Utilità Attesa
(Cap. 24 Hey)
Solito preambolo:
In Economia le scelte/decisioni vengono distinte in:
1. decisioni in situazioni di certezza
2. decisioni in situazioni di rischio
3. decisioni in situazioni di incertezza
Come nella precedente lezione, anche qui ci avventuriamo nella situazione
decisionale numero 2. Dunque si studia l’allocazione del portafoglio tra attività
rischiose (azioni, investimenti, lotterie, scommesse…) di un agente razionale,
utilitarisatico e informato.
L’utilità scontata ci aiuta a studiare i comportamenti tipo “cicala vs formica”.
L’utilità attesa ci aiuta a studiare i comportamenti tipo “prudente vs spericolato”
In ogni caso, si parla di noi.
Il rischio consta nella presenza di due o più stati del mondo che, ex ante, possono
realizzarsi con una nota e costante probabilità ma che, ex post, sono alternativi: se ne
realizza uno solo. Il rischio è appunto che potrebbe realizzarsi lo stato meno
favorevole.
A differenza della precedente lezione, dove si parlava di vincoli di bilancio e CI, qui
esplicitiamo meglio la funzione di utilità in condizioni di rischio.
Il modello dell’Utilità Attesa descrive le preferenze individuali sottostanti il
comportamento del consumatore razionale, informato e auto-interessato in condizioni
di rischio.
Alla pari del modello dell’Utilità Scontata questo modello
EMPIRICAMENTE
è,
entro
certi
limiti,
abbastanza
realistico
NORMATIVAMENTE è valido: se sei razionale, informato e auto-interessato
dovresti comportarti così.
Perché dovremmo comportarci così?
Le potenzialità normative del modello dell’Utilità Attesa possono essere comprese
illustrando l’Assioma di Indipendenza. La logica di fondo è:
se sei razionale semplicemente non puoi violare l’assioma di indipendenza.
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ESEMPIO: INDIPENDENZA => RAZIONALITA’
Supponiamo che C e D siano due combinazioni rischiose di consumo e che
l’individuo preferisca C a D.
Supponiamo anche che E è una terza combinazione rischiosa. Definiamo ora:
G la lotteria che ha per risultato C con probabilità p e E con probabilità (1-p)
H la lotteria che ha per risultato D con probabilità p ed E con probabilità (1-p)
L’Assioma di Indipendenza afferma che l’individuo:
preferirà la lotteria G alla lotteria H.
Perché?
Perché i possibili risultati di G sono C ed E, mentre
i possibili risultati di H sono D ed E.
Dato che il soggetto preferisce C a D, =>
egli preferirà G a H.
Il risultato descrive una situazione razionale cioè coerente:
l’agente preferisce G a H poiché
l’agente preferisce C a D
NB se non lo avete già fatto, ripassate gli assiomi sulle preferenze: sono essi che ci
portano a imporre certe funzioni di utilità e, di qui, la forma delle CI
Che succede se, invece, l’agente vìola l’Assioma di Indipendenza?
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ESEMPIO: NO INDIPENDENZA => NO RAZIONALITA’.
Assumiamo che p sia uguale a 0.5 e che G e H siano due lanci consecutivi della
stessa moneta:
se il risultato del lancio è “testa”, l’individuo ottiene
C se ha scelto il lancio della moneta G
D se ha scelto il lancio della moneta H;
se il risultato del lancio è “croce” l’individuo ottiene E in ogni caso.
In questo esempio controfattuale, l’agente NON soddisfa l’Assioma di Indipendenza
per cui, pur preferendo C a D, sceglie il lancio H.
Assumiamo che, ex post, il lancio H abbia per risultato “testa”. Dunque, l’individuo
ottiene D. Il problema è che egli avrebbe preferito ottenere C.
Infatti, se avesse scelto G, il risultato “testa” gli avrebbe consentito di ottenere C.
A questo punto, ovviamente, l’individuo vorrà cambiare la sua decisione.
Dunque, l’Assioma di Indipendenza corregge l’incoerenza del comportamento
individuale indicando, normativamente, come dovrebbe comportarsi un agente
razionale/coerente.
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Il Modello dell’Utilità Attesa
Il modello dell’Utilità Attesa studia le preferenze individuali in condizioni di rischio.
Come sappiamo rischio implica che l’individuo è chiamato a prendere una decisione
senza conoscere con certezza ex ante quale stato del mondo si verificherà ex post, ma
non c’è incertezza: l’agente conosce la lista dei possibili eventi, a ciascuno dei quali
associa una probabilità di realizzazione.
Per semplicità, assumiamo che i possibili stati del mondo siano solo due, gli stati del
mondo 1 e 2, con probabilità di realizzazione π1 e π2.
Chiamiamo
c1 il reddito/consumo contingente allo stato del mondo 1
c2 il reddito/consumo contingente allo stato del mondo 2.
NB
Come nella lezione precedente, in questa economia semplificata si ipotizza che
l’agente consuma tutto il reddito. Dunque reddito e consumo sono termini
intercambiabili per cui c1 può anche essere visto come il reddito contingente allo
stato del mondo 1. Conosciamo già il significato di contingente=condizionale.
L’individuo è chiamato a scegliere ex ante tra varie combinazioni rischiose (c1, c2).
Ex post egli ottiene c1 o, alternativamente, c2 a seconda del mondo che si verifica.
Come descrivere le preferenze ex ante relativamente alle combinazioni di consumo
rischiose (c1, c2)?
Il modello dell’Utilità Attesa lo spiega e viene specificato nel seguente modo:
U(c1, c2) = π1 u(c1) + π2 u(c2)
E’ facile capire perché si parla di utilità attesa. Ricordate la definizione di valore
atteso? Ve la riporto:
Se la variabile X assume valori x1 e x2 con probabilità pari rispettivamente a π1 e π2,
il valore atteso di X è definito come segue:
Valore atteso di X = π1 x1 + π2 x2 = media ponderata con le probabilità.
Torniamo a noi.
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I valori delle probabilità π1 e π2 sono noti al consumatore, per cui l’unico elemento
da specificare nell’espressione è la funzione di utilità u(.).
Essa è conosciuta come funzione di utilità di Von Neumann-Morgenstern (UVM).
La funzione u(.) informa, al solito, sul livello di utilità associato al reddito/consumo.
Nota la forma funzionale di u(.), l’interpretazione dell’espressione
U(c1, c2) = π1 u(c1) + π2 u(c2)
è chiara:
lo stato del mondo 1 si realizza con probabilità π1, l’individuo consuma c1 e ottiene
un’utilità pari a u(c1);
lo stato del mondo 2 si realizza con probabilità π2, l’individuo consuma c2 e ottiene
un’utilità pari a u(c2).
Il lato destro dell’espressione (UVM) rappresenta l’utilità che l’individuo si aspetta
di ottenere ex ante (l’utilità attesa, appunto) dalla combinazione di consumo rischiosa
(c1, c2).
E’ ragionevole assumere che l’individuo scelga tra varie combinazioni rischiose sulla
base dei rispettivi valori di utilità attesa. Più in particolare egli, homo economicus à la
Bentham, sceglierà la combinazione alla quale è associata l’utilità attesa più elevata.
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Teorema dell’utilità attesa e relativi assiomi
L’analisi della scelta in condizioni di rischio assume che il sistema delle preferenze
sia razionale, cioè, non solo che il criterio di scelta sia rappresentabile con un sistema
regolare (ossia, completo e transitivo) di preferenza, ma anche che questo presenti
proprietà specifiche che lo qualificano come razionale.
Il teorema dell’Utilità Attesa si basa su alcuni Assiomi sul comportamento razionale
dell’individuo.
Von Neumann è un (grande) matematico: non sorprende il suo approccio assiomatico
Come anticipato, se questi Assiomi sono verificati si può concludere che il
comportamento individuale è razionale. Per noi è sufficiente definirli senza entrare
nei dettagli.
Assioma di Continuità
Consideriamo lotterie i cui esiti siano uno dei possibili payoff A1, A2,…, AI.
Se le preferenze dell’individuo sono tali da poter ordinare tutti i possibili payoff di
una lotteria, è possibile definire i payoff che l’individuo ritiene il peggiore e il
migliore.
NB. E’ importante distinguere tra ordinale e cardinale. In modo non rigoroso (un
matematico mi denuncerebbe), ma utile e adatto per i nostri scopi, osiamo dire che:
un numero può essere usato per due scopi differenti.
1) per descrivere la grandezza => numero cardinale,
2) per descrivere la posizione => numero ordinale.
Ammettiamo di poter ordinare i payoff di una lotteria in maniera tale che:
A1 sia il payoff migliore (il “preferito” dell’individuo)
AI sia il peggiore (il meno preferito dall’individuo).
Secondo l’Assioma di Continuità, per ogni payoff Ai esiste una probabilità, ui, per la
quale per l’individuo è indifferente scegliere
la certezza di ottenere Ai oppure
la combinazione rischiosa del payoff pari a ui A1 + (1 – ui)AI
L’Assioma di Dominanza stabilisce che,
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se ci sono due combinazioni rischiose che hanno solamente due possibili risultati:
il peggior payoff
il migliore payoff
allora
la combinazione rischiosa che associa la probabilità più alta al payoff migliore è da
preferirsi all’altra: la prima domina la seconda.
NB se la combinazione rischiosa associa la probabilità più alta al payoff migliore è
ovvio che essa associa la probabilità minore al payoff peggiore: le due probabilità
devono sommare a 1.
Assioma dell’Indipendenza (E’ il più importante)
Definiamolo in maniera leggermente diversa, ma equivalente, rispetto a quanto fatto
in precedenza.
Supponiamo due cose:
un individuo è indifferente tra le due combinazioni rischiose dette C e D;
esiste una terza combinazione rischiosa detta E.
In base all’Assioma di Indipendenza, l’individuo
deve preferire
la lotteria G che ha per risultato C con probabilità p e D con probabilità (1-p),
alla
lotteria H che ha per risultato D con probabilità p e E con probabilità (1- p).
Questo assioma è importante poiché è necessario alla derivazione del teorema
dell’Utilità Attesa che, però, a noi non interessa dimostrare ma solo enunciare:
Il teorema dell’Utilità Attesa (UA) stabilisce che
un soggetto razionale sceglie tra due combinazioni di consumo rischiose in base
all’utilità attesa (UA) delle due combinazioni:
una combinazione di consumo rischiosa caratterizzata da
un’UA maggiore deve essere preferita ad una combinazione con UA minore.
Tranne per il fatto che le scelte qui sono “rischiose”, la razionalità di scelta è la solita.
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Inclinazione delle curve di indifferenza nel modello dell’Utilità Attesa.
Una generica curva di indifferenza (CI) nello spazio dei punti (c1, c2) è definita dalla
seguente equazione (pari ad una costante poiché è CI => U=costante):
U(c1, c2) = costante
Sostituendo la formula già vista che riporto
U(c1, c2) = π1 u(c1) + π2 u(c2)
in questa espressione, otteniamo:
π1 u(c1) + π2 u(c2) = costante
Seguendo la forma usata nel libro di Hey e i soliti calcoli differenziali già visti, si
ottiene l’espressione dell’inclinazione delle curve di indifferenza:
- π1 du(c1)/dc1[ π2 du(c2)/dc2]
dove du(c)/dc rappresenta la derivata prima di u(c) rispetto a c, ovvero l’inclinazione
della funzione di utilità u(c).
Insomma, niente di nuovo: anche l’UA prevede CI con inclinazione negativa.
Se, poi, u è concava, per punti sempre più in basso lungo ogni CI:
c1 aumenta
c2 diminuisce
du(c1)/dc1 decresce
du(c2)/dc2 aumenta
l’inclinazione dc2/dc1 diminuisce (in valore assoluto).
Anche qui niente di nuovo. Facendo seguito alle considerazioni delle lezioni
precedenti, possiamo ripetere che:
se u
è concava, lineare o convessa
le CI sono convesse, lineari o concave [nello spazio (c1, c2)].
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Ribadendo quanto detto nella precedente lezione, e c1 = c2, l’inclinazione delle curve
di indifferenza diventa pari a - π1/ π2.
Chiamiamo la retta definita da c1 = c2 “linea della certezza” e concludiamo quanto
segue:
Nel modello dell’Utilità Attesa,
l’inclinazione delle CI lungo la linea della certezza è pari a - π1/ π2.
Ma, allora, che c’è di nuovo? Vi accontento subito:
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Utilità, non Reddito atteso
Analizziamo il comportamento di un soggetto con una funzione di utilità u concava
come quella rappresentata nella figura presa dal libro di testo di Hey:
La forma funzionale della funzione di utilità rappresentata in figura è
u(c)=(1 – e-0.03c) / (1 – e-3.3),
Essa è un esempio della tipologia più generale di funzione di utilità di avversione
assoluta al rischio costante (CARA=constant absolute risk averse) di cui ci
occuperemo in seguito.
Supponiamo che all’individuo venga offerto di partecipare ad una lotteria in base alla
quale egli riceve, alternativamente
un reddito di 30 con probabilità 0.5
un reddito di 70 con probabilità 0.5.
Come si comporta l’individuo?
Il reddito atteso della combinazione rischiosa (30,70) è pari a 50 (= media ponderata
di 30 e 70 con pesi 0.5).
Ma - e qui è il punto cruciale! - se le preferenze dell’individuo sono quelle descritte
dal modello dell’Utilità Attesa allora
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la sua valutazione si basa sull’utilità attesa della lotteria,
NON sul reddito atteso della lotteria.
Qual è, dunque, l’utilità attesa?
Dato che conosciamo la forma della funzione di utilità, è possibile calcolare l’utilità
attesa associata alla scelta rischiosa (30, 70).
Consumare 30 implica un’utilità di circa 0.616,
Consumare 70 implica un’utilità di circa 0.912.
NB calcolo in excel:
0.616~(1-EXP(-0.03*30))/(1-EXP(-3.3))
Dato che entrambi i livelli di utilità, 0.616 e 0.912, si ottengono con una probabilità
di 0.5, l’utilità attesa è pari a ½ 0.616 + ½ 0.912 = 0.764.
Ricordo: U(c1, c2) = π1 u(c1) + π2 u(c2)
Le tre rette orizzontali disegnate nella figura 24.1 ci quantificano l’utilità e vanno
interpretate come segue.
La combinazione “consumo-utilità” più vicina all’asse delle ascisse si riferisce
all’utilità di un consumo pari a 30, la più alta delle tre rette all’utilità che si trae
consumando 70. I conti “visivi” tornano: 0.616 e 0.912.
La combinazione “consumo-utilità” in rosso rappresenta l’utilità attesa. Osservate che
l’utilità attesa si colloca perfettamente al centro dei livelli di utilità associati ai due
stati del mondo alternativi perché abbiamo assunto stati del mondo equiprobabili.
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Equivalente certo (ce, certainty equivalent)
L’equivalente certo di una combinazione rischiosa di reddito/consumo è concetto
molto importante.
Si definisce equivalente certo di una combinazione rischiosa di reddito/consumo
l’ammontare di moneta, ricevuto con certezza (i.e. senza rischio), che l’individuo
considera equivalente alla combinazione rischiosa di reddito/consumo.
Nell’ambito del modello dell’Utilità Attesa,
l’ammontare di moneta che l’individuo considera equivalente
alla combinazione rischiosa di reddito/consumo
è quella che restituisce l’utilità attesa della combinazione rischiosa stessa.
Insomma, per calcolare l’utilità di una somma di denaro la si deve inserire nella
funzione di utilità (qui di tipo VNM).
Concetto identico, descrizione alternativa
L’equivalente certo (ce) è quella somma di denaro che, inserita nella funzione di
utilità, dà un’utilità [(U(ce)] pari all’utilità attesa del reddito incerto (UA):
U(ce) = UA.
NB Come studiato nella lezione sulle scelte rischiose,
reddito ATTESO = reddito CERTO.
Infatti il reddito atteso si ottiene INDIPENDENTEMENTE dal mondo che si
realizza. Qui, indipendentemente vuol dire “senza rischio”, cioè certo.
Altre tre note:
1) Se aumenta la distanza dal reddito atteso, allora aumenta la rischiosità.
2) Il reddito atteso è un valore OGGETTIVO: è il calcolo matematico di una
media che deve dare lo stesso identico risultato per chiunque lo faccia.
3) L’equivalente certo (ce) è un valore SOGGETTIVO: l’avverso al rischio
“calcolerà psicologicamente” un ce diverso da un amante del rischio.
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Nel nostro esempio, l’equivalente certo della scelta rischiosa di guadagnare 30 o 70
con la stessa probabilità, è dato dalla seguente espressione:
u(ce) = ½u(30) + ½u(70) = 0.764
Dalla figura 24.1 risulta che ce è una somma pari a 44.5 (l’utilità di consumare 44.5
unità del bene è pari a 0.764 e viceversa). Fate, come esercizio, il calcolo analitico.
Avete la funzione di utilità: esplicitatela rispetto alla somma=reddito=consumo.
Notate che l’equivalente certo (44.5) è inferiore al valore atteso (=>certo) della
combinazione rischiosa (50) (la linea rossa è a sinistra di quella verticale più larga).
Ora è ovvio che, tra 44.5 con certezza e 50 con certezza (assicurandosi scambiando
un’opportunità di 70 vs un rischio di 30) l’agente preferisca (gli dà maggiore utilità)
50 piuttosto che prendere parte alla lotteria che gli dà un ce di 44.5.
Ma perché ce risulta minore del valore atteso della lotteria?
La risposta è nella forma della funzione di utilità (max utilità, NON max consumo).
Qui stiamo analizzando:
a) una combinazione rischiosa che è una combinazione lineare, i.e. una retta
b) una funzione di utilità concava =>
c) una funzione che, per definizione, è curvata in modo tale che una retta che unisce
due suoi punti ne è sempre al di sotto =>
d) la retta (=comb. rischiosa) è sempre al di sotto della funzione di utilità =>
e) l'UA del reddito atteso è sempre maggiore dell'UA connessa al ce.
Ecco perché un soggetto avverso al rischio ha una funzione di utilità concava:
è avverso dunque, anche se “equivalenti”, preferisce il certo al rischio => dà un
peso negativo, in termini di utilità, al rischio (ovvero dà un peso positivo, in termini
di utilità, alla sicurezza).
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ESEMPIO
Tizio ha una funzione di utilità (concava) u=1000x1/2 (x è il reddito).
Egli può effettuare un investimento/lotteria…che produce un reddito netto pari a
60 con probabilità ½ e pari a
400 con probabilità ½.
=> Reddito atteso=230 (=½ 60+½ 400)
L’equivalente certo (ce) è la somma di denaro che dà a Tizio un’utilità [(U(ce)] pari
all’utilità attesa del reddito incerto (UA): U(ce) = UA.
Cominciamo quindi col calcolare l’UA:
UA = ½[1000(60)1/2] + ½[1000(400)1/2] = 3.872,5 + 10.000 = 13.872,5
Trovata l’UA, ricaviamo l’equivalente certo: qual è quella somma (=ce) che inserita
nella funzione di utilità mi dà UA=13.872,5?
U(ce) = 1000(ce)1/2 = UA = 13.872,5
(ce)1/2 = 13.872,5/1000
ce = (13,8725)2 = 192,44
Dunque:
equivalente certo della lotteria=192,44
reddito atteso (certo)=230
Sono avverso e, psicologicamente,
la sicurezza mi dà più utilità di una lotteria “equivalentemente certa” =>
la mia funzione di utilità è concava. In questo esempio è la radice quadrata.
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Quantifichiamo la paura/prudenza. Il premio per il rischio (PR)
Definiamo ora un altro concetto molto importante, il premio per il rischio:
Esso è la differenza tra l’equivalente certo (ce) della combinazione rischiosa di
reddito/consumo e il valore atteso (VA) associato alla stessa combinazione rischiosa
di reddito/consumo: PR=VA-ce.
Questa differenza è misurata dalla distanza indicata con un tratto orizzontale nella
figura 24.1, ovvero, la differenza tra 50 (il valore atteso della lotteria) e 44.5
(l’equivalente certo della lotteria), vale a dire 5.5.
Prima ci eravamo concentrati sulle rette orizzontali.
Osserviamo ora le rette verticali disegnate nella figura 24.1.
Le rette estreme sulla sinistra (30) e sulla destra (70) rappresentano i due possibili
risultati della lotteria in termini di consumo;
la retta in posizione centrale è il reddito atteso della lotteria (è perfettamente al centro
tra i due possibili risultati della lotteria perché questi sono egualmente probabili);
a sinistra del reddito atteso della lotteria troviamo la retta verticale (rossa) in
corrispondenza dell’equivalente certo.
Qual è il significato economico del premio per il rischio?
Esso rappresenta il massimo pagamento che l’individuo è disposto a sborsare per
ottenere un risultato certo dalla lotteria (ovvero, il valore atteso della lotteria).
In altri termini, forse ancora più chiari,
il PR misura quanto si è disposti a pagare per eliminare il rischio e avere certezze.
Il valore del PR dipende dal grado di concavità della funzione di utilità:
maggiore è la concavità della funzione di utilità, maggiore è il premio per il rischio.
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ESEMPIO (è quello di prima, ma ora calcoliamo il PR):
Tizio ha una funzione di utilità (concava) u=1000x1/2 (x è il reddito).
Egli può effettuare un investimento/lotteria…che produce un reddito netto pari a
60 con probabilità ½ e pari a
400 con probabilità ½.
Abbiamo già calcolato il ce=192.44.
Il Premio al Rischio (PR) può essere definito come la somma di denaro con cui
bisogna compensare un individuo per indurlo ad accettare il reddito incerto al posto
di quello certo. Ovvero il PR è:
la differenza tra il valore atteso di un reddito incerto, VA, e il suo ce.
Per cui:
PR = VA – ce
VA = ½(60) + ½(400) = 30 + 200 = 230
PR = 230 – 192,44 = 37,56
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Generalizziamo ora i risultati che abbiamo ottenuto per i concetti di equivalente certo
e premio per il rischio.
L’equivalente certo (ce) della combinazione rischiosa (c1, c2), date le probabilità π1 e
π2 di consumare rispettivamente c1 e c2, è il guadagno certo che l’individuo
considera equivalente alla combinazione rischiosa (c1, c2) ed è definito dalla
seguente espressione:
u(ce) = π1 u(c1) + π2 u(c2)
E’ importante ribadire che questa definizione implica che l’individuo è indifferente
tra ricevere ce con certezza e partecipare alla scelta rischiosa (c1, c2).
Ne consegue che:
se l’individuo dovesse scegliere tra un ammontare certo di moneta maggiore di ce e la
combinazione rischiosa, egli sceglierebbe l’ammontare certo di moneta.
se l’individuo dovesse scegliere tra un ammontare certo di moneta minore di ce e la
combinazione rischiosa, egli sceglierebbe la combinazione rischiosa.
Il premio per il rischio PR, è definito come segue:
PR = VA – ce = (π1c1 + π2c2) – ce
La differenza tra il reddito atteso della lotteria e l’equivalente certo della lotteria
stessa rappresenta il massimo pagamento che l’individuo è disposto ad elargire per
eliminare completamente il rischio e ottenere con certezza l’equivalente certo.
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PROPRIETA’ DI ALCUNE FUNZIONI DI UTILITA’ ATTESA
Prima di studiare le proprietà di alcuni tipi particolari di funzioni di utilità,
ricordiamo che la funzione di utilità che definisce l’insieme delle preferenze in
condizioni di rischio non è unica.
Infatti, si può dimostrare che se una data funzione di utilità descrive un insieme di
preferenze in condizioni di rischio, lo stesso insieme di preferenze può essere
descritto da qualsiasi trasformazione lineare della funzione di utilità stessa.
Ciò si deve al fatto che se la funzione v è la trasformazione lineare monotonicamente
crescente della funzione u, il valore atteso di v è pari alla trasformazione lineare del
valore atteso di u.
Ad esempio, se le preferenze sono descritte da u, le stesse preferenze possono essere
descritte dalla funzione di utilità v = a + bu, dove a e b sono due costanti.
Se il valore atteso di u rappresenta le preferenze, lo stesso è vero per il valore atteso
di v: se il valore atteso di u è maggiore per una data combinazione rischiosa di
reddito/consumo, lo stesso è vero per il valore atteso di v.
A questo punto dovrebbe essere chiaro che la scala della funzione di utilità è precisa,
ma arbitraria.
Precisa:
se qualcuno vi dice che ci sono 40 gradi di temperatura e che si tratta di gradi Celsius,
voi sapete precisamente che si tratta di un giorno particolarmente caldo.
Arbitraria:
fossero stati gradi Farheneit, il discorso sarebbe ben diverso (40°F~4°C).
Il punto qui è che se conosci la scala allora il numero diventa informativo.
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Approccio al rischio: avversione assoluta al rischio costante
Anzitutto una nota:
in inglese si dice: Constant Absolute Risk Aversion (CARA).
In italiano occorre fare attenzione: quando si dice “costante”, ci si riferisce
all’avversione, non al rischio.
La funzione di utilità con avversione assoluta costante al rischio (o, se volete,
avversione assoluta al rischio costante) è molto popolare e fornisce
un’approssimazione relativamente accettabile della realtà. Essa è definita dalla
seguente espressione generica (c è il solito reddito/consumo):
u(c) “proporzionale a” - exp(-rc)
Il parametro r è conosciuto come indice di avversione assoluta al rischio.
Se r è positivo,
la funzione di utilità CARA è concava e il
soggetto è avverso al rischio.
maggiore è r,
maggiore è il grado di concavità della funzione,
maggiore è l’avversione al rischio.
A cosa si deve la denominazione di questa funzione di utilità?
Risp.
Al fatto che il PR non dipende dal livello della combinazione rischiosa.
ESEMPIO.
La funzione di utilità disegnata nella figura 24.1
u(c)=(1 – e-0.03c) / (1 – e-3.3),
è del tipo CARA con r = 0.03.
In uno degli esempi precedenti, il soggetto era disposto a pagare un premio per il
rischio pari a 5.5 (=50-44.5) per la combinazione (30, 70) rischiosa al 50%.
Come si comporterebbe lo stesso individuo di fronte alla combinazione (5,45)
rischiosa al 50%?
Che premio per il rischio sarebbe disposto a pagare?
Nella figura 24.2 troviamo la risposta: 5.5
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Lo stesso premio per il rischio può essere calcolato per la combinazione (55,95)
rischiosa al 50% (ve lo lascio per esercizio).
Dunque abbiamo
tre diverse combinazioni rischiose: (30,70), (5, 45) e (55, 95)
con lo stesso premio al rischio (5.5).
Domanda: Perché lo stesso PR pur in combinazioni rischiose diverse?
Risp. Perché, nonostante esse abbiano diversi valori attesi (rispettivamente: 50, 25,
75), ad esse si associa lo stesso livello di rischiosità.
RISCHIOSITA'=DISTANZA DAL REDDITO ATTESO(=CERTO)
Il livello di rischiosità è lo stesso poiché lo scostamento dal valore atteso del reddito è
lo stesso, in questo caso sempre uguale a ±20.
Infatti, ad es. considerando (55, 95), il reddito atteso è 75 e si può verificare che
55=75-20;
95=75+20.
Data la stessa rischiosità delle tre scelte e la presenza di una funzione di utilità
CARA, il premio per il rischio resta invariato.
Invece, il premio per il rischio è crescente nel grado di concavità della funzione di
utilità, ossia nel valore del parametro r.
Questo incremento nel PR a seguito di incremento in r può essere osservato
graficamente confrontando due grafici.
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Nella figura 24.4 si vede il PR che un individuo con r = 0.5 sarebbe disposto a pagare
per la combinazione (30,70) rischiosa al 50%,
Nella (già vista) fig. 24.2 si vede il PR di un agente che, ceteris paribus, ha un r=0.03
(NB ascisse=consumo; ordinate UA).
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Approccio al rischio: Neutralità al rischio
La figura 24.6 (ascisse=consumo; ordinate UA) illustra un caso particolare:
la funzione di utilità u è lineare e
il premio per il rischio è nullo in quanto
l’equivalente certo di qualsiasi combinazione rischiosa di reddito/consumo
è uguale al rispettivo reddito/consumo atteso (VA).
La spiegazione grafica è che sia le combinazioni rischiose, sia l'utilità sono lineari:
non c'è modo per le prime di “essere al di sotto” della funzione di utilità. Ovvero, non
c'è modo di avere VA diverso da ce. E noi sappiamo che PR=VA-ce. Per cui PR=0.
La spiegazione psico-economica è che costui è neutrale al rischio:
perché dovrebbe (normativo) pagare per qualcosa che neanche considera?
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Approccio al rischio. Propensione assoluta al rischio costante
Ovvero: Quantifichiamo l’azzardo
La propensione assoluta al rischio costante (PARC) è definita dalla seguente
espressione:
u(c) “proporzionale a” exp(rc) =amante
(per memoria: u(c) “proporzionale a” - exp(-rc)
=avverso)
dove il parametro r definisce l’indice di propensione assoluta al rischio.
Se r è positivo,
la funzione di utilità (PARC) è convessa e
il soggetto è propenso al rischio.
maggiore il valore assunto da r,
maggiore è il grado di convessità della funzione (PARC) e
più elevata è la propensione al rischio.
Calcoliamo l’equivalente certo e il PR per una data combinazione rischiosa.
Per un soggetto amante del rischio, l’equivalente certo è maggiore del valore atteso
del beneficio associato alla stessa combinazione rischiosa, come messo in evidenza
dalla figura 24.8 per r=0.03.
L’equivalente certo della combinazione (30, 70) rischiosa al 50% è pari a 53.5 (>50).
Il premio per il rischio nel caso di un soggetto propenso al rischio può essere definito
come:
il pagamento minimo che il soggetto è disposto a sborsare per prendere parte alla
scelta rischiosa (nb. costui PAGA per fare bungee jumping! E voi?).
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Quando la funzione di utilità diventa più convessa,
l’individuo diventa più propenso al rischio e
il premio per il rischio aumenta:
Cosa non pagherebbe costui pur di prendere parte alla lotteria, pur di avere una
scarica di adrenalina, ecc...!!!
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Approccio al rischio: Avversione e propensione relativa al rischio costante.
L’evidenza empirica suggerisce che per alcuni soggetti il premio per rischio dipende
dal valore atteso del reddito/consumo:
il PR aumenta al crescere del valore atteso della combinazione rischiosa.
Evidentemente, la funzione di utilità CARA non è appropriata per questi agenti.
Più adatta a descrivere le preferenze è la cosiddetta funzione di utilità con avversione
relativa al rischio (CRRA), definita come segue:
u(c) “proporzionale a” c1-r (CRRA)
Come in precedenza, il parametro r rappresenta il livello di propensione o avversione
al rischio.
Se r = 0,
u è lineare e
il soggetto è neutrale al rischio.
Se 0 < r < 1,
u è concava (c è elevato ad un esponente compreso tra 0 e 1) e
il soggetto è avverso al rischio.
Inoltre,
più il valore assunto da r si avvicina a 0,
più u è concava e
maggiore è l’avversione al rischio del soggetto.
Se r<0
u è convessa (c è elevato ad un esponente maggiore di 1) e
il soggetto è propenso al rischio.
Inoltre,
tanto più r è negativo,
quanto più il soggetto è propenso al rischio.
Illustriamo un’importante proprietà di questa funzione di utilità.
Chiamiamo (x, y) la combinazione rischiosa che paga x con probabilità ½ e y con
probabilità ½.
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In presenza di una funzione di utilità con avversione relativa al rischio,
il premio per il rischio associato a (5, 45) è minore
del premio per il rischio associato a (30, 70) che, a sua volta, è minore
del premio per il rischio associato a (55, 95).
(sono le stesse lotterie viste analizzate nell'ipotesi CARA)
Più in generale, nel senso che usiamo due generici valori a e b possiamo dire che,
mantenendo costante b, il premio per il rischio della combinazione rischiosa (a-b,
a+b) diminuisce al crescere di a. (fate delle prove come esercizio).
IN CHE SENSO AVVERSIONE RELATIVA?
Il livello di avversione è relativo alla scala.
Infatti il premio per il rischio di (s(a-b), s(a+b)) è proporzionale alla scala di s.
ESEMPIO
il premio per il rischio associato a (15, 35)
è doppio rispetto a quello associato a (30, 70)
e triplo rispetto a quello associato a (45, 105).
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Scelta ottima nel modello dell’utilità attesa
Abbiamo dunque agenti che PSICOLOGICAMENTE vivono/percepiscono il rischio
in modo diverso.
Usando il modello dell'UA:
Come scelgono?
Come sono diverse le loro decisioni ?
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L’AVVERSO AL RISCHIO
Nell’esempio che segue, i due stati del mondo sono egualmente probabili e il
soggetto si trova inizialmente nel punto di autarchia (30, 50):
senza assicurazione egli guadagna un reddito/consumo
di 30 se si verifica lo stato del mondo 1 e
di 50 se si verifica lo stato del mondo 2.
Supponiamo che l’individuo abbia il tipo di preferenze previste dal modello
dell’Utilità Attesa e ipotizziamo una funzione di utilità con avversione assoluta al
rischio costante. Inoltre, poniamo r = 0.03.
Le CI sono disegnate nello spazio dei punti (c1, c2) nella figura 24.12.
La figura contiene il vincolo di bilancio caratteristico di un mercato delle
assicurazioni equo (per cui: p1=1; p2=2).
I prezzi dei due stati del mondo sono dunque entrambi pari a ½ e l’inclinazione del
vincolo di bilancio è uguale a -1 (=-p1/p2)
Questo agente ha CI tutte inclinate a -1=-45° lungo la linea della certezza.
Perciò, la scelta ottima si colloca lungo la linea della certezza nel punto (40, 40):
l’individuo
compra 10 unità di reddito contingente allo stato del mondo 1
vende 10 unità di reddito contingente allo stato del mondo 2,
ottenendo 40 unità di reddito/consumo qualunque stato del mondo si realizzi.
Dato che è particolarmente avverso al rischio, non sorprende che l’individuo
preferisce assicurarsi completamente contro il rischio (30) vendendo l'opportunità
(50).
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Questa conclusione è valida a prescindere dal fatto che i mondi siano equiprobabili.
Anzi, se il mercato assicurativo è equo vale per qualunque coppia di valori (1; 2).
Infatti, l’inclinazione di ogni CI lungo la linea della certezza è pari a -π1/π2 che, se il
gioco è equo, è proprio pari all'inclinazione del vincolo di bilancio.
Ad esempio, se assumiamo π1 = 0.4 e π2 = 0.6, otteniamo la figura 24.13.
Cambia il vincolo di bilancio (ora è meno inclinato e c2 non può più arrivare a 80
come faceva prima), ma l'asterisco che indica l'ottima scelta è sempre sulla linea della
certezza.
Nulla da dire come logica. Costui è avverso, quindi se gli si offre un'assicurazione
equa egli non ha dubbi: a prescindere dai valori 1 e 2, si assicura totalmente, cioè
rimane sulla linea della certezza (ricordate che nella lezione sulle scelte rischiose
avevamo fatto calcoli in mercati non equi?).
E' un cliente facile per gli assicuratori. Un broker finanziario, invece, gli può vendere
solo titoli tipo “sonni tranquilli” (ammesso che non usi il classico materasso: fidarsi è
bene, ma...).
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L’INDIFFERENTE AL RISCHIO
Questo agente ha curve di indifferenza lineari e parallele con inclinazione -π1/π2,
ovvero, lo stesso valore dell’inclinazione del vincolo di bilancio in un mercato delle
assicurazioni equo.
La figura 24.14 si riferisce al caso di stati del mondo egualmente probabili.
Il vincolo di bilancio si sovrappone (diciamo che ha una “tangenza continua”) a una
delle curve di indifferenza e il soggetto è indifferente tra tutti i punti appartenenti al
vincolo di bilancio stesso.
Cioè, se gli viene offerta un’assicurazione equa che modifica solo la rischiosità della
combinazione, ma non il valore atteso del reddito/consumo, il soggetto neutrale al
rischio rimane indifferente perché, appunto, egli è indifferente nei confronti del
rischio.
Insomma, per fargli cambiare decisione necessita agire su elementi che costui tiene in
considerazione come il valore atteso. Non è un cliente facile.
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L’AMANTE DEL RISCHIO
Questo agente ha curve di indifferenza concave e, nel caso di stati del mondo
ugualmente probabili, otteniamo la seguente figura:
La scelta ottima (la solita massimizzazione vincolata è indicata in figura dagli
asterischi) si colloca nei punti estremi (80, 0) o (0, 80).
L’agente scommette alternativamente sulla realizzazione degli stati del mondo 1 o 2.
E’ interessante notare che questo agente usa le assicurazioni in maniera opposta al
comune senso di “assicurazione”:
Costui usa le assicurazioni per poter partecipare ad una scelta ancora più rischiosa di
quella disponibile senza assicurazione.
E’ davvero un amante del rischio e seleziona rapporti guadagno/rischio con alti valori
di entrambi.
Dato che pur di guadagnare molto è disposto a rischiare molto, è il cliente ideale di
che vende asset molto speculativi (leverage...). E' più dura vendergli “serenità”...
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