Quesiti sui teoremi di Rolle e di Lagrange

Verso la prova di Matematica all’esame di Stato
Quesiti sui teoremi di Rolle e di Lagrange
Liceo Scientifico tradizionale
1. Quesito 7, a.s. 2008/09, sessione straordinaria
Si consideri la funzione:
f (x) =
(
x3 + 1
−x2 + 13
per 0 ≤ x ≤ 2
per 2 < x ≤ 3
.
È applicabile ad essa, nell’intervallo chiuso [0,3], il teorema di Lagrange?
2. Quesito 4, a.s. 2008/09, sessione suppletiva
Si enunci il teorema di Rolle e si mostri, con opportuni esempi, che se una qualsiasi
delle tre condizioni previste non è soddisfatta, il teorema non è più valido.
3. Quesito 4, a.s. 2006/07, sessione suppletiva
Si provi che per la funzione f (x) = x3 − 8, nell’intervallo 0 ≤ x ≤ 2, sono verificate
le condizioni di validità del teorema di Lagrange e si trovi il punto in cui si verifica
la tesi del teorema stesso.
4. Quesito 5, a.s. 2006/07, sessione ordinaria
Si mostri che la funzione f (x) = x3 + 8 soddisfa le ipotesi del teorema del valor
medio (o teorema di Lagrange) sull’intervallo [-2,2]. Si determinino i valori medi
forniti dal Teorema e se ne illustri il significato geometrico.
5. Quesito 7, a.s. 2005/06, sessione ordinaria
La funzione f (x) = x3 − 2x2 soddisfa le condizioni del teorema di Lagrange nelf (b) − f (a)
l’intervallo [0,1]? Se sı̀, trova il punto ζ che compare nella formula
=
b−a
f ′ (ζ).