Utilità attesa
Appunti per il corso di Economia dei mercati monetari e finanziari
A.A. 2002/2003
Eduardo Rossi
Università di Pavia
1
Elementi di teoria della probabilità
Esperimento casuale: L’esito non è noto con certezza.
L’insieme dei possibili esiti definisce lo spazio campionario Θ. Generico
esito: θi .
Un evento A è un sottoinsieme dello spazio campionario. Dopo l’esperimento,
si dice che l’evento si è avverato se l’esito appartiene a tale insieme.
Una funzione p che associa un numero ad ogni evento è una misura di
probabilità se rispetta i seguenti vincoli
per qualsiasi evento A, 0 ≤ p (A) ≤ 1
P (Θ) = 1
per qualsiasi successione A1 , A2 , . . . di eventi disgiunti
X
p (∪∞
p (Ai ) .
i=1 Ai ) =
Una variabile casuale X è una funzione che assegna valore
Xi ≡ X (θi )
all’esito θi
X :Θ→R
1
La funzione di distribuzione
F (x) = F (X ≤ x)
−∞≤ x≤∞
funzione di densità
f (x) = F 0 (x)
quando il codomonio di X è numerabile si indica con
pi = f (X = xi ) = p (X = xi )
la probabilità che la X assuma il valore xi .
2
2
Rappresentazione delle preferenze
Decisioni degli individui in condizioni di incertezza e loro implicazioni per la
valutazione delle attività finanziarie.
2.1
Ipotesi
Ogni consumo o investimento individuale è caratterizzato come se l’investitore
determinasse le probabilità dei possibili payoff, assegnando un indice ad ogni
possibile consumo e scegliendo consumo e investimento (risparmio destinato
all’acquisto di attività finanziarie) in modo da massimizzare il valore atteso
dell’indice.
Le preferenze di un individuo hanno una rappresentazione in
termini di utilità attesa se esiste una funzione u (·) tale che il consumo casuale x
e è preferito al consumo casuale ye se e solo se:
E [u (e
x)] ≥ E [u (e
y )]
Due date 0 e 1, un solo bene di consumo disponibile per il consumo al tempo
1. Incertezza nell’economia è modellata dall’incertezza negli stati di natura
che si realizzeranno al tempo 1.
• Collezione dei possibili stati di natura: ω ∈ Ω.
Gli individui sanno che il vero stato di natura è un elemento di Ω ma non
conoscono lo stato che si verificherà al tempo 1.
• Piano di consumo: specificazione del numero di unità del singolo bene
di consumo nei differenti stati di natura
x = {xω : ω ∈ Ω}
xω , è la specificazione del numero di unità del bene di consumo nello
stato ω specificato da x. Un piano di consumo può essere interpretato
come una variabile casuale.
• Relazioni di preferenza. Comparazione di differenti piani di consumo.
Vogliamo che le preferenze di un individuo siano rappresentate da una
funzione di utilità.
3
E’ conveniente pensare ad una comparazione tra piani di consumo come
certi e ad una probabilità che dia la relativa verosimiglianza degli stati di
natura tale che la la relazione di preferenza può essere rappresentata come
un’utilità attesa nel senso che il piano di consumo x
e è preferito x
e0 se e solo
se
E [u (e
x)] ≥ E [u (e
x0 )]
Z
Ω
u (xω ) dP (ω) ≥
Z
u (x0ω ) dP (ω)
Ω
Un piano di consumo è certo se il numero di unità di consumo non varia nei
diversi stati di natura,
x
e0ω = z 0
x
eω = z
∀ω ∈ Ω
con z, z 0 costanti. In questo caso la funzione di utilità attesa si riduce ad
una funzione di utilità su elementi certi:
E [u (e
x)] = u (z)
E [u (e
x0 )] = u (z 0 )
Non tutte le relazioni di preferenza hanno una rappresentazione in termini
di funzione di utilità attesa.
Due approcci possibili perchè una relazione di preferenza abbia una rappresentazione in termini di utilità attesa:
Funzione di utilità Von Neumann-Morgestern
Approccio soggettivo di Savage.
4
3
Relazione di preferenza
X collezione dei piani di consumo
Relazione binaria º su X: collezione di coppie di piani di consumo (x, y).
Se (x, y) sono in relazione scriviamo x º y, se x è debolemente preferito a y.
1. Una relazione binaria è transitiva, cioè:
x º y, y º v → x º v
2. Completa. Se per due piani di consumo x e y si ha che:
xºyoyºx
Due piani di consumo possono essere sempre comparati.
Una relazione di prefenza è una relazione binaria, transitiva e completa.
Possiamo inoltre definire tra due piani di consumo:
Indifferenza:
xºy eyºx→x∼y
Strettamente preferito:
x  y se x º y e y ² x.
Osservazione 1 Quando X ha un numero finito di elementi, una relazione
di preferenza º può essere sempre rappresentata da una funzione di utilità.
Esempio 2 Tre piani di consumo in X, x1 , x2 e x3 . Prendiamo un qulasiasi
piano di consumo, persempio, x3 e definiamo:
H (x3 ) ≡ b
Prendiamo adesso x1 . Poichè la relazione di preferenza è completa, x1 e x3
possono essere comparati, con H funzione di utilità:
b + 1 se x1 Â x3
H (x1 ) ≡
b − 1 se x3 Â x1
b se x3 ∼ x1
5
Compariamo ora x1 , x2 e x3
b − 1 se x3 Â x2
b se x3 ∼ x2
b
+
1/2
se x1 Â x2 Â x3
H (x2 ) ≡
b + 1 se x2 ∼ x1
b + 2 se x2 Â x1
Da ciò che è stato detto
H (xn ) ≥ H (xm )
se e solo se xn º xm
Problemi: quando un individuo esprime le sue preferenze su un insieme
di piani di consumo in numero infinito non numerabile. In questo caso relazioni di preferenza che non possono essere rappresentate dalla funzione di
utilita’ (ad esempio le preferenze lessicografiche).
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4
La funzione di utilità attesà
Denotiamo con P la probabilità definita sullo spazio degli stati Ω che puo’
essere obiettiva o soggettiva. Un piano di consumo e’ una variabile casuale,
le cui caratteristiche probabilistiche sono specificate da P . Il consumo e’
casuale perche’ dipende da quale stato di natura si realizza.
La funzione di distribuzione per un piano di consumo x:
Fx (z) = P {ω ∈ Ω : xω ≤ z}
Se una relazione di preferenza º ha una rappresentazione in termini di utilità
attesa con una funzione di utilità u sugli eventi certi, l’utilità attesa derivata
da x e’
Z +∞
E [u (e
x)] =
u (z) dFx (z)
−∞
Se due piani di consumo x e x0 hanno la stessa funzione di distribuzione,
avranno anche la stessa funzione di utilità e saranno indifferenti.
Osservazione 3 L’individuo esprime le proprie preferenze sulle distribuzioni di probabiltà del consumo.
Per semplificare, assumiamo che l’individuo esprima le sue preferenze sulle
distribuzioni di probabilità (d.p.) definite su un insieme finito Z. Cioè la
collezione dei piani di consumo X sul quale un individuo esprime le proprie
preferenze deve avere la proprietà che
xω ∈ Z,
∀ω ∈ Ω, ∀x ∈ X
Esempio 4 Z = {1, 2, 3} unità di consumo in ogni stato
Possiamo rappresentare un piano di consumo come una variabile casuale
discreta,
p (z) = p (x = z)
è la probabilità che x = z, con p (z) ≥ 0, z ∈ Z
Definizione 5 La variabile casuale X è detta discreta se assume valori in
qualche sottoinsieme numerabile {x1 , x2 , . . . } di R.
7
Fx (z 0 ) =
X
p (z)
z≤z0
X
p (z) = 1
z∈Z
E [u (e
x)] =
X
p (z) u (z)
z∈Z
Un piano di consumo puo’ essere pensato come una lotteria con premi in Z.
La probabilità del premio e’ p (z). Lo spazio delle probabilità su Z è P ed i
suoi elementi sono p, q e r.
Se p ∈ P, la probabilità di z secondo p è p (z).
4.1
Assiomi
Gli assiomi sono necessari e sufficienti perchè una relazione definita su P
abbia una rappresentazione in termini di utilità attesa.
Assioma 6 º è una relazione di preferenza su P.
Assioma 7 Assioma di indipendenza o sostituzione. Per tutti i p,q e r ∈ P
e a ∈ (0, 1). p  q → ap + (1 − a) r  aq + (1 − a) r.
Supponiamo che la scelta tra le lotterie p e r sia affidata ad un esperimento
casuale semplice del tipo lancio della moneta. Se esce testa si ottiene la
lotteria p, se croce la lotteria r. La lotteria composta è ap + (1 − a) r. La
differenza tra ap + (1 − a) r e aq + (1 − a) r è cosa succede se esce testa
nel lancio della moneta (probabilità a). Cioè la differenza tra le due lotterie
dipende dalle preferenze su p e q. In altre parole, la soddisfazione del consumo
in un dato evento (testa) non dipende da cosa sarebbe stato il consumo in
una altro stato del mondo (croce).
Assioma 8 Assioma Archimedeo. Supponiamo che p, q e r siano tre distribuzioni di probabilità tali che: p  q  r. Esistono allora a, b ∈ (0, 1) :
ap + (1 − a) r  q  bp + (1 − b) r.
8
L’assioma archimedeo ci dice che poichè p é strettamente migliore di q,
allora nonimporta quanto cattivo sia r, possiamo trovare una combinazione
di p e r, ap + (1 − a) r, con peso su p vicino a uno tale che la combinazione
è migliore di q. Analogamente, non importa quanto sia migliore p rispetto a
q, possiamo trovare un b sufficientemente vicino a zero tale che bp + (1 − b) r
sia peggiore di q.
Esempio 9 p paga con certezza 100 Euro, q paga con certezza 10 Euro, r
consiste nella propria morte. Uno potrebbe sostenere che r è tanto peggiore
di q che nessuna probabilità a sufficientemente vicino a 1 rende preferibile
ap + (1 − a) r a q. Immaginiamo adesso una situazione nella quale ci venga
offerto di guadagnare con certezza 10 Euro subito ed un’altra nella quale ci
venga data la possibilità di guadagnare 100 Euro, a patto di percorrere un
piccolo tratto di strada in auto. E’ molto probabile che la maggioranza di noi
sarebbe disposta a percorrere un piccolo tratto in auto pur di guadagnare 100
Euro, ma cosi facendo aumenteremmo le possibilità di morte.
9
4.2
Proprietà
Notation 10 Per z ∈ Z, sia Pz la distribuzione di probabilità degenere a z
½
1 se z 0 = z
0
Pz (z ) =
0 se z 0 6= z
cioè Pz rappresenta il piano di consumo sicuro che ha z unità di consumo in
ogni stato.
Quando valgono i tre assiomi valgono le seguenti proprietà per la relazione
di preferenza:
1. p  q, 0 ≤ a < b ≤ 1 → bp + (1 − b) q  ap + (1 − a) q
2. p º q º r e p  r → esiste un unico a∗ ∈ [0, 1] : q ∼ a∗ p + (1 − a∗ ) r
3. p  q e r  s e a ∈ [0, 1] → ap + (1 − a) r  aq + (1 − a) s
4. p ∼ q e a ∈ [0, 1] → p ∼ ap + (1 − a) p
5. p ∼ q e a ∈ [0, 1] → ap + (1 − a) r ∼ aq + (1 − a) r, ∀r ∈ P.
6. Esistono z 0 , z0 ∈ Z: Pz0 º p º Pz0 , ∀p ∈ P (z 0 massimo, z0 minimo).
La relazione º ha una rappresentazione come utilità attesa se e solo se
soddisfa i tre assiomi. Proviamola.
Caso 1. Pz0 ∼ Pz0 . Allora p ∼ q per tutti p, q ∈ P. Quindi ogni u (z) = k
per una costante k sarà una funzione di utilità per eventi certi.
Caso 2. Pz0 Â Pz0 . Per p ∈ P definiamo
H (p) = a
a ∈ [0, 1]
tale che
aPz0 + (1 − a) Pz0 ∼ p
cioè H (p) è quel peso che, assegnato in una lotteria ponderata, rende Pz0
indifferente a p. Per la proprietà 2 a è unico, ovvero H (p) è ben definito per
tutti i p ∈ P.
10
Per definizione di H e per la proprietà 1 si ha:
H (p) ≥ H (q)
se e solo se
H (p) Pz0 + (1 − H (p)) Pz0 º H (q) Pz0 + (1 − H (q)) Pz0
quindi, se e solo se p º q. Quindi H è una funzione di utilità che rappresenta
º.
Il secondo passo è dimostrare che esiste una funzione u (·) definita su Z
tale che:
X
H (p) =
u (z) p (z) .
z∈Z
Per la proprietà 5 e per tutti p, q ∈ P e a ∈ [0, 1]
ap + (1 − a) q ∼ a [H (p) Pz0 + (1 − H (p)) Pz0 ] + (1 − a) [H (q) Pz0 + (1 − H (q)) Pz0 ]
∼ [aH (p) + (1 − a) H (q)] Pz0 + [1 − aH (p) − (1 − a) H (q)] Pz0
0 < aH (p) + (1 − a) H (q) < 1
H rappresenta º, ne segue che
p
z
}|
{
H (ap + (1 − a) q) = H [aH (p) + (1 − a) H (q)]Pz0 + [1 − aH (p) − (1 − a) H (q)]Pz0
{z
}
|
{z
}
|
a
(1−a)
= H (p)
Dalla definizione di H (p) = a dove a ∈ [0, 1] tale che aPz0 + (1 − a) Pz0 ∼ p.
H (p) = a = aH (p) + (1 − a) H (q)
H deve essere lineare
H [ap + (1 − a) q] = aH (p) + (1 − a) H (q) .
11
Definiamo una funzione u (·) su Z con
u (z) ≡ H (Pz )
∀z ∈ Z
dove Pz è il piano di consumo sicuro. Questa è una funzione Von Neumann
Morgerstern. Infatti u (z) è l’utilità, secondo H, per il piano di consumo
sicuro Pz e la funzione di utilità VNM è una funzione su cose sicure.
Prova. Sia p ∈ P. Si puó mostrare che
X
p (z) Pz
p∼
z∈Z
Poichè H rappresenta º
H (p) = H
=
Ã
X
X
p (z) Pz
z∈Z
!
p (z) H (Pz )
z∈Z
=
X
p (z) u (z) .
z∈Z
Ogni relazione binaria su P che soddisfi i tre assiomi ha una rappresentazione di utilità attesa.
Viceversa, se una relazione binaria ha una rappresentazione di utilità
attesa esiste una u (·) tale che, per p, q ∈ P
X
X
p º q sse
p (z) u (z) ≥
u (z) q (z)
allora º soddisfa i tre assiomi.
Si può mostrare che u (·) è determinata unicamente a meno di una trasformazione lineare strettamente positiva. Se anche u
b è una funzione di utilità
VNM, allora esistono due costanti c > 0 e d tale che u
b = d + cu.
Quando Z è un insieme infinito, per esempio quando Z contiene tutti
i numeri reali positivi, il teorema di rappresentazione non vale più. Si ha
bisogno di un quarto assioma chiamato il principio della cosa sicura.
12
4.3
Utilità attesa con consumo su più date
Quando il consumo si verifica su più date: t = 0, 1, . . . , T.
Sia Z la collezione di vettori (T + 1) × 1: (z0 , . . . , zT ) dove zt rappresenta
il numero di unità di consumo certo al tempo t. Supponiamo che Z sia un
insieme finito.
Una probabilità p su Z è una funzione con le seguenti proprietà:
1. p (z) ∈ [0, 1] ∀z ∈ Z;
P
2.
z∈Z p (z) = 1.
Gli individui esprimono le preferenze sulle probabilità definite su Z o,
equivalentemente, sulle lotterie i cui premi sono i consumi ai tempi t =
0, 1, . . . , T .
La relazione binaria º è una relazione di preferenza che soddisfa l’assioma
di sostituzione e quello Archimedeo se e solo se esiste una funzione di utilità
VNM u (·) sulle cose sicure tale che per tutti p, q ∈ P, p º q se e solo se
X
X
u (z0 , . . . , zT ) p (z = z0 , . . . , zT ) ≥
u (z0 , . . . , zT ) q (z = z0 , . . . , zT )
z∈Z
z∈Z
dove p (z = z0 , . . . , zT ) è la probabilità che il consumo dal tempo 0 al tempo
T sia (z0 , . . . , zT ).
Assunzione di additività temporale:
u (z0 , . . . , zT ) =
T
X
t=0
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ut (zt )
Una conseguenza della teoria dell’utilità attesa è che la funzione di utilità
di VNM è necessariamente limitata quando le distribuzioni di probabilità del
consumo implicano livelli di consumo non limitati. Questa è una conseguenza
dell’Assioma Archimedeo. Per vedere questo, supponiamo che u sia non
limitata. Senza perdita di generalità, supponiamo che u sia non limitata
dall’alto e che Z contenga tutti i livelli positivi di consumo. Allora esiste
1
una sequenza di livelli di consumo {zn }∞
n=1 tale che zn → ∞ e u (zn ) = 2n ,
n = 1, 2, . . . . Questo piano di consumo ha livelli di consumo non limitati.
L’utilità attesa di questo piano di consumo è
∞
X
n=1
u (zn ) p (zn ) ≥
∞
X
n=1
2n
1
=∞
2n
Ora, siano q, r ∈ P tali che p  q  r. Sappiamo che le utilità attese con q e
r devono essere finite. E’ quindi evidente che l’assioma Archimedeo non può
essere soddisfatto.
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