Goniometria e trigonometria
Misurare gli angoli nel sistema circolare
L’unità di misura del sistema circolare è il radiante
def. Un radiante è la misura di un angolo alla circonferenza che sottende un arco che rettificato è
uguale al raggio della circonferenza stessa
A
V
1 radiante
l’arco AB é lungo come il raggio
B
Poiché all’angolo giro corrisponde l’intera circonferenza ( 2πr) la misura di un angolo giro nel
sistema circolare è 2πrad
Per passare dal sistema circolare al sistema sessagesimale basta fare la proporzione
π : 180° = x rad : x°
Tutti gli angoli che differiscono per multipli dell’angolo giro si dicono equivalenti.
Esercizio.
Dati i seguenti angoli individuare quelli equivalenti: α=120° β = -600° γ= 480° δ=300°
Poiché α=120° β = 120°-2∙360° γ= 120°+360° δ=120°+180° si ha che α, β, γ sono
equivalenti.
Nel sistema circolare la misura dell’angolo coincide con quella dell’arco corrispondente, quindi si
può parlare di angolo che misura 0.5πrad o di arco che misura 0.5πrad
SENO, COSENO E TANGENTE DI UN ANGOLO
Si dice circonferenza goniometrica la circonferenza di centro O(0,0) e raggio unitario, di equazione
x2+y2=1
Per definizione :
P(cosα, senα)
T(1, tang α )
La prima relazione fondamentale è
y
cos2 α + sen2 α = 1
T
P
la seconda relazione fondamentale è tg
α
O
1
sen
cos
x
Sapendo in quale quadrante cade il secondo lato
dell’angolo e il valore di una delle sue funzioni angolari
è possibile calcolare le altre due
Si ricordi che
cotang x =1/ tang x
cosec x= 1/senx
1
sec x=1/cosx
Esercizio
Sia x un angolo, si sa che 90°<x<180° e sen x = 1/4 determinare, se è possibile, i valori di cos x
ed tang x.
Svolgimento: poiché il secondo lato dell’angolo appartiene al secondo quadrante, il coseno sarà
negativo e la tangente sarà negativa.
__________
___
Cos x = - -(1/4)2 = - / 4
____
ed tang x = (1/4) / (- / 4)
____
= - / 15
Esercizio
Sia x un angolo, si sa che 0<x<180° e sen x = 2/3 determinare, se è possibile, i valori di cos x ed
tang x.
Svolgimento: tali valori non si possono determinare in modo univoco poiché ci sono due angoli che
verificano le condizioni richieste.
Esercizio
Quanto misura in radianti l’angolo interno di un pentagono regolare?
La somma degli angoli interni di un poligono di n lati è (n-2)angoli piatti .
Poiché il pentagono è regolare tutti gli angoli sono uguali e ciascuno di essi misura
3
radianti
5
Quanto misura in radianti l’angolo esterno di un ettagono regolare?
Misura 2π / 7 radianti
Esercizi da svolgere
__
1)Dopo aver disegnato gli archi che corrispondono a cos x = 3 / 2 , trovare dell’arco del quarto
quadrante, le altre funzioni trigonometriche
2) Sapendo che x è un angolo acuto e che sen x = 3/5 calcolare le altre funzioni goniometriche
3)Ragionando sulla circonferenza goniometrica determinare
cos (x+π)=…………
sen (π/2 - x)=....................
sen(x+π)=……..
sen(2π-x)=………..
4)Semplificare le espressioni:
tg(x+π)sen(π-x)cos(π+x)+tg(π-x)cos2(-x)=
sen4x-sen2x-cos4x+cos2x=
5) verificare le identità
tang x+ cotang x = 1/(sen x ∙ cos x)
tg2x-sen2x = tg2x ∙ sen2x
6)Determinare per quali valori del parametro k hanno significato le seguenti relazioni. Calcolare poi
le restanti funzioni dell’angolo
2
Le equazioni goniometriche elementari
Esercizio
2 senx = 1
1. Si ricava sen x :
sen x= 1/2
2. In
le soluzioni sono:
3. In R le soluzioni sono:
Esercizio
1. Si ricava cos x
2. Le soluzioni in
sono:
3. Le soluzioni in R sono:
Esercizio
Risolvere tg x - 3 =0
Si ricava tg x e si ottiene: tg x=
3
La soluzione in [0; ] e' : x = π/3
Le soluzioni in R sono :
Le equazioni goniometriche in una sola funzione angolare
Esempio
2sen2x –senx -1 = 0 ( si risolve come una equazione di secondo grado)
3
1 1 8 1 3
4
4
senx =
quindi
sen x = 1 U sen x = -1/2
le soluzioni, in [0,2] sono x= /2 U x= 7/6 U x= 11/6;
le soluzioni in R sono x= /2 +2k U x= 7/6+2k U x= 11/6+2k
Le equazioni lineari in seno e coseno
sen x-cos x +1=0
pongo
sen x = Y cos x = X
Y X 1 0
2
2
X Y 1
rappresento retta e circonferenza goniometrica
In [0,2], le soluzioni sono x=0 U x =3/2
In R le soluzioni sono x=0+2k U x =3/2+2k
4
Le curve goniometriche
E’ opportuno memorizzare i grafici della sinusoide, della cosinusoide e della tangentoide, in modo
da poter risolvere agevolmente le disequazioni goniometriche.
Inoltre, da tali grafici si possono ricavare quelli di altre funzioni coem indicato qui di seguito.
La funzione
La funzione
y = senx
y = cosx
La funzione y = tang x
ha C.E. (-,+)
ha C.E. (-,+)
ha codominio [-1,1]
ha codominio [-1,1]
ha C.E. { xR t.c.
ha periodo T =
x ≠ /2 + k }
Se y=f(x) ha periodo T, la funzione y = f(x) ha periodo T/
y = sen(3x) ha periodo T=2/3 ( 120°)
y= tang ( x/2) ha periodo T= 2
5
ed ha periodo T=2
ed ha periodo T=2
ha condominio . (-,+)
Data la funzione y=f(x), la funzione y=kf(x) determina una dilatazione o contrazione di f(x) nella
direzione dell’asse y pari a |k|, se k<0 allora si ha un ribaltamento del grafico rispetto all’asse x.
Es. y= 2senx
y= - (1/2) sen x
Data la funzione y=f(x) ,il grafico di y= f(x) + h si ottiene traslando il grafico della f(x), verso
l’alto o verso il basso,a seconda che h sia positivo o negativo, di |h| volte l’unitá di misura
y= senx + 1.5
y = senx – 1.5
Data la funzione y=f(x) , il grafico di y= f(x + h) si ottiene traslando il grafico di f(x), verso
sinistra o verso destra, a seconda che h sia positivo o negativo, di |h| volte l’unitá di misura
6
y= sen (x+/3 )
y= sen (x-/3 )
Data la funzione y=f(x), il grafico di y=|f(x)|, si ottiene lasciando invariate le parti in cui f(x) sta
sopra all’asse x e si ribaltano nel semipiano delle x>0 le parti del grafico di y=f(x) negative
y=|sen x|
Data la funzione y=f(x), il grafico di y=f(|x|), si ottiene lasciando invariato il grafico di f(x) nel
sempiano delle x>0 e costruendo il simmetrico di tale grafico nel semipiano delle x<0. Si noti che
y=f(|x|) è una funzione pari
y=sen |x|
7
Esercizi
Rappresentare il grafico della funzione y=sen(x-) per x[0,2]
Rappresentare il grafico della funzione y=sen|x| per x[-2,2]
Le disequazioni goniometriche
Si debba risolvere la disequazione
senx > ½
1. si passa all’equazione senx=1/2
che da come soluzione x= /6 +2k ed x= 5/6+2k
2. di rappresentano sullo stesso grafico le funzioni y=senx ed y=1/2
3. si individuando gli intervalli dell’asse x in cui
senx >1/2 determinando cosí il risultato
Risultato
/6 +2k <x< 5/6+2k
8
Le formule
9
10
I triangoli rettangoli e i loro teoremi
C
γ
a
b
A
c
β
B
Si noti che l’angolo retto si indica con A e che i lati prendono il nome del vertice opposto
11
c = a cos β
b = a sen β
c = b tang γ
b = a cos γ
c = a sen γ
b = c tang β
oppure
Un cateto è uguale al prodotto dell’ipotenusa per il coseno dell’angolo adiacente al cateto
Un cateto è uguale al prodotto dell’ipotenusa per il seno dell’angolo opposto al cateto
Un cateto è uguale all’altro cateto per la tangente dell’angolo opposto al cateto che devo trovare
Triangoli rettangoli con angoli di 30° e 60° Triangoli rettangoli con angoli di 45°
l 3
2
l
l
l 2
l
l
60°
l/2
Calcolo dell’area di un triangolo qualunque
La formula di calcolo dell’area di un triangolo qualunque è ½ lato per lato per il seno dell’angolo
compreso
Il triangolo può essere acutangolo o
Teorema del seno
in un triangolo qualunque è costante il rapporto
ottusangolo e la formula rimane la stessa
tra un lato e il seno dell’angolo opposto
A
sen sen sen
c
b
a
b
c
β
B
C
a
A α
A=1/2 a*c*senβ
c
b
β
γ
B
C
a
Teorema del coseno o di Carnot
In un triangolo qualunque il quadrato della misura di un lato è la somma dei quadrati degli altri due
meno il doppio prodotto degli stessi moltiplicato per il coseno dell’angolo tra essi compreso
A
c
b
β
B
C
a
b2 = c2 +a2 - c*a*cosβ
12
Dalle prove di ingresso universitarie
1-
2-
3-
4-
Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono convesso di 5 lati?
A. 360°
B. 450°
C. 540°
D. 630°
E. la risposta dipende dalla forma del pentagono
5-
Le soluzioni dell’equazione sen x = cos x sono:
A. x = 2k kZ
B. x = /4 + k kZ
C. x = /4 + 2k kZ
D. x = + 2k kZ
13
6-
7-
8-
9-
Le soluzioni di sen2 x + cos2 x >1 , nell’intervallo [0,2] sono:
A.
B.
C.
D.
10-
11-
0<x</2
/4<x<3/4
Qualunque valore di x
Nessuna delle risposte precedenti è esatta
senx
Sia x un angolo , l’espressione
è:
tangx
A. cos x
B. 1
C. sen x
D. cotang x
Sia Q un ottagono regolare,. Allora la somma delle tangenti degli angoli interni di Q:
A. è uguale a 8
B. è uguale a -8
14
1213-
14-
15-
16-
17-
C. è uguale a 0
D. è uguale a +
E. varia al variare del lato di Q
Il valore del coseno della somma degli angoli interni di un triangolo scaleno è pari a:
A. -1
B. 0
C. -1/2
D. 1
Il coseno dell’angolo di 110° é :
A. positivo
B. maggiore di -1/2
C. maggiore del seno dell’angolo di 110°
D. uguale al coseno dell’angolo di 290°
E. uguale al seno dell’angolo di 20°
In un triangolo rettangolo un angolo misura 30° e l’ipotenusa cm2. Quanto misura il
perimetro?
8
3 3
A.
cm
B. 4cm
C.
D. 3+ 3 cm
3 cm
7
2
Il periodo della funzione y = cos 2 x è:
3
A. /3
B.
C. + /3
D. 2
L’uguaglianza (sen x ) 4 + cos x = (cos x ) 4 con x numero reale è verificata :
A. per ogni x
B. per nessun x C. solo per x=0 D. soltanto per x=/2 E. per infiniti x,
ma non per ogni x
Per gli angoli A, compresi tra 90° e 180° , dire quale delle seguenti affermazioni è esatta:
A. sen A > 0 , cos A > 0
B. sen A < 0 , cos A > 0
C. sen A > 0 , cos A <0
D. sen A < 0 , cos A < 0
15
20-
21
16
22-
23
17
24-
2518
19
