elementi di goniometria e di trigonometria

Corso di laurea: BIOLOGIA
Tutor: Floris Marta; Max Artizzu
PRECORSI DI MATEMATICA
ELEMENTI DI GONIOMETRIA
E DI TRIGONOMETRIA
Goniometria e trigonometria sono due termini che derivano dal greco e
significano rispettivamente misura degli angoli e misura dei triangoli.
Le origini della goniometria e della trigonometria sono assai lontane nel
tempo; risalgono a qualche secolo prima di Cristo e sono inizialmente ispirate
da esigenze legate alla risoluzione di vari problemi pratici di geodesia, di
navigazione, di astronomia, problemi che in genere richiedono di risalire dalla
determinazione dı̀ angolazioni e distanze misurabili alla determinazione di
altre angolazioni e distanze non direttamente misurabili.
A partire dal sedicesimo secolo la trigonometria si sviluppa e si afferma anche come disciplina autonoma, raggiungendo quel rigore teorico e
quell’aspetto formale e simbolico caratteristici del linguaggio matematico.
Nel frattempo però sempre più numerose divengono le implicazioni dei
concetti goniometrici con le applicazioni della matematica nel campo scientifico e tecnologico; ben pochi sono infatti i rami della fisica, sia classica che
moderna, che non contemplano per la loro trattazione il calcolo goniometrico
e trigonometrico.
Angoli ed archi
Se in un piano si tracciano due semirette aventi l’origine in comune, il
piano viene diviso in due parti, ciascuna delle quali viene chiamata angolo.
Le due semirette vengono dette i lati dei due angoli e l’origine comune il
loro vertice.
Data una circonferenza avente il centro nel vertice di un angolo, si chiama
1
arco circolare quella parte di circonferenza interna all’angolo e avente per
estremi i punti di intersezione con i lati dell’angolo stesso (nella figura 1 è
d di una circonferenza corrispondente ad un angolo
rappresentato l’arco AB
α; il punto O, vertice dell’angolo, è il centro della circonferenza).
Figura 1: Angoli ed archi corrispondenti
Misura degli angoli e degli archi
Per misurare una grandezza occorre fissare l’unità di misura. Le più
usate unità di misura degli angoli sono il grado ed il radiante. Si chiama
grado la 360a parte dell’angolo giro. I suoi multipli sono il minuto primo (o semplicemente primo), che è
semplicemente secondo), che è
1
60
1
60
di grado, ed il minuto secondo (o
di primo.
Si chiama radiante l’angolo al centro di una circonferenza, di raggio
arbitrario, che sottende un arco di lunghezza uguale al raggio stesso (si tenga
presente che se un angolo al centro di una circonferenza sottende un arco
lungo quanto il raggio ciò succede per ogni altra circonferenza concentrica
con la prima).
Ovviamente, se la lunghezza dell’arco sotteso è ad esempio, metà di quella
del raggio, l’angolo è di mezzo radiante; se è doppia di quella del raggio,
l’angolo è di due radianti; e cosı̀ via. L’angolo giro, che sottende l’intera
circonferenza (la cui lunghezza è 2π volte quella del raggio), è di 2π radianti;
l’angolo piatto è di π radianti; l’angolo retto di
π
2
radianti.
In generale, la misura in radianti di un angolo che sottende un arco
circolare di lunghezza l, è
l
r,
essendo r il raggio della circonferenza di cui
l’arco è parte.
2
Per quanto concerne l’unità di misura degli archi circolari risulta conveniente come unità l’arco il cui angolo al centro corrispondente è l’unità di
misura degli angoli. Si ha cosı̀ l’arco grado, che è l’arco di circonferenza che
corrisponde all’angolo al centro di un grado, e l’arco radiante, che è l’arco di circonferenza che corrisponde all’angolo al centro radiante. Seguendo
questa convenzione la misura di un arco di circonferenza e la corrispondente
angolo al centro sono espresse dallo stesso numero.
È di importanza pratica sapere come si passa dalla misura di un angolo
(o di un arco) in gradi, alla misura in radianti dello stesso angolo (o arco),
e viceversa. Dette x◦ e xr le misure, rispettivamente in gradi ed in radianti,
di uno stesso arco) si ha:
360◦ : 2π = x◦ : xr
Da questa proporzione si ricavano le due formule:
xr =
x◦
π
180◦
x◦ =
xr
180◦
π
la prima delle quali da la misura in radianti, nota quella in gradi, la seconda
la misura in gradi, nota quella in radianti.
Esempi
1) Esprimere in radianti la misura dell’angolo di 25◦ .
Ponendo x◦ = 25◦ nella prima formula si ha:
xr =
25◦
5
π= π
◦
180
36
2) Esprimere in gradi la misura dell’angolo radiante.
Ponendo xr = 1 nella seconda formula si ottiene:
x◦ =
1
180◦ ' 57◦ 170 500
π
Riportiamo nella seguente tabella le misure in radianti di alcuni angoli
particolari:
Gradi
Radianti
0◦
30◦
45◦
60◦
90◦
180◦
270◦
360◦
0
π
6
π
4
π
3
π
2
π
3π
2
2π
3
Angoli ed archi orientati e loro misura
Un angolo si dice orientato quando i suoi lati sono considerati in un
certo ordine, quando cioè è stabilito quale dei due deve considerarsi come
primo. In tal caso l’angolo può essere pensato come generato dalla rotazione del primo lato (lato origine) verso il secondo (lato termine), fino
alla sovrapposizione dei due.
Nella figura 2 sono rappresentati due angoli; se in entrambi si considec viene usata
ra a come lato origine e b come lato termine (la scrittura ab
per indicare l’angolo nel caso di questa scelta), il primo (fig. 2a)) risulta
orientato in senso antiorario, cioè discorde quello di rotazione delle lancette
dell’orologio, il secondo (fig. 2b)) in senso orario.
Figura 2: Angoli orientati
Convenendo di considerare positiva una rotazione che avviene nel verso
antiorario e negativa quella che avviene nel verso orario, l’angolo della figura
2a viene detto angolo positivo mentre quello della figura 2b viene detto
angolo negativo.
La misura di un angolo orientato si ottiene premettendo alla sua misura
assoluta il + se l’angolo è positivo, il segno - se è negativo.
Quanto si è detto per gli angoli vale anche per gli archi. Nella figura 3a è
d positivo; nella figura 3b un arco
rappresentato un arco di circonferenza AB
d negativo.
AB
4
Figura 3: misure di angoli
Seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo (o di un arco)
orientato
Date due variabili, si dice che la seconda è una funzione della prima se
esiste una qualunque legge che ad ogni valore della prima (appartenente ad
un determinato insieme numerico) ne fa corrispondere uno ed uno solo della
seconda.
Le funzioni nelle quali la variabile indipendente è un angolo (o un arco)
vengono goniometriche o circolari.
Per definire le funzioni goniometriche elementari risulta opportuno considerare fisso il lato origine degli angoli e variabile il secondo. Riferito un piano ad un sistema cartesiano ortogonale xOy conveniamo di assumere come
semiretta origine degli angoli il semiasse positivo delle ascisse.
Nella figura 4 è rappresentato l’angolo orientato (positivo) a il cui primo
lato è il semiasse positivo delle ascisse ed il secondo la semiretta r.
Sia P un generico punto della semiretta r, siano xp e yp le sue coordinate
e sia P O la distanza assoluta di P dall’origine O. I quattro rapporti:
yp
PO
xp
PO
yp
xp
xp
yp
non dipendono dalla posizione di P su r. Lo si può verificare prendendo
su r un secondo P’ e considerando la similitudine che intercorre tra i due
triangoli rettangoli PHO e P’H’O.
I quattro suddetti rapporti dipendono solo dall’ampiezza dell’angolo α;
sono dunque funzioni di α. Al primo si da il nome di seno di α (senα), al
5
9
y
8
r
7
P’
6
5
4
P (xp, yp)
3
2
1
0
−1
0
1
H
H’
2
3
x
4
5
6
Figura 4: .
secondo di coseno di α (cosα), al terzo di tangente di α (tgα), al quarto
di cotangente di α (ctgα), È dunque:
senα =
yp
PO
cosα =
xp
PO
tgα =
yp
xp
ctgα =
xp
yp
Tra le dette quattro funzioni goniometriche di un medesimo angolo α
intercorrono le seguenti relazioni:
senα
= tgα
cosα
cosα
= ctgα
senα
ctgα =
1
tgα
Se si considera l’arco di circonferenza di centro O, di raggio OP e di
origine A (figura 5), le funzioni goniometriche ora introdotte vengono anche
rispettivamente dette seno, coseno, tangente e cotangente dell’arco orientato
d.
AP
La circonferenza goniometrica. Una seconda definizione delle
funzioni goniometrihe
Si chiama circonferenza goniometrica una circonferenza orientata
alla quale è associato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale, la cui
origine coincide con il centro della conferenza stessa e la cui unità di misura
è assunta uguale al raggio di quest’ultima. Il senso positivo di percorso
sulla circonferenza è, convenzionalmente, quello antiorario. Nella figura 6a è
6
Figura 5: .
rappresentata una circonferenza goniometrica; A è il suo punto d’intersezione
con il semiasse positivo delle x (lato origine degli angoli) e P il suo punto
tersezione con la semiretta r, formante con il semiasse positivo x un angolo
orientato α.
La circonferenza tracciata in 6a), che ha centro nell’origine O e raggio
unitario, viene detta circonferenza goniometrica; P è il suo punto d’intersezione con la semiretta r, secondo lato dell’angolo orientato α. In 6b) è
indicato che le coordinate di P rappresentano rispettivamente il coseno ed il
seno dell’angolo α.
Figura 6: circonferenza goniometrica
Ciò premesso, si chiamano seno e coseno dell’angolo orientato α (o deld ) rispettivamente l’ordinata e l’ascissa di P (fig. 6b).
l’arco orientato AP
Queste definizioni di seno e coseno coincidono, in pratica, con quelle date
7
precedentemente. Infatti, essendo in questo caso P O = 1, da quelle si
ottiene:
senα =
yp
yp
=
= yp
1
PO
cosα =
xp
xp
=
= xp
1
PO
Figura 7: tangente e cotangente
Se si considerano le due rette a e b, tangenti alla circonferenza goniometrica nei suoi due punti A e B di intersezione con i semiassi positivi delle
x e delle y, e i punti T e C d’intersezione di queste con la semiretta r (fig.
7), vengono dette tangente e cotangente dell’angolo orientato α(o dell’arco
d ) rispettivamente l’ordinata di T e l’ascissa di C.
orientato AP
Anche queste definizioni coincidono con quelle date precedentemente.
Infatti, usando le coordinate di T per definire la tangente di α si ha:
tgα =
yT
yT
=
= yT
xT
1
Analogamente, usando le coordinate di C per definire la cotangente di
α, si ha:
ctgα =
xC
xC
= xC
=
yC
1
Se la semiretta r non interseca le dette tangenti alla circonferenza a e
b, si devono considerare le intersezioni di queste ultime con la semiretta r0
opposta della r (fig. 8).
8
Figura 8: circonferenza goniometrica
Variazione del seno e del coseno
Per semplicità di linguaggio d’ora in poi parleremo sempre di funzioni
goniometriche di un angolo orientato; tuttavia, le proprietà e le relazioni che
esaminaneremo relativamente a queste valgono, in modo del tutto analogo,
per le funzioni goniometriche di un arco orientato.
Dalla fig. 9, nella quale r rappresenta una semiretta che ruota attorno
all’origine O, è facile dedurre le seguenti proprietà del seno e del coseno
dell’angolo orientato α formato da r con il semiasse positivo x:
Figura 9: Variazioni del seno e del coseno
• sen 0◦ = sen 0 = 0, cos 0◦ = cos 0 = 1;
9
π
2
• al crescere di α da 0◦ a 90◦ (cioè da 0 a
radianti) il seno cresce da
0 a 1 mentre il coseno decresce da 1 a 0;
• sen 90◦ = sen
π
2
= 1, cos 90◦ = cos
π
2
• al crescere di α da 90◦ a 180◦ (cioè da
= 0;
π
2
a π radianti) il seno decresce
da 1 a 0 ed il coseno decresce da 0 a - 1 ;
• sen 180◦ = sen π= 0, cos 180◦ = cos π = - 1;
• al crescere di α da 180◦ a 270◦ (cioè da π a 32 π radianti) il seno decresce
da 0 a -1 mentre il coseno cresce da - 1 a 0;
• sen 270◦ = sen 32 π = - 1, cos 270◦ = cos 32 π = 0;
• al crescere di α da da 270◦ a 360◦ idoè da
3
2π
a 2π radianti il seno
cresce da - 1 a 0 ed il coseno decresce da 0 a 1;
• sen 360◦ = sen 2π = 0, cos 360◦ = cos 2π = 1;
• al crescere di α oltre i 360◦ (cioè oltre 2π radianti) la semiretta r ritorna
ad assumere, ogni giro, le medesime posizioni assunte nel primo giro;
ne consegue che il seno ed il coseno di α riprendono periodicamente gli
stessi valori corrispondenti all’intervallo 0◦ ≤ α ≤ 360◦ ; diremo quindi
che il seno ed il coseno sono funzioni periodiche di periodo 360◦ (o 2
π radianti), e scriveremo:
sen(α + k360◦ ) = sen(α + 2kπ) = senα,
cos(α + k360◦ ) = cos(α + 2kπ) = cosα,
dove k è un qualunque numero intero, positivo, negativo o nullo;
• il seno ed il coseno assumono, al variare dell’angolo α, tutti e soli i
valori reali compresi tra - 1 e 1; per senα e cosα valgono dunque le
condizioni:
−1 ≤ sinα ≤ 1,
−1 ≤ cosα ≤ 1
10
Figura 10: Andamento del seno
Nelle figure 10 e 11 sono graficamente rappresentate nel piano cartesiano
le due funzioni y = sen x e y = cos x. I due grafici sono stati ottenuti riportando sull’asse delle ascisse alcuni valori dell’angolo x, espresso in radianti, e
sull’asse delle ordinate i corrispondenti valori del seno e del coseno, dedotti
da un cerchio goniometrico. Alla prima curva si da il nome di sinusoide, alla
seconda di cosinusoide.
Figura 11: Andamento del coseno
Variazione della tangente e della cotangente
Dalla figura 12, nella quale r rappresenta ancora una semiretta che ruota attorno all’origine O, mentre r’ è la semiretta opposta, si deducono le
seguenti proprietà della tangente:
• tg 0◦ = tg 0 = 0;
• al crescere di α da 0◦ a 90◦ (cioè da 0 a
π
2
radianti) il punto T si
allontana sempre più da A verso l’alto e per α = 90◦ la semiretta r
11
Figura 12: Variazione della tangente
e la retta a vengono ad essere tra loro parallele; ne consegue che al
crescere di α da 0◦ a 90◦ la tangente cresce, senza nessuna limitazione,
tendendo a +∞; indicheremo ciò scrivendo:
per α → 90◦
(con α < 90◦ )
• per α compreso tra 90◦ e 180◦ (cioè tra
π
2
tgα → +∞;
e π radianti) la semiretta r
non interseca la retta a; l’intersezione T di a con la semiretta r’ (opposta della r) è nel quarto quadrante; la tangente di α risulta pertanto
negativa e tanto più grande in valore assoluto quanto più α è prossimo
a 90◦ ; indicheremo ciò scrivendo:
per α− > 90◦
(con α > 90◦ )
tgα rightarrow − ∞
• tg 180◦ = tg π = 0;
• quando l’angolo α cresce da 180◦ a 270◦ (cioè da π a 32 π radianti) la
tangente risulta positiva e riprende i valori assunti per α compreso tra
0◦ e 90◦ ; analogamente, per α compreso tra 270◦ e 360◦ (cioè tra 23 π e
2π radianti) la tangente riprende i valori assunti tra 90◦ e 180◦ ; diremo
quindi che la tangente è una funzione periodica dı̀ periodo 180◦ (o π
radianti) e scriveremo:
tg(α + k 180◦ ) = tg(α + k π) = tgα
dove k è un qualunque numero intero, positivo, negativo o nullo;
12
• la tangente di un angolo orientato α, al variare dell’angolo può assumere qualunque valore reale; cioè varia, come suoi dirsi, da −∞ a
+∞.
Figura 13: Andamento della tangente
Nella figura 13 è graficamente rappresentata, nel piano cartesiano, la
funzione y = tgx. Questa curva viene detta tangentoide.
Lo studio della variazione della cotangente di un angolo orientato α è
del tutto analogo a quello fatto per la tangente. Nella figura 14 è riportata
la cotangentoide, rappresentazione grafica della funzione y = ctgx.
Figura 14: Andamento della cotangente
13
Relazioni tra le funzioni goniometriche di uno stesso angolo (o
arco)
Tra le funzioni goniometriche seno, coseno, tangente e cotangente di uno
stesso angolo α sussistono le relazioni:
senα
= tgα
cosα
cosα
= ctgα
senα
ctgα =
1
tgα
Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo PHO della
figura 15 si può dedurre quest’altra relazione:
sen2 α + cos2 α = 1
(1)
secondo la quale la somma dei quadrati del seno e del coseno di uno stesso angolo è ugnale ad 1. A questa identità si da il nome di relazione
fondamentale della goniometria.
Figura 15: .
Dalla relazione fondamentale della goniometria si può ricavare il seno di
un angolo, noto il suo coseno, e viceversa:
p
p
sen α = ± 1 − cos2 α,
cos α = ± 1 − sen2 α
Il doppio segno deriva dal fatto che il seno ed il coseno di un angolo a
assumono valori positivi o negativi a seconda del quadrante nel quale giace
la semiretta r, secondo lato dell’angolo.
14
Esempi
2
3,
1. Sapendo che 0◦ < α <90◦ e che sen α =
determinare il valore di
cos α e di tg α.
Essendo 0◦ < α < 90◦ , e quindi cos α > 0, avremo
r
p
cos α = + 1 −
sen2 α
e pertanto:
senα
tg α =
=
cosα
2
√3
5
3
=
1−
4
=
9
√
2
2 5
=√ =
5
5
2. Sapendo che 32 π < α < 2π e che cos α =
3
5
, determinare sen α, tg α e
ctg α.
Per
3
2π
< α < 2π è sen α < 0; quindi:
p
sen α = − 1 −
tg α =
r
cos2 α
4
senα
=− ,
cosα
3
=− 1−
9
4
=−
25
5
ctg α =
1
3
=−
tg α
4
Dalla relazione fondamentale della goniometria e dalle altre relazioni
precedentemente riportate si possono ricavare delle formule mediante le
quali, noto il valore di una delle funzioni goniometriche e noto il quadrante
in cui giace la semiretta r, si calcolano i valori delle altre funzioni goniometriche elementari. Nella tabella di seguito riportata sono riunite tutte le
formule che danno i valori di tre funzioni goniometriche in funzione di una
quarta, supposta nota.
15
VALORI
NOTO
sen α
cos α
sen α
sen α
√
± 1 − sen2 α
cos α
√
± 1 − cos2 α
cos α
tg α
± √ tg α 2
ctg α
±√
tg α
sen α
± √1−sen
2α
√
±
1
1+tg 2 α
1+tg α
1
1+ctg 2 α
1−cos2 α
cos α
ctg α
±
√
1−sen2 α
sen α
cos α
± √1−cos
2α
±√
tg α
1
tg α
± √ ctg α 2
1
ctg α
ctg α
1+ctg α
Esempi
1. Esprimere in funzione di sen α, e poi semplificare, la seguente espressione goniometrica:
2cosec2 α −
dove cosec =
1
sen α .
3 + cos2 α
1 − cos2 α
Dalla definizione di cosecante e dalla relazione
fondamentale della goniometria si ottiene:
3 + 1 − sen2 α
sen2 α − 2
2
−
=
2
2
sen α
sen α
sen2 α
2. Esprimere in funzione di tg α, e poi semplificare, la seguente espressione:
Ã
!
2sen2 α
sen α
+ cos α .
cos α
Tenendo presenti le relazioni esaminate si ha:
sen α
2sen2 α + cos2 α
sen α
=
(1 + sen2 α) =
cos α
cos α
Ã
tg 2 α
= tg α 1 +
1 + tg 2 α
16
!
=
tg α(1 + 2tg 2 α)
1 + tg 2 α
Funzioni goniometriche di alcuni angoli (o archi) particolari
Servendoci delle definizioni date di seno, coseno, tangente e cotangente
di un angolo (o arco) orientato, vogliamo ora determinare il valore di queste
funzioni per gli angoli di 30◦ , 60◦ , 45◦ e 18◦ .
Per risolvere il problema che ci siamo proposti occorre tenere presenti
le relazioni che intercorrono tra i lati di un triangolo rettangolo avente gli
angoli acuti di 30◦ e 60◦ , tra i lati di un triangolo rettangolo isoscele e tra il
lato di un decagono regolare ed il raggio del cerchio ad esso circoscritto.
Figura 16: .
Nelle figure 16a) e 16b) sono rappresentati due angoli orientati, rispettivamente di 30◦ e 60◦ . In entrambe il triangolo rettangolo OPH è la metà
di un triangolo equilatero di lato OP = 1. Ne consegue che per l’angolo di
30◦ (o
π
6)
si ha:
√
π
3
cos30 = cos =
6
2
1
π
sen30 = sen = ,
6
2
◦
◦
√
π
sen30◦
3
tg30 = tg =
,
=
◦
6
cos30
3
◦
mentre per l’angolo di 60◦ (o
π
3)
π √
= 3
6
si ha:
√
π
3
,
sen60 = sen =
3
2
◦
tg60◦ = tg
ctg30◦ = ctg
π √
= 3,
3
π
1
=
3
2
√
π
3
ctg60◦ = ctg =
3
3
cos60◦ = cos
Nella figura 17 è rappresentato un angolo di 45◦ . Il triangolo rettangolo
isoscele OPH è in questo caso la metà di un quadrato di diagonale OP = 1.
17
Figura 17: .
Ne consegue che:
√
π
2
sen45 = sen =
,
4
2
√
π
2
cos45 = cos =
4
2
◦
tg45◦ = tg
◦
π
= 1,
4
ctg45◦ = ctg
π
=1
4
Ricapitolando:
FUNZIONI
ANGOLI (x)
sen x
cos x
tg x
ctg x
0 = 2π
0
1
0
+∞
π
6
1
2
√
√
3
3
√
3
2
2
1
1
3
2
1
2
√
3
√
3
3
π
2
1
0
+∞
0
π
0
−1
0
−∞
π
4
π
3
3
2
√
√
2
2
√
18
Interpretazione goniometrica del coefficiente angolare di una
retta
Nella figura 18 è tracciata una retta r passante per l’origine O del sistema
di riferimento e formante un angolo α con la direzione positiva dell’asse x.
Com’è noto l’equazione della retta è:
y = mx
dove m è una costante detta coefficiente angolare della retta stessa. Per ogni
punto P della retta è dunque:
yP
=m
xP
Figura 18: .
Ma essendo anche (per la definizione di tangente data nei paragrafi
precedenti):
yP
= tg α
xP
se ne deduce che:
m = tg α.
cioè che il coefficiente angolare di una retta è la tangente goniometrica dell’angolo che essa forma con la direzione positiva dell’asse x. Ne consegue
che una retta che forma con la direzione positiva dell’asse x un angolo, ad
esempio di 30◦ , ha per coefficiente angolare m =
y=
√
3
3 x;
60◦
√
3
3
e quindi per equazione
una retta che forma un angolo di
ha per coefficiente angolare
√
√
m = 3 e quindi per equazione y = 3x; e cosı̀ via.
19
FORMULE DI ADDIZIONE
Verranno fornite senza dimostrazione.
• formula di sottrazione per il coseno
cos(α − β) = cos α · cos β + sen α · sen β
(2)
π
Ex: Calcola il valore di cos 12
.
Poichè
π
π π
= − ,
12
4
6
applicando la formula (2) si ha:
µ
π
π π
cos = cos −
12
4 6
¶
√ √ √
√ √
π
π
π
π
2 3
2 1
2( 3 + 1)
= cos ·cos +sen ·sen =
·
+
· =
4
6
4
6
2 2
2 2
4
• formula di addizione per il coseno
cos(α + β) = cos α · cos β − sen α · sen β
(3)
5
Ex: Calcola il valore di cos 12
π.
Poichè
π π
5
π= + ,
12
4
6
applicando la formula (3)si ha:
µ
π π
5
cos π = cos +
12
4 6
¶
√ √ √
√ √
π
π
π
π
2 3
2 1
2( 3 − 1)
= cos ·cos −sen ·sen =
·
−
· =
4
6
4
6
2 2
2 2
4
• formula di addizione per il seno
sen(α + β) = sen α · cos β + cos α · sen β
(4)
• formula di sottrazione per il seno
sen(α − β) = sen α · cos β − cos α · sen β
Ex. Risolvi l’equazione
µ
sen
¶
π
− x = 2cos x
6
Applicando la formula (5)
µ ¶
µ ¶
π
π
sen
cos x − cos
sen x = 2cos x
6
6
20
(5)
√
1
3
cos x −
sen x = 2cos x
2
2
√
3sen x = −3cos x
Dividento tutto per cos x 6= 0 ⇒ x 6=
3
tg x = − √
3
⇒
π
2
tg x =
√
3
2
x= π
3
⇒
FORMULE DI DUPLICAZIONE
• Formula di duplicazione per il coseno
cos 2α = cos2 α − sen2 α
(6)
• Formula di duplicazione per il seno
sen 2α = 2senα · cos α
(7)
Ex. Risolvi l’equazione cos 2x + sen2 x = 1.
Per la (6) si ha
cos2 x − sen2 x + sen2 x = 1
cos2 x = 1
⇒
cos x = ±1
Ex. Verifica che
⇒
x=0
cos2α + 1
2
cos2 α =
FORMULE DI BISEZIONE
• Formula di bisezione per il coseno
α
cos
2
r
= ±
Ex. Verifica che
sen2 α =
1 + cos α
2
(8)
1 − cos2α
2
• Formula di bisezione per il seno
α
sen
2
r
= ±
Ex. Calcola il seno e il coseno di
q
π
sen =
8
2−
2
√
2
π
8.
⇒
21
1 − cos α
2
(9)
q
π
cos =
8
2+
2
√
2
Teoremi relativi al triangolo rettangolo
Nella figura 19 è rappresentato un triangolo rettangolo. Con A è indicato
il vertice dell’angolo retto, con B e C sono indicati gli altri due vertici; α, β, γ
sono gli angoli di vertici rispettivamente A, B, C ed a, b, e le misure dei lati
ad essi opposti.
Stabiliamo di seguire le convenzioni ora descritte per denominare, d’ora
in poi, gli elementi di ogni triangolo rettangolo (cioè le misure dei suoi lati
e dei suoi angoli).
Figura 19: .
Nella figura 20 è rappresentato il medesimo triangolo rettangolo della
figura precedente, riferito in questo caso ad un sistema di assi cartesiani
ortogonali avente l’origine in B, l’asse delle x nella direzione e nel verso del
segmento BA, orientato da B verso A. Il punto C giace nel primo quadrante
del suddetto sistema.
I valori delle funzioni goniometriche dell’angolo acuto β possono venir
determinati mediante le misure a, b, c. Per le definizioni date nel paragrafo
iniziale è infatti:
sen β =
b
,
a
cos β =
c
,
a
b
tg β = ,
c
c
ctg β = ,
b
Da queste relazioni di ricavano (nell’ordine) queste altre:
b = a · sen β,
c = a · cos β,
b = c · tg β,
22
c = b · ctg β,
Figura 20: .
Tenendo presente il significato convenzionale attribuito ad a, b, e e ad
α, β, γ le uguaglianze trovate possono venir generalizzate ed interpretate
come teoremi relativi al triangolo rettangolo. Enunciamo detti teoremi:
• in ogni triangolo rettangolo la misura di un cateto è uguale a quella
dell’ipotenusa moltiplicata per il seno dell’angolo opposto al cateto;
• in ogni triangolo rettangolo la misura di un cateto è uguale a quella
dell’ipotenusa moltiplicata per il coseno dell’angolo acuto adiacente al
cateto;
• in ogni triangolo rettangolo la misura di un cateto è uguale a quella
dell’altro cateto moltiplicata per la tangente dell’angolo opposto al
primo;
• in ogni triangolo rettangolo la misura di un cateto è uguale a quella dell’altro cateto moltiplicata per la cotangente dell’angolo acuto
adiacente al primo.
Di questi teoremi valgono ovviamente anche gli inversi. Dal primo, ad
esempio, possiamo trarre i due inversi:
• in ogni triangolo rettangolo la misura dell’ipotenusa è uguale al rapporto tra la misura un cateto ed il seno dell’angolo ad esso opposto;
• in ogni triangolo rettangolo il seno di un angolo acuto è uguale al
rapporto tra le misure del cateto opposto e dell’ipotenusa.
23
E cosı̀ via per gli altri.
Esempi
1. In un triangolo rettangolo le misure dei cateti sono: b = 14 cm e c = 48
cm. Risolvere il triangolo. (Risolvere un triangolo significa, noti
tre dei suoi elementi di cui almeno uno sia un lata, trovare
gli altri tre).
Per l’ipotenusa a si ha:
a=
p
b2 + c2 = 50cm.
Per l’angolo β si ha:
tgβ =
14
' 0, 29167.
48
Da apposite tavole, o mediante l’uso della calcolatrice tascabile, si
ricava:
β ' 16◦ 160
Ne consegue che:
γ = 90◦ − β ' 73◦ 440
2. In un triangolo rettangolo si ha: a = 40cm e β = 18◦ . Risolverlo.
Si ha:
√
√
5−1
cm = 10( 5 − 1)cm
b = a senβ = 40 ·
4
q
c = a · cosβ = 40 ·
√
q
√
10 + 2 5
cm = 10 10 + 2 5cm;
4
γ = 90◦ − 18◦ = 72◦ .
II teorema della corda ed il teorema dei seni
Teorema della corda: La misura di una corda di una circonferenza è
uguale al prodotto tra la misura del diametro ed il seno di uno qualunque
degli angoli alla circonferenza che esistono su uno dei due archi sottesi dalla
corda .
24
Figura 21: .
Nella figura 21 è rappresentata una circonferenza di raggio r e centro O
ed è tracciata una sua corda PQ.
d
I punti A e A’ appartengono rispettivamente all’arco P
Q maggiore e
d
b e PA
b Q sono suppleall’arco P
Q minore. Osserviamo che gli angoli PAQ
mentari (angoli opposti di un quadrilatreo inscritto in una circonferenza) e
pertanto hanno il medesimo seno. Tracciamo il diametro avente un estremo
b e PAQ
b
in Q e sia R il suo secondo estremo. Osserviamo che gli angoli PRQ
sono uguali (angoli alla circonferenza che insistono su uno stesso arco). Il
triangolo RPQ, essendo inscritto in una semicirconferenza, è rettangolo in
P e pertanto per il suo cateto PQ vale la relazione:
P Q = QR sen α = 2 r sen α.
Ma poiché è anche, come s’è detto:
sen(π − α) = sen α
si ha pure:
P Q = 2rsen(π − α)
e la tesi risulta dimostrata.
Mediante il teorema della corda si può dimostrare il teorema dei seni
(o di Eulero), che stabilisce una relazione tra gli elementi di un triangolo.
Questo afferma che in un triangolo qualunque è costante il rapporto tra la
misura di un lato ed il seno dell’angolo opposto; cioè che, indicati con A, B,
25
C i tre vertici di un triangolo, con α, β, γ i tre angoli corrispondenti con a,
b, c le misure dei lati rispettivamente opposti agli angoli di vertici A, B, C
(seguiremo d’ora in poi questa convenzione per indicare gli elementi di un
triangolo), si ha:
a
b
c
=
=
sen α
sen β
sen γ
Infatti, se consideriamo la circonferenza circoscritta al triangolo (fig. 22)
e applichiamo ad ogni lato il teorema della corda, otteniamo:
e quindi:
a = 2rsenα,
b = 2rsenβ,
c = 2rsenγ
a
= 2r,
sen α
b
= 2r,
sen β
c
= 2r
sen γ
Per la proprietà transitiva dell’uguaglianza si ha perciò:
a
b
c
=
=
sen α
sen β
sen γ
Figura 22: .
Esempio
In un triangolo è a = 20 cm, α = 25◦ , β = 80◦ . Determinare gli altri
elementi.
Per il teorema dei seni si ha l’uguaglianza:
b
a
=
sen α
sen β
26
dalla quale si ricava:
b=
asen β
sen α
Essendo:
sen β ' 0, 98481,
si ottiene:
b=
senα ' 0, 42262
20 · 0, 98481
cm ' 46, 60499cm
0, 42262
Essendo poi:
γ = 180◦ − (α + β) = 75◦
e
sen75◦ = 0, 96593
si ha anche:
c=
asen γ
20 · 0, 96593
'
cm ' 45, 71151cm
sen α
0, 42262
II teorema delle proiezioni ed il teorema del coseno
Teorema delle proiezioni:
In un qualunque triangolo la misura di
un lato è uguale alla somma dei prodotti di quelle degli altri due lati per il
coseno dell’angolo che ciascuno di questi forma con il primo; cioè che tra
gli elementi di un qualsiasi triangolo valgono ie relazioni:
a = b cos γ + c cosβ
b = a cos γ + c cosα
c = a cosβ + b cosα
Per dimostrarlo consideriamo la figura 23.
Nella prima l’altezza AH del triangolo ABC cade internamente al lato BC;
si ha pertanto:
a = BH + HC = c cosβ + b cosγ.
Nella seconda l’altezza AH cade esternamente al lato BC; in questo caso si
ha pertanto:
a = BH − CH = c cosβ − b cos(π − γ) = c cosβ + b cosγ.
Per il lato a vale dunque, in ogni caso, il teorema delle proiezioni; in modo
analogo si dimostra che vale anche per ciascuno degli altri lati.
27
Figura 23: .
Come immediata conseguenza del teorema delle proiezioni si ha il teorema del coseno (o di Carnot): In un triangolo qualsiasi, il quadralo della
misura di ogni lato è uguale alla somma dei quadrati delle misure degli altri due, diminuita del doppio prodotto delle misure di questi per il coseno
dell’angolo tra essi compreso; valgono cioè le relazioni:
a2 = b2 + c2 − 2bc cosα
b2 = a2 + c2 − 2ac cosβ
c2 = a2 + b2 − 2ab cosγ
Lo dimostriamo per un lato, ad esempio per a.
Consideriamo le tre uguaglianze che esprimono il teorema delle proiezioni
per ciascuno dei lati e, seguendo l’ordine nel quale sono state scritte, moltiplichiamo ambo i membri della prima per a, ambo i membri della seconda
per - b, ambo i membri della terza per - c:
a= ab cos γ + ac cosβ
−b2 = −ab cos γ − bc cosα
−c2 = −ac cosβ − bc cosα
Sommando membro a membro queste tre uguaglianze e riducendo i
termini simili, si ottiene:
a2 − b2 − c2 = −2bccosα
da cui si ricava:
a2 = b2 + c2 − 2bccosα
28
che è quanto volevamo dimostrare.
Osservazione: Il teorema di Pitagora può essere considerato un caso
particolare del teorema di Carnot.
Infatti, se α = 90◦ è cosα = 0 e pertanto, per il teorema di Carnot, si ha:
a2 = b2 + c2
che è appunto la relazione tra ipotenusa e cateti espressa dal teorema di
Pitagora.
Esempio
In un triangolo si ha: a=12cm, b=18cm, γ = 60◦ . Determinare la misura
c del terzo lato.
Dal teorema del coseno si ha:
q
c=
a2 + b2 − 2ab cosγ =
q
(144 + 324 − 216)cm2 ' 15, 87cm
29