LA CIRCONFERENZA E IL CERCHIO

LA CIRCONFERENZA E IL CERCHIO
LUOGO GEOMETRICO
segmento circolare
Si dice luogo geometrico ogni figura costituita da tutti e soli i
punti che godono di una certa proprietà. Per dimostrare che
una figura piana F è un luogo geometrico occorre
dimostrare:.
C
1. che tutti i punti di F godono della proprietà;
2. che se un punto del piano gode di quella proprietà, allora
esso appartiene a F.
L’asse di un segmento è il luogo dei punti del piano
equidistanti dagli estremi del segmento.
La bisettrice di un angolo convesso è il luogo dei punti del
piano equidistanti dai lati del triangolo.
CIRCONFERENZA
Si dice circonferenza di centro C il luogo dei punti che
hanno distanza costante dal punto C; tale distanza si deice
raggio.
Si dice cerchio la figura costituita dalla circonferenza e da
tutti i punti interni ad essa.
circonferenza
settore circolare
angolo al centro
PROPRIETÀ DELLE CIRCONFERENZE
1. Per tre punti non allineati passa una e una sola
circonferenza
2. Due circonferenze sono congruenti se e solo se hanno i
raggi congruenti
PROPRIETÀ DELLE CORDE
1.
2.
3.
cerchio
4.
5.
C
segmento a due basi
raggio
In ogni circonferenza il diametro è maggiore di qualsiasi
corda che non passa per il centro
In ogni circonferenza un diametro perpendicolare a una
corda dimezza sia la corda, sia l’arco sotteso dalla corda,
sia l’angolo al centro che insistesull’arco
In ogni circonferenza un diametro che passa per il punto
medio di una corda è perpendicolare alla corda
In ogni circonferenza (o in circonferenze congruenti)
corde congruenti hanno la stessa distanza dal centro, e
viceversa.
In ogni circonferenza (o in circonferenze congruenti) se
due corde non sono congruenti, la corda maggiore ha dal
centro distanza minore, e viceversa.
P
Si dice arco di circonferenza la parte di circonferenza
delimitata da due punti.
Si dice corda ogni segmento che ha gli estremi sulla
circonferenza.
Ogni corda che passa per il centro si dice diametro: il
diametro è la corda massima ed è il doppio del raggio.
E
arco
PROPRIETÀ DELGLI ARCHI E DEGLI ANGOLI AL CENTRO
1.
2.
In ogni circonferenza (o in circonferenze congruenti) ad
archi congruenti corrispondono angoli al centro e corde
congruenti, e viceversa.
In ogni circonferenza (o in circonferenze congruenti) se
due archi non sono congruenti, ad arco maggiore
corrisponde angolo al centro maggiore, e viceversa.
POSIZIONI RETTA-CIRCONFERENZA
A
diametro
F
C
P
B
corda
Q
Si dice angolo al centro ogni angolo che ha il vertice nel
centro della circonferenza
Data una retta s e una circonferenza di centro O e raggio r,
sia OH la distanza della retta dal centro; si possono
presentare tre casi:
1. se OH > r , la retta è esterna alla circonferenza;
2. se OH = r , la retta è tangente alla circonferenza;
3. se OH < r , la retta è secante la circonferenza.
Nel caso di una retta r tangente ad una circonferenza nel
punto H, il raggio passante per H è perpendicolare alla retta
tangente.
POSIZIONI RECIPROCHE DI DUE CIRCONFERENZE
Date due circonferenze di centri O e O’ e raggi r e r’ (con
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r > r ' ) la loro posizione reciproca dipende dalla distanza dei
loro centri; possono presentarsi i seguenti casi:
1. se OO ' > r + r ' : circonferenze esterne;
2. se OO ' = r + r ' : circonferenze tangenti;
3. se OO ' < r + r ' : circonferenze secanti;
4. se OO ' = r − r ' : circonferenze tangenti internamente;
5. se OO ' < r − r ' : circonferenze una interna all’altra.
Due circonferenze una interna all’altra che hanno lo stesso
centro si dicono concentriche e la parte di piano compresa
fra esse si dice corona circolare.
A
O
P
B
ANGOLO ALLA CIRCONFERENZA
Si dice angolo alla circonferenza ogni angolo che ha il
vertice sulla circonferenza e i lati secanti la circonferenza,
oppure un lato secante e l’altro tangente:
1.
2.
3.
I segmenti di tangenza PA e PB sono congruenti
La semiretta di origine P che passa per O è bisettrice sia
dell’angolo APB, sia dell’angolo AOB.
La retta PO è asse della corda AB.
I lati dell’angolo determinano un arco di circonferenza: si
dice che l’angolo alla circonferenza insiste su tale arco.
Ogni angolo alla circonferenza ha un angolo al centro
corrispondente, che insiste sullo stesso arco
Teorema: ogni angolo alla circonferenza è congruente alla
metà dell’angolo al centro che insiste sullo stesso arco.
Corollario1: tutti gli angoli alla circonferenza che insistono
sullo stesso arco sono tra loro congruenti (sono tutti la metà
dello stesso angolo al centro).
Corollario2: tutti i triangoli inscritti in una
semicirconferenza
sono
triangoli
rettangoli
(il
corrispondente angolo al centro è piatto).
TANGENTI A UNA CIRCONFERENZA
Da un punto P esterno ad una circonferenza si possono
tracciare due e solo due tangenti alla circonferenza.
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