Stefano Montaldo
Matematica e Statistica - Compito #1
12 ottobre 2015
Problema 1.
Ordinare i seguenti numeri razionali in ordine crescente
3 5 13 1
, ,
, .
4 6 10 2
Problema 2.
Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere
• ∅ ∈ {∅, 2}
• ∅ ⊆ {∅, {∅}}
• {∅} = {∅, {∅}}
• {1} ∈ {1, 2}
• {{1}} ⊆ {1, 2}
• {∅} = {∅, {∅}}
• ∅ = {x ∈ Z : x2 < 1}
• ∅ = {x : {1, x} = {1, 2, 3}}
Problema 3.
Dimostrare le seguenti affermazioni:
(a) la somma di due numeri pari è un numero pari;
(b) la somma di due numeri dispari è un numero pari;
(c) il prodotto di due numeri dispari è un numero dispari.
Problema 4.
Dati gli insiemi
A = {x ∈ R : 1 < x ≤ 2},
B = {x ∈ R : x < 2}
descrivere
(a) A ∪ B
(b) A ∩ B
(c) A \ A ∪ B
(d) B \ A ∪ B
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Problema 5.
Siano A, B sottoinsiemi di C. Utilizzando i diagrammi di Venn dimostrare le seguenti
uguaglianze (formule di de Morgan)
(a) C C (A ∪ B) = C C (A) ∩ C C (B)
(b) C C (A ∩ B) = C C (A) ∪ C C (B)
Problema 6.
Siano A, B e C insiemi. Si provi, utilizzando i diagrammi di Venn, dimostrare le seguenti
uguaglianze
(A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)
(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
Problema 7.
Dati gli insiemi A = {I numeri naturali pari} e B = {I numeri naturali divisibili per 5}
(a) Descrivere i due insiemi in modo intensivo.
(b) Determinare A ∪ B e A ∩ B
(c) Descrivere A \ B
Problema 8.
Dire, tra i seguenti insiemi, quali sono quelli finiti.
(a) Linsieme A dei numeri pari
(b) Linsieme B dei dei numeri razionali minori di 2
(c) Linsieme C dei numeri naturali minori di 19
(d) Linsieme D = {x ∈ N : 3 < x < 32}
(e) Linsieme dei punti di una circonferenza
Calcolare poi tutte le intersezioni degli insiemi A, B, C, D presi a due a due.
Problema 9.
Dare la rappresentazione estensiva dellinsieme A dei numeri della forma 2n + 5 con n ∈
{0, 2, 3, 9}
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Problema 10.
Quali tra i seguenti insiemi sono uguali?
(a) A = {N, I, L, O}
(b) B = {f iume}
(c) C = {N ILO}
(d) D = {L, I, N, O}
Problema 11.
Dati gli insiemi A = {a, b, c}, B = {b, d}, C = {a, b}, dire se le seguenti affermazioni sono
vere o false
(a) B ⊂ A
(b) C ⊂ A
(c) C = B
Problema 12.
Dire se sono vere le seguenti affermazioni:
(a) x < 4 ⇒ x ∈ {0, 1, 2, 3}
(b) m = n e n = 4 ⇒ m ∈ {naturali pari}
(c) x ∈ A e y ∈ B ⇒ x ∈ A ∪ B
(d) x ∈ A e y ∈ B ⇒ x ∈ A ∩ B
Problema 13.
Dati gli insiemi A = {a, b, c}, B = {cane, gatto}, C = {2, 4, 6, 1}, si costruiscano
(a) B × A
(b) C × A
(c) C × B
Problema 14.
Costruire due insiemi infiniti la cui intersezione è finita
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Problema 15.
Costruire due insiemi infiniti A e B tali che A \ B sia finito
Problema 16.
Si consideri la funzione f : N → N definita da:
f (n) = n3 ,
∀n∈N.
Stabilire se f è: iniettiva, surgettiva, bigettiva.
Problema 17.
Dire, dando una breve dimostrazione, quali delle seguenti funzioni sono iniettive e quali sono
suriettive:
(a) f : R → R,
f (x) = x3 − 1
(b) f : (−1, 1) → R,
f (x) = |x|
f (x) = 2x
√
f (n) = n
(c) f : (0, 1) → (0, 2),
(d) f : N → R,
Problema 18.
Dare un esempio di una funzione non costante f : R → R tale che f (1) = f (3) = f (4) =
f (7) = 0
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