MATEMATICA GENERALE (A

MATEMATICA GENERALE
Si rammenta che gli argomenti svolti nel Precorso di Matematica (si veda la Guida dello Studente)
sono propedeutici al presente corso. Di conseguenza, gli studenti che intendono sostenere l’esame
di Matematica Generale sono tenuti a conoscere gli argomenti impartiti nel Precorso di Matematica.
Numeri reali
Intervalli. Estremi di un insieme di numeri reali. Struttura metrica di R: intorni, punti interni,
esterni e di frontiera, punti di accumulazione e punti isolati, insiemi aperti e chiusi.
Funzioni
Funzioni monotone e strettamente monotone. Estremo superiore e inferiore e massimo e minimo di
una funzione. Punti di massimo e di minimo relativo e assoluto.
Limiti e continuità
La definizione di limite. Limite destro e sinistro. Teoremi sui limiti: unicità, permanenza del segno,
confronto, esistenza del limite per funzioni monotone. Operazioni sui limiti. Forme indeterminate.
Numero di Eulero. I limiti della funzione senx/x. Funzioni continue e punti di discontinuità. Limiti
delle funzioni composte. Continuità della funzione composta e della funzione inversa. Teoremi sulle
funzioni continue: teorema di Weierstrass, di Darboux e degli zeri.
Algebra lineare
Vettori reali e spazi Rn. Dipendenza e indipendenza lineare. Prodotto scalare. Matrici e operazioni
sulle matrici. Determinanti e loro proprietà. Rango. Sistemi di equazioni lineari. Matrice inversa.
Calcolo differenziale
Rapporto incrementale. Derivata e suo significato geometrico. Continuità e derivabilità (*).
Derivate delle funzioni elementari. Regole di calcolo. Derivate successive. Differenziale e sua
interpretazione geometrica. Teorema di Fermat (*). Teorema di Rolle (*). Teorema di Lagrange e
suoi corollari (*). Ricerca dei punti di massimo e minimo interni. Teorema di De l’Hospital.
Formula di Taylor con il resto secondo Peano . Funzioni convesse e concave. Punti di flesso.
Asintoti. Studio di una funzione.
Calcolo integrale
Primitiva e integrale indefinito. Integrali immediati. Integrazione per scomposizione, per parti (*) e
per sostituzione. Integrale definito. Area di un trapezoide. Condizioni sufficienti di integrabilità.
Proprietà dell'integrale definito. Teorema della media integrale (*). Teorema fondamentale del
calcolo integrale (*) e formula per il calcolo dell'integrale definito (*). Integrali generalizzati.
Funzioni reali di più variabili reali
Richiami sulla struttura metrica in Rn: intorno, punto interno, punto di accumulazione, insieme
aperto e chiuso. Generalità sulle funzioni di più variabili. Continuità. Derivate parziali. Teorema di
Schwartz e matrice hessiana. Massimi e minimi locali liberi.
(*) Teorema con dimostrazione