinsieme A dei numeri della forma 2n + 5
con n ∈ {0, 2, 3, 9}
(12) Quali tra i seguenti insiemi sono uguali?
• A = {N, I, L, O}
• B = {f iume}
• C = {N ILO}
• D = {L, I, N, O}
ESERCIZI SU GLI INSIEMI
3
(13) Dati gli insiemi A = {a, b, c}, B = {b, d}, C = {a, b}, dire se le seguenti affermazioni sono vere o false
• B⊂A
• C⊂A
• C=B
(14) Dire se sono vere le seguenti affermazioni:
• x < 4 ⇒ x ∈ {0, 1, 2, 3}
• m = n e n = 4 ⇒ m ∈ {naturali pari}
• x∈A e y ∈B ⇒ x∈A∪B
• x∈A e y ∈B ⇒ x∈A∩B
(15) Dati gli insiemi A = {a, b, c}, B = {cane, gatto}, C = {2, 4, 6, 1}, si costruiscano
• B×A
• C ×A
• C ×B
(16) Costruire due insiemi infiniti la cui intersezione è finita
(17) Costruire due insiemi infiniti A e B tali che A \ B sia finito
(18) Dire, dando una breve dimostrazione, quali delle seguenti funzioni sono iniettive
e quali sono suriettive:
• f : R → R,
f (x) = x3 − 1
• f : (−1, 1) → R,
f (x) = |x|
f (x) = 2x
√
f (n) = n
• f : (0, 1) → (0, 2),
• f : N → R,
(19) Dare un esempio di una funzione non costante f : R → R tale che f (1) = f (3) =
f (4) = f (7) = 0
