TOMO E Le Serie

Testo adottato: MATEMATICA E TECNICA di Refraschini, Grazzi Ed:ATLAS
TOMO D
Gli integrali
U.A.1: INTEGRALI INDEFINITI - Primitiva, integrale indefinito, concetto di operatore lineare.
Integrali immediati( arcsin x e arccos x appena accennati)e di funzioni composte.
Integrazione delle funzioni razionali fratte (il caso Δ<0 solo del tipo ax 2+c)
Integrazione per parti.
Esercizi di applicazione.
Ricerca della primitiva che passa per un dato punto.
U.A.2 : INTEGRALI DEFINITI Area del trapezoide e definizione di integrale definito di una funzione continua.
Proprietà dell’operazione di integrazione definita.
Teorema della media( con dim.) . Teorema e formula fondamentale del calcolo integrale con esercizi di
applicazione ( senza dim.)
INTEGRALI IMPROPRI - integrali impropri estesi ad un intervallo illimitato, (senza esercizi): esempio


notevole: 1 dx e e kx dx al variare di k
a x
0
TOMO E Modelli differenziali
U.A.2: TRASFORMATA DI LAPLACE
Gli operatori funzionali e la trasformata di Laplace.
Definizione di L[f(t)]; calcolo di L[et], L[t] , L[H(t)] (funzione di Heaviside) dimostrate applicando la
definizione; calcolo di L[sent], L[cost] solo con la formula (dimostrazione discussa ma non richiesta).
Le proprietà ( dimostrazioni discusse ma non richieste) : teorema della linearità e calcolo di L(senht) e di L(cosht).
at
Teorema del cambiamento di scala; calcolo di L[ e ], L (sent), L (cost), L (Hα(t)).
Teorema della traslazione dell’immagine e dell’origine ( o spostamento e ritardo); funzione a gradino.
Teorema della derivazione dell’immagine: L[x f(x)] e L[xn], e dell’origine: L[f’(x)] e di L[f’’(x)].
Teorema dell’integrale dell’immagine ( solo esempio L[senx/x]).
Enunciati senza dim
Esercizi di applicazione .
Antitrasformata di Laplace: invertibilità di L. Linearità di L-1.
Antitrasformate immediate; anti trasformata di funzioni razionali fratte con denominatore che è un polinomio di
secondo grado o ad esso riconducibile per scomposizione (il caso Δ<0 solo del tipo ax2+c).
U.A.1 EQUAZIONI DIFFERENZIALI
Definizioni , equazioni differenziali di ordine n: integrale generale; integrale particolare soddisfacente condizioni
assegnate; (non sono stati ricercati gli integrali singolari).
Equazioni del tipo y’= f(x).
Equazioni a variabili separabili.
Equazioni lineari omogenee e non omogenee, risolte con l’applicazione della formula(dimostrazione discussa in
classe ma non richiesta).
Equazioni differenziali lineari del 2° ordine, omogenee a coefficienti costanti (caso Δ>0 “ a memoria”, casi Δ<0 e
Δ=0 svolti con l’uso del formulario);
Equazioni del tipo y(n)=f(x) risolte per integrazioni successive.
Risoluzione dei semplici equazioni differenziali mediante l’applicazione delle trasformate di Laplace.
TOMO E Le Serie
U.A.1: LE SERIE NUMERICHE
Definizioni e terminologia.
Carattere di una serie: esempio di serie convergente (serie di Mengoli); esempio di serie divergente( serie  ) ;
n

n 1
esempio di serie indeterminata (serie

  1
n
) ( senza esercizi).
n 0
Cenni discorsivi e di carattere intuitivo sulle proprietà delle serie. Condizione necessaria di convergenza ( solo
enunciato).
La serie geometrica

q
n
: calcolo di Sn e di S con dimostrazione; esercizi con q numerico e con q=f(x) e studio
n 0
dell’intervallo di convergenza.
Quasi tutti i teoremi sono stati dimostrati , ma le dimostrazioni non sono state richieste nelle verifiche .