PROGRAMMA DI ANALISI MATEMATICA I
a.a. 2003-04
Nozioni di base. (cap.1)
Insiemi. Elementi di logica matematica. Insiemi numerici. Estremo superiore e inferiore. Massimi e
minimi. Insiemi limitati. Prodotto cartesiano.
Funzioni (cap.2)
Funzioni, immagine e controimmagine. Funzioni iniettive e suriettive, funzioni inverse. Funzioni
monotone. Funzioni composte. Traslazioni, ecc. Funzioni elementari e loro proprietà. (tutto il capitolo
2)
Limiti e continuità I (cap.3)
Intorni. Punti di accumulazione. Limiti di funzioni e di successioni. Continuità. Limite destro e limite
sinistro. Punti di discontinuità e loro classificazione. Limiti di funzioni monotone.
Limiti e continuità II (cap.4)
Teoremi sui limiti: teorema di unicità del limite (*), teorema della permanenza del segno (*) e sue
conseguenze (*). Teoremi del confronto (*). Algebra dei limiti (fra cui il limite della somma (*)) e
forme di indeterminazione. Teorema di sostituzione (*). Forme indeterminate di tipo esponenziale.
Proprietà globali delle funzioni continue (teorema di esistenza degli zeri, teorema di Weierstrass,
teorema dei valori intermedi, continuità della funzione inversa).
Confronto locale di funzioni (cap. 5)
Simboli di Landau. Ordine di infinito e ordine di infinitesimo. Infiniti e infinitesimi campione. Parte
principale. Asintoti. (par. 5.1, 5.2, 5.3)
Calcolo differenziale (cap. 6)
Definizione di derivata e suo significato geometrico. Derivate di funzioni elementari. Regole di
derivazione. Derivazione del prodotto di funzioni (*). Punti di non derivabilità.
Punti di estremo e punti critici. Teorema di Fermat (*). Teorema di Rolle (*) e Teorema di Lagrange
(*). Prima e seconda formula dell’incremento finito (*). Conseguenze del Teorema di Lagrange (*).
Legami fra monotonia e derivate di una funzione (*). Intervalli di monotonia.
Derivate di ordine superiore. Teorema di de l’Hopital e sue applicazioni (Teorema “del Tappabuchi”
(*), cioè Teorema 6.15). Convessità di una funzione. Punti di flesso. Studi di funzione.
Formule di Taylor e applicazioni (cap. 7)
Le formule di Taylor con il resto di Cauchy e il resto di Lagrange. Sviluppi di Taylor notevoli.
Operazioni sugli sviluppi di Taylor. Utilizzo degli sviluppi di Taylor nello studio locale di una
funzione. Legami fra derivata seconda e convessità (*).
Su tutti gli argomenti indicati lo studente deve essere in grado di riferire in sede di orale. Deve
inoltre essere in grado di svolgere esercizi su tutte le parti indicate. In particolare deve essere in
grado di studiare una funzione, di calcolare un limite utilizzando le tecniche viste, di calcolare
formule di Taylor e di utilizzarle per il calcolo di parti principali e ordini di infinitesimo.
====================================================================
(*) Di tutti i teoremi indicati con (*) deve essere nota anche la dimostrazione.
Tutti i riferimenti sono al libro :
C.Canuto - A.Tabacco, Analisi Matematica I, Springer, Milano 2003.
====================================================================
