Dipartimento di Matematica Pura ed Applicata G. Vitali
Programma di Analisi Matematica II svolto nell’A. A. 2011/12
Corsi di laurea in Ingegneria Elettronica ed Informatica
Funzioni di due (o tre) variabili. Elementi di topologia nel piano, limiti
e continuità per funzioni di due variabili, limiti direzionali. Proprietà fondamentali delle funzioni continue, i teoremi di Weierstrass e dei valori intermedi.
Derivate direzionali e parziali, differenziabilità e proprietà collegate, piano tangente al grafico di una funzione, regola della catena (*) - punti di estremo liberi:
la condizione necessaria di stazionarietà (*) - derivate parziali del II ordine,
teorema di Schwartz, formula di Taylor del II ordine - classificazione dei punti
stazionari: il teorema del determinante hessiano (*) - il teorema della funzione
implicita - retta tangente ad una curva di livello - punti di estremo vincolato
- il teorema della stazionarietà vincolata (*) - cenni sul calcolo differenziale di
ordine superiore al secondo e sulle funzioni di tre variabili.
Calcolo integrale per funzioni di due e tre variabili. Definizione di
integrale doppio di una funzione continua su un dominio semplice, significato
geometrico e proprietà - teoremi di riduzione - trasformazione di coordinate integrali tripli, volumi, baricentri - riduzione per fili e per strati - [ volume dei
solidi di rotazione ] - coordinate sferiche.
Integrali curvilinei. Curve piane in forma parametrica - nozioni generali
- retta tangente ad una curva - curve regolari - concatenazione di archi, archi
C 1 a tratti, regolari a tratti - integrali curvilinei dei vari tipi di un campo
scalare lungo un arco, loro proprietà e relative formule di rappresentazione lunghezza di un arco - integrale curvilineo di un campo vettoriale lungo un arco
- circuitazione di un campo vettoriale lungo il bordo di un dominio regolare formule di Green (*) e loro applicazioni al calcolo di aree - i teoremi di Stokes e
della divergenza (*) nel piano - [ curve in coordinate polari ] - cenni sulle curve
nello spazio tridimensionale.
Campi conservativi nel piano. Il concetto di potenziale, l’integrale curvilineo come differenza di potenziale (*), campi radiali, caratterizzazione dei campi
conservativi mediante le circuitazioni e l’indipendenza dal percorso (*). Insiemi
semplicemente connessi e relazione tra campi conservativi e campi irrotazionali
(*) - circuitazioni in presenza di una singolarità (*).
Integrali di superficie. Superfici in forma parametrica - nozioni generali
- superfici regolari, vettore normale, piano tangente - superfici ordinarie e di
rotazione - area di una superficie - formula di Guldino - integrale di superficie dei
vari tipi di un campo scalare - orientamento - integrali di flusso - domini regolari
- il teorema della divergenza - il teorema di Gauss sul flusso del campo elettrico
(*) - il teorema di Stokes e cenni sulla teoria dei campi conservativi nello spazio
tridimensionale: relazione tra campi conservativi e campi irrotazionali (*).
Equazioni differenziali. Equazioni del I ordine - [ Risoluzione delle equazioni
a variabili separabili, lineari, di Bernoulli ] - il problema di Cauchy - esistenza
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locale ed unicità - approssimazione della soluzione col metodo di Peano - controesempi all’unicità - esistenza globale - nozioni generali sulle equazioni del II
ordine - equazioni lineari omogenee: lineare indipendenza delle soluzioni, determinante wronskiano, rappresentazione dell’integrale generale (*) - risoluzione
delle equazioni omogenee a coefficienti costanti, comportamento asintotico delle
loro soluzioni - l’equazione in forma completa: rappresentazione dell’integrale
generale (*), [ ricerca di una soluzione particolare tramite il metodo delle costanti
indeterminate ed il metodo della verosimiglianza ].
Trasformate di Laplace e di Fourier (solo per Ingegneria Elettronica).
Generalità sulle funzioni complesse di variabile reale e complessa - funzioni olomorfe: le equazioni di Cauchy-Riemann come condizione necessaria (*) e sufficiente - integrali curvilinei e teorema fondamentale del calcolo in campo complesso - esistenza di una primitiva per una funzione olomorfa (*) - residuo di
una funzione olomorfa in un suo polo, e relativi metodi di calcolo - la trasformata di Laplace: definizione, ascissa di convergenza, trasformate fondamentali
- principali regole di trasformazione: trasformata di una derivata (*), regola
dell’omotetia (*), trasformata di una convoluzione. Antitrasformata di Laplace
di una funzione razionale, formula dei residui. Uso della trasformata di Laplace
nella risoluzione di equazioni differenziali a coefficienti costanti. La trasformata
di Fourier: definizione, trasformazione delle funzioni razionali (tramite il metodo
dei residui) e di alcune funzioni fondamentali, regole di trasformazione. Uso
della trasformata di Fourier nella ricerca di soluzioni integrabili di un’equazione
differenziale a coefficienti costanti. Trasformata di una funzione gaussiana (*).
Formule di inversione e di reciprocità.
Successioni e serie di funzioni (solo per Ingegneria Informatica). Si
veda la parte finale del programma di Analisi Matematica I per Ingegneria
Elettronica.
(*) dimostrazioni richieste in sede di esame.
[...] parti non richieste all’esame orale.
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