Geometria piana: applicazione del primo criterio di congruenza Sul triangolo Isoscele Problema Si consideri il triangolo ABC isoscele sulla base AB e sia P un punto interno al triangolo tale che gli angoli P AC , PBC siano congruenti. Dimostrare: 1) che il triangolo ABP è isoscele su AB; 2) che il punto P appartiene alla bisettrice dell'angolo nel vertice C. Elaborazioni Ipotesi 1) ABC è isoscele su AB 2) P unto interno al triangolo ABC 3) PAC PBC Tesi 1) ABP è isoscele su AB 2) P appartiene alla bisettrice di ACB Dimostrazioni 1) Per dimostrare che un triangolo è isoscele basta far vedere che ha due lati o due angoli congruenti. In questo caso facciamo vedere che ABP ha due angoli congruenti. Infatti, dall'ipotesi che ABC è isoscele su AB deduciamo che gli angoli alla base sono congruenti: BAC ABC . Utilizzando ora l'ipotesi n.3 deduciamo che BAC PAC ABC PBC , quindi BAP ABP . Pertanto ABP è isoscele su AB, perciò risulta anche AP BP . 2) Confrontiamo i triangoli PAC, PBC ed osserviamo che: a) AC e BC sono congruenti (lati del triangolo isoscele ABC); b) per ipotesi gli angoli P AC , PBC sono congruenti; c) dalla precedente dimostrazione abbiamo dedotto AP BP . I due triangoli sono congruenti per il primo criterio ed hanno quindi congruenti gli elementi omologhi, in particolare risultano congruenti gli angoli ACP , BCP e ciò dimostra che CP giace sulla bisettrice dell'angolo ACB . Luigi Lecci:www.matematicaescuola.it Pagina 1