Dipartimento di Matematica Pura ed Applicata G. Vitali
Programma di Analisi Matematica II svolto nell'A. A. 2010/11
Corsi di laurea in Ingegneria Elettronica ed Informatica
Funzioni di due (o tre) variabili. Elementi di topologia nel piano, limiti e
continuitµa per funzioni di due variabili, limiti direzionali. Proprietµa fondamentali
delle funzioni continue, i teoremi di Weierstrass e dei valori intermedi. Derivate
direzionali e parziali, di®erenziabilitµa e proprietµa collegate, piano tangente al gra¯co
di una funzione, regola della catena (*) - retta tangente ad una curva di livello punti di estremo liberi: la condizione necessaria di stazionarietµa (*) - punti di
estremo vincolato - cenni sul teorema della funzione implicita - il teorema della
stazionarietµa vincolata (*) - derivate parziali del II ordine, teorema di Schwartz,
formula di Taylor del II ordine - classi¯cazione dei punti stazionari: il teorema
del determinante hessiano (*: parziale) - cenni sul calcolo di®erenziale di ordine
superiore al secondo e sulle funzioni di tre variabili.
Calcolo integrale per funzioni di due e tre variabili. De¯nizione di integrale doppio di una funzione continua su un dominio semplice, signi¯cato geometrico
e proprietµa - teoremi di riduzione - trasformazione di coordinate - integrali tripli,
volumi, baricentri - riduzione per ¯li e per strati - [ volume dei solidi di rotazione ]
- coordinate sferiche.
Integrali curvilinei. Curve piane in forma parametrica - nozioni generali - retta
tangente ad una curva - curve regolari - concatenazione di archi, archi C 1 a tratti,
regolari a tratti - lunghezza di un arco e relativa formula, cenno di dimostrazione
- [ curve in coordinate polari ] - integrale curvilineo di un campo vettoriale lungo
un arco, sue proprietµa e formula di rappresentazione - circuitazione di un campo
vettoriale lungo il bordo di un dominio regolare - il teorema di Green (*) e sue
applicazioni al calcolo di aree - integrale di un campo scalare lungo un arco - cenni
sulle curve nello spazio tridimensionale.
Integrali di super¯cie. Super¯ci in forma parametrica - nozioni generali super¯ci regolari, vettore normale, piano tangente - super¯ci ordinarie e di rotazione
- area di una super¯cie - formula di Guldino - integrale di un campo scalare su una
super¯cie - orientamento - integrali di °usso - domini regolari - il teorema della
divergenza - il teorema di Gauss sul °usso del campo elettrico (*) - il teorema di
Stokes.
Campi conservativi. Teoria dei campi conservativi nel piano: il concetto di
potenziale, l'integrale curvilineo come di®erenza di potenziale (*), campi radiali,
caratterizzazione dei campi conservativi mediante le circuitazioni e l'indipendenza
dal percorso (*). Insiemi semplicemente connessi e relazione tra campi conservativi
e campi irrotazionali (*): dapprima nel piano, poi nello spazio tridimensionale.
Equazioni di®erenziali. Equazioni del I ordine - [ Risoluzione delle equazioni
a variabili separabili e lineari ] - il problema di Cauchy - esistenza locale ed unicitµa
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- approssimazione della soluzione col metodo di Peano - controesempi all'unicitµa nozioni generali sulle equazioni del II ordine - equazioni lineari omogenee: lineare
indipendenza delle soluzioni, determinante wronskiano, rappresentazione dell'integrale generale (*) - risoluzione delle equazioni omogenee a coe±cienti costanti,
comportamento asintotico delle loro soluzioni - l'equazione in forma completa: rappresentazione dell'integrale generale (*), ricerca di una soluzione particolare tramite
il metodo delle costanti indeterminate [ ed il metodo della verosimiglianza ].
Trasformate di Laplace e di Fourier (solo per Ingegneria Elettronica). Generalitµa sulle funzioni complesse di variabile complessa - funzioni olomorfe: le equazioni di Cauchy-Riemann come condizione necessaria (*) e su±ciente - generalitµa
sulle funzione complesse di variabile reale - integrali curvilinei e teorema fondamentale del calcolo in campo complesso - esistenza di una primitiva per una funzione
olomorfa (*) - integrale generalizzato di una funzione complessa di variabile reale
- ascissa di convergenza - de¯nizione di trasformata di Laplace, trasformate fondamentali, principali regole di trasformazione: trasformata di una derivata (*), regola
dell'omotetia (*), trasformata di una convoluzione. Residuo di una funzione olomorfa in un suo polo, e relativi metodi di calcolo. Antitrasformata di Laplace di una
funzione razionale, formula dei residui. Uso della trasformata di Laplace nella risoluzione di equazioni di®erenziali a coe±cienti costanti. La trasformata di Fourier:
de¯nizione, trasformate di funzioni razionali tramite il metodo dei residui, regole di
trasformazione. Trasformate fondamentali, trasformata di una funzione gaussiana
(*), di un impulso istantaneo - Formule di reciprocitµa e di inversione - estesione
della trasformata di Fourier alle funzioni di quadrato integrabile - uguaglianza di
Plancherel.
Successioni e serie di funzioni (solo per Ingegneria Informatica). Si veda la
parte ¯nale del programma di Analisi Matematica I per Ingegneria Elettronica.
(*) dimostrazioni richieste in sede di esame.
[...] parti non richieste all'esame orale.
