Alice Buscema Bianca Buscema Andrea Cattania

Alice Buscema
Bianca Buscema Andrea Cattania
Chi ha paura
dei numeri?
Da 2 + 2 a eiπ
A nonna Gabriella
che per molti anni
ha insegnato matematica
regalando tanto amore agli studenti
Indice
Introduzione - Perché e per chi abbiamo scritto questo libro
Prologo
Cap. 1
Cap. 2
Cap. 3
Cap. 4
Cap. 5
Cap. 6
Cap. 7
Cap. 8
Cap. 9
I numeri naturali
I numeri relativi
I numeri razionali
Potenze, radici e logaritmi
I numeri reali
Il numero π e la trigonometria
Il numero e
Numeri immaginari e numeri complessi
La relazione di Eulero
Schede
1. I numeri naturali e le operazioni elementari
2. I numeri primi e i numeri razionali
3. Potenze, radici e logaritmi
4. Coordinate cartesiane e polari. Funzioni trigonometriche
5. La funzione esponenziale
6. Numeri immaginari e numeri complessi
7. La relazione di Eulero
Introduzione
Perché e per chi abbiamo scritto questo libro
Con questo testo ci rivolgiamo a quasi tutte e tutti:
1. A chi dice “i numeri mi spaventano, non capisco la matematica, ho un blocco
mentale”.
2. Agli scolari e studenti di ogni età.
3. Agli insegnanti che vogliono rivedere la materia sotto una luce diversa
4. Ai curiosi che non sono mai contenti di quello che sanno già.
Escludiamo i matematici, ai quali evidentemente il nostro libro non può pretendere di
insegnare nulla. Ma non vogliamo certo impedire loro di leggerlo: anzi, se lo faranno
ne saremo ben lieti! Potrebbero darci utili consigli per le prossime edizioni.
La nostra speranza è che nessuno dica più, dopo averlo letto: “I numeri mi
spaventano, non capisco la matematica…”
Milano, 20 dicembre 2011
Alice Buscema
Bianca Buscema
Andrea Cattania
Prologo
Alice☺: Nonno Andrea, mi aiuti a fare l’esercizio di aritmetica?
nonno Andrea ☼: Con molto piacere, topolina! Che cosa non hai capito?
☺: Devo fare le addizioni, ma non sono sicura di avere capito bene il riporto.
Bianca☻: Posso ascoltare anch’io?
☼: Certamente, pulcino mio! Siediti qui vicino a noi.
☺: Per esempio, se devo fare 5 + 3, so benissimo che fa 8. Ma se devo sommare 49 e
37, mi sbaglio quasi sempre.
☼: Questo è perché i numeri sono tantissimi e non possiamo avere un simbolo per
ognuno. Così si è scoperto che era meglio dare un simbolo allo zero, all’uno, al due,
al tre, fino al nove, e poi usare questi simboli per tutti i numeri. Dopo il nove viene il
dieci, e lo scriviamo così: 10. Ogni volta che arriviamo al nove ripartiamo da zero e
aggiungiamo un uno nella colonna a sinistra.
☺: Questo lo so anch’io, ma poi quando lo devo fare sbaglio!
☼: Allora ascoltami bene, ti parlerò dei numeri. Ascolta anche tu, Bianca. Ma dovete
avere molta pazienza. Per imparare qualcosa di nuovo si deve fare un passo indietro e
capire bene quello che viene prima.
☻: Va bene, ma ricordati che fra mezz’ora dobbiamo vedere i cartoni animati!
Capitolo 1
I numeri naturali
nonno Andrea ☼: Voi sapete già contare fino a cento, ma perché i numeri si
scrivono così?
Alice☺: Perché tutte le cose si scrivono in un certo modo, per esempio il mio nome
si scrive con una A e con le lettere l, i, c, e.
Bianca☻: E Bianca con le lettere B, i, a, n, c, a.
☼: Sì, questo è vero. Ma provate a pensare perché per i numeri da 1 a 9 usiamo una
sola cifra, da 10 a 99 due e da 100 in poi di più.
☺: Perché i numeri sono tantissimi!
☼: Brava! Se dovessimo usare un simbolo diverso per ogni numero non ne avremmo
mai abbastanza.
☻: Quanti sono i numeri?
☼: Ora stai correndo un po’ troppo, pulcino, ma fra poco ci arriveremo.
La numerazione in base dieci e la somma
☼: Quando dobbiamo contare, il modo più naturale è quello di usare le dita. Dato che
nelle mani abbiamo dieci dita, viene comodo utilizzare le dieci cifre decimali (lo zero
e le cifre da 1 a 9). Quando le cose da contare sono più di nove, mettiamo un 1 a
sinistra e ricominciamo da zero. Ecco perché dopo il 10 vengono l’11, il 12 e così
fino al 19. L’1 di sinistra indica “una decina” e vale 10. Dopo il 19 l’1 lo facciamo
diventare 2 e abbiamo 2 decine (venti). Possiamo andare avanti così fino a 99.
☻: Lo so, poi viene il cento.
☼: Sì, ma sai come si scrive cento?
☻: Sì, uno zero zero!
☼: Ecco, la regola è sempre quella. Ogni volta che un numero è fatto di soli nove, per
aggiungere uno dobbiamo mettere davanti un uno e i nove diventano tutti zeri.
☺: Queste cose le so già. Ma aiutami a capire le somme con il riporto!
☼: Dopo quello che ti ho detto, le puoi capire facilmente. Se devi sommare 39 a 58,
devi partire dalle unità: 9 + 8.
☺: 9 + 8 fa 17!
☼: Brava! A questo punto che cosa dovrai fare?
☺: Scrivo 7 nella colonna delle unità e metto un 1 vicino alla colonna delle decine.
☻: Fin qui ho capito anch’io!
☺: Poi sommo le decine: 3 + 5 fa 8, ma c’è da sommare anche il riporto e quindi
nella colonna delle decine scrivo un 9. Ecco: 39 + 58 fa 97!
☼: Hai visto come è facile? Ora cerca di mettertelo bene nella testolina e non
dimenticarlo mai più!
☻: Ma si usano spesso le somme?
☼: Si usano sempre, pensa che siamo tanto abituati a sommare dei numeri che il più
delle volte lo facciamo senza neppure pensarci. Vi ricordate ieri, quando siamo andati
a comprare il pane e voi mi avete chiesto le brioche? Il panettiere mi aveva detto: un
euro il pane, due le brioche. Io gli ho dato tre euro senza neppure pensarci. Nella mia
testa avevo fatto 2 + 1 = 3, senza smettere di pensare ai fatti miei.
☺: Sì, ma questa è una somma facilissima!
☼: Era solo un esempio, è chiaro che se devo fare una somma complicata ci devo
pensare o devo usare carta e penna…
☺: O una calcolatrice…
☻: O il computer...
☼: Certo, ma vi potrei fare molti altri esempi. Se una di voi due mi chiede di
comprarle quindici figurine e l’altra venti, quante ne dovrò chiedere all’edicolante?
☺: Trentacinque!
☼: Brava! Che operazione hai fatto?
☺: Ho sommato quindici più venti.
☼: Benissimo! Ora vi propongo un compito da fare nei prossimi giorni: pensate
almeno a tre casi ciascuna, in cui dovete fare una somma qualsiasi. Adesso però
passiamo a un altro modo di vedere i numeri.
☻: Ci sono tanti modi diversi?
☼: Sì, voglio parlarvi dell’asse dei numeri.
☻: Come l’asse da stiro?
☼: In un certo senso, sì. Solo che invece di passare sopra con il ferro dovete pensarlo
come una linea diritta dove i numeri vengono uno dopo l’altro. Prendete un foglio a
quadretti, disegnate una linea diritta e scrivete i numeri in ordine tutti in fila a partire
dallo zero, uno per ogni quadretto.
☺: A che cosa serve l’asse dei numeri?
☼: Per ora potete usarlo per fare le somme, poi vedrete che ci sarà molto più utile.
Sull’asse dei numeri potete fare nove più quattordici in questo modo: andate sul nove,
poi spostatevi a destra di quattordici quadretti e arriverete sul risultato…
☺: Ventitre!
La moltiplicazione
☼: Brava! Imparate a spostarvi sull’asse dei numeri e vedrete che questi non avranno
più segreti per voi. Pensate ora di fare passi di tre quadretti per volta: la prima volta
arrivate a tre, poi a sei, a nove e così via. In questo modo fate una somma continua
come 3 + 3 + 3 +… Se volessi sommare venti volte tre potrei scriverlo ripetendo il 3
+ 3 venti volte, ma non sarebbe molto comodo. C’è un modo più semplice.
☺: Io lo so: la moltiplicazione.
☼: Sì, sapevo che conosci già la moltiplicazione. Ma volevo solo farvi vedere come
anche in questo caso usare i numeri sui loro assi ci può aiutare. Prendiamo ancora il
foglio di carta a quadretti. La prima volta mi sposto ancora di tre quadretti verso
destra, per farlo la seconda volta torno all’inizio, mi sposto di un quadretto verso
l’alto e rifaccio il passo di tre quadretti a destra. In questo modo ho fatto 3 + 3 = 3 x 2
= 6. Se ripetiamo questa operazione venti volte avremo fatto 3 x 20 = 60. Ora
contiamo i quadretti del rettangolo che abbiamo costruito: vedrete che sono proprio
sessanta.
☻: È un po’ difficile, ma credo di avere capito.
☼: Te lo posso dire in un altro modo. Il risultato della moltiplicazione si chiama
“prodotto”. Il prodotto della moltiplicazione fra due numeri, nel nostro caso 3 e 20, è
uguale all’area del rettangolo che ha i due lati uguali a questi due numeri. In questo
caso il 3 e il 20 sono i “fattori” della moltiplicazione 3 x 20. Posso anche fare
l’inverso: parto da 60 e cerco dei numeri che moltiplicati fra loro dànno 60.
☺: È facilissimo: 3 e 20!
☼: Sì, però il 20 lo si può scomporre a sua volta in 4 x 5 e il 4 in 2 x 2. Dunque, 60 =
2 x 2 x 3 x 5! A questo punto non posso più andare avanti con la scomposizione: tutti
i fattori che ho trovato sono numeri “primi”, numeri che non hanno altri fattori oltre a
1 e a se stessi.
☻: Che cosa vuol dire?
☼: Che per esempio 5 = 5 x 1, ma non posso trovare altri numeri naturali che
moltiplicati tra loro dànno 5. Ma torniamo all’asse dei numeri e alla moltiplicazione.
☻: Ecco, io stavo pensando che se ho un numero molto grande devo avere un foglio
molto grande!
☼: No, si può cambiare la scala: un quadretto potrebbe contare per dieci, per cento,
per mille, per tutto quello che vogliamo.
☻: E quando finiscono i numeri?
☺: Non finiscono mai!
☼: Infatti, se prendete un numero grande quanto volete, basta aggiungere una cifra
davanti, o in coda, o in mezzo per ottenere un numero più grande.
☻: Così, anche se vivessimo cent’anni non potremmo mai conoscerli tutti!
☼: E non basta. Finora, abbiamo parlato solo dei numeri come uno, due, tre e così
via, che si chiamano “numeri naturali”. Ma esistono molti altri tipi di numeri.
☻: Davvero? E quali?
☼: Per ora vi parlerò dei numeri negativi, poi ne vedremo molti altri.
Capitolo 2
I numeri relativi
nonno Andrea ☼: Se sommiamo o moltiplichiamo fra loro dei numeri naturali,
otteniamo ancora dei numeri naturali.
Bianca☻: Per esempio, se faccio 6 + 9 ho 15!
Alice☺: E se faccio 5 x 7 ho 35!
La sottrazione
☼: Brave! Anche se faccio 9 - 3 ottengo 6, che è un numero naturale. Ma adesso
provate a fare 3 - 9.
☻: Ma non si può!
☺: Sì che si può: fa 6 dall’altra parte!
☼: Bravissima! E si scrive - 6. Ecco che abbiamo trovato un numero negativo!
☻: A che cosa servono i numeri negativi?
☼: Se ci pensate bene, li abbiamo già incontrati quest’estate, al mare. Vi ricordate
che all’albergo abbiamo messo la macchina nel garage? E che per andarla a prendere
entravamo nell’ascensore e schiacciavamo il pulsante -2? Il garage era due piani sotto
il piano terra, quindi al piano -2.
☺: Allora - 2 vuol dire passare al di là dello zero e andare avanti di 2!
☼: Esatto! Se andate sull’asse dei numeri, dovete immaginare di prolungarlo oltre lo
zero e di continuare a scrivere numeri anche dall’altra parte, ma questa volta con il
segno - (meno). Abbiamo allargato l’insieme dei numeri interi, da quelli solo positivi
siamo passati a positivi e negativi. Tutti insieme li chiamiamo “numeri relativi”.
Possiamo fare altri esempi dei numeri negativi che incontriamo quasi tutti i giorni.
☻: Quali?
☼: Pensate alla temperatura: posso dire che in casa ci sono 18 gradi ma, d’inverno,
abbiamo anche temperature esterne di -2 o -5 gradi. Il termometro è sceso sotto il
livello di zero, dove l’acqua comincia a diventare ghiaccio. Oppure pensiamo alle
profondità marine: lo zero indica il livello del mare, se andiamo sotto di dieci metri
siamo al livello -10.
☺: Che bello, andiamo in spiaggia a tuffarci!
Capitolo 3
I numeri razionali
Bianca☻: Ora dovremmo sapere proprio tutto sui numeri!
nonno Andrea ☼: No, topolina mia, ne sappiamo ancora pochissimo. Facciamo un
piccolo passo avanti: sapete che cosa è una divisione?
Alice☺: Sì, se prendo un uovo sodo e lo divido in due, ho due mezze uova!
La divisione
☼: Brava! Anche mezzo è un numero, e possiamo scriverlo in due modi. O lo
scriviamo con la virgola, così: 0,5; oppure come frazione: ½.
☺: È la stessa cosa scrivere 0,5 o ½?
☼: Sì. 0,5 vuol dire che la parte intera del numero è zero, ma poi c’è ne è ancora un
pezzettino, anche se più piccolo di uno: il 5 è a metà strada fra 0 e 10. Invece ½ vuol
dire che ho diviso l’uovo, che era uno, in due parti uguali.
☻: Allora se la divido in quattro devo scrivere che ogni parte è ¼?
☼: Sì, siete bravissime! Se ci pensate bene, è come dire che il numero 0,5 è ottenuto
dividendo due numeri interi, 1 e 2. Questo si chiama anche il rapporto fra 1 e 2 e si
può scrivere anche 1:2. Un numero come 0,5 lo chiamiamo numero decimale. Tutte
le volte che un numero decimale è dato dal rapporto fra due numeri interi, lo
chiamiamo un “numero razionale”. Ad esempio, 0,125 è uguale a 1/8 e quindi è un
numero razionale. L’espressione 1/8 rappresenta una frazione e un numero come 1/8
lo chiamiamo numero frazionario. Possiamo dire che, come la sottrazione ci ha fatto
conoscere i numeri negativi, così la divisione ci permette di definire la categoria dei
numeri decimali o frazionari. Potrei dirvi che un matematico o una persona molto
pignola potrebbe trovare una certa differenza tra 0,5 e ½, ma è una cosa che per il
momento non ci interessa. Ve ne parlerò un’altra volta.
☺: Ma esistono anche numeri che non sono razionali?
☼: Certamente, sono i numeri irrazionali.
☺: Come è possibile che un numero non sia il rapporto di due numeri interi? Se
penso a un numero qualsiasi, ad esempio 0,123456, lo posso sempre scrivere come
123456/1000000. Non riesco a immaginare un numero per il quale non valga questo
ragionamento!
☼: Il fatto è che i numeri non nascono solo in questo modo: ci sono numeri ‘speciali’,
che gli uomini hanno scoperto in un modo diverso, come vedremo fra poco.
Capitolo 4
Potenze, radici e logaritmi
L’elevazione a potenza
nonno Andrea ☼: Per capire la moltiplicazione siamo partiti dalle somme continue.
Dire 2 + 2 + 2 + 2 è come dire 2 x 4. Ora pensiamo a una moltiplicazione continua: 2
x 2 x 2 x 2, che fa…
Alice☺: 16!
☼: Brava! Anche in questo caso possiamo scriverlo in un modo abbreviato: 24. In
questo modo si indica una moltiplicazione del numero 2 per se stesso quattro volte. Il
numero 2 prende il nome di base, il numero delle volte per cui lo moltiplichiamo (in
questo caso 4) è l’esponente. Questa operazione si chiama “potenza”.
Bianca☻: Quanto fa 34?
☺: Fa 3 x 3 x 3 x 3, cioè 81!
☼: Sì. Quando l’esponente è 2, la potenza si chiama “quadrato”. Dire 6 x 6 equivale a
dire 62 o 6 al quadrato. Se l’esponente è 3 la potenza si chiama “cubo”. Elevare un
numero al quadrato significa moltiplicarlo per se stesso due volte; elevarlo al cubo
vuol dire moltiplicarlo tre volte.
☻: E se lo moltiplico quattro o cinque volte?
☼: In questo caso diciamo che lo eleviamo alla quarta o alla quinta potenza.
☺: A che cosa servono le potenze?
☼: Prima di tutto è un modo più comodo per scrivere una moltiplicazione. Pensate di
dover moltiplicare un numero per se stesso cento volte, ad esempio il numero 4. Che
cosa è più comodo, scrivere 4 x 4 x 4 x … cento volte o scrivere 4100?
☻: La seconda che hai detto!
☼: Direi proprio di sì! Ora proviamo a fare l’opposto. Invece di dire che 4 è il
quadrato di 2, chiediamoci: qual è quel numero che elevato al quadrato dà 4?
☺: 2!
L’estrazione di radice
☼: Esatto! Questa operazione si chiama “radice quadrata”. Estrarre la radice quadrata
di un numero significa trovare quello che, elevato al quadrato, dà il numero di
partenza.
☻: Come estrarre la radice di un dente!
☼: In un certo senso sì. Naturalmente possiamo parlare di radice cubica, radice
quarta, e così via. L’operazione di radice quadrata la indichiamo con il simbolo: √.
Ora però voglio dirvi una cosa molto importante. Se io moltiplico un numero
qualsiasi per quante volte voglio io, per esempio il numero quattro per se stesso
cinque volte, lo posso scrivere come…
☺: 45!
☼: Bravissima! Se la base e l’esponente sono due numeri interi, il risultato sarà
sempre un numero intero: 2 x 2 fa 4, 6 x 6 x 6 fa 216, e così via. Ma se faccio
l’operazione inversa, anche partendo da un numero intero si può arrivare a uno
decimale. Ad esempio, non esiste un numero intero che sia la radice quadrata di 2,
perché 1 x 1 = 1, 2 x 2 = 4 e nessun numero intero moltiplicato per se stesso può dare
come risultato 2. A questo punto possiamo parlare dei numeri irrazionali.
☺: Forse comincio a capire…
I logaritmi
☼: Ma prima di dirvi che cosa sono i numeri irrazionali, vorrei parlarvi dei logaritmi.
L’estrazione di radice è l’operazione inversa dell’elevamento a potenza. Se diciamo
che 23 = 8, possiamo dire che 2 è la radice cubica di 8. Ma possiamo partire dal 3,
cioè dall’esponente. 3 è il logaritmo di 8 in base 2. Ogni volta che troviamo una
potenza come ax = b, diciamo che x è il logaritmo di b in base a.
Ricordatevi bene questo concetto, che ci verrà molto utile fra poco!
Capitolo 5
I numeri reali
nonno Andrea ☼: Se la radice quadrata di 2 non può essere un numero intero, deve
essere decimale. Sappiamo che deve essere un numero maggiore di 1 e minore di 2,
quindi sarà del tipo 1,…
Bianca☻: Sì, ma come facciamo a sapere quanto è?
Alice☺: Potremmo provare a fare il quadrato di 1,1, poi di 1,2, fino a quando
troviamo un numero maggiore di 2.
☼: Ma tu sei un genio! Così scopriremo che la radice quadrata di 2 è 1,4… Poi
proviamo con 1,41, 1,42, e così via. Con lo stesso metodo troviamo il secondo
decimale, poi il terzo, fino a quando vogliamo. E scopriremo che non c’è nessun
numero razionale che moltiplicato per se stesso dà come risultato 2. In altre parole,
possiamo dire che √2 non può essere un numero razionale. Anche questo è molto
semplice, ma gli uomini ci hanno messo millenni per capirlo!
Numeri razionali e numeri irrazionali
☺: Vediamo un po’. Se ben ricordo, un numero razionale è sempre il rapporto fra
due numeri interi…
☻: Come fai a ricordarti una cosa così difficile?
☼: Non è difficile, pulcino, a te sembra così perché sei ancora piccola. In realtà anche
molti adulti trovano qualche difficoltà a capire questi concetti, ma è solo per pigrizia
mentale o perché non hanno pazienza o la voglia di concentrarsi. Ma ti assicuro che
sono passaggi alla portata di tutti!
☺: Cerchiamo di andare avanti!
☼: Sì. Per indicare un ‘numero qualsiasi’ è comodo usare una lettera, ad esempio n
(l’iniziale della parola ‘numero’). Naturalmente, per il secondo numero devo usare
una lettera diversa, per non fare confusione!
☺: Possiamo usare la m.
☼: D’accordo. Allora il rapporto fra questi due numeri interi sarà n/m.
☻: Questo l’ho capito anch’io!
☼: Bene! Siamo arrivati a dire che n/m = √2. Ma se due numeri sono uguali, anche i
loro quadrati sono uguali.
☺: Questo vuol dire che il quadrato del numero n/m è 2!
☼: Brava! Allora possiamo scrivere che n2 = 2m2.
☻: Perché?
☺: Perché il quadrato di n/m si può scrivere n2/m2.
☼: Dunque n2/m2 = 2. Possiamo moltiplicare questi due numeri per m2 e otteniamo
n2 = 2m2. Se scomponiamo questi due numeri nei loro fattori primi, vediamo che n2
contiene il fattore 2 un numero pari di volte (o zero), il numero 2m2 un numero
dispari di volte. Dunque non possono esistere due numeri così.
☺: Questo significa che √2 non è un numero razionale!
☼: E che esistono numeri non razionali: li chiameremo irrazionali!
☻: Ora sappiamo tutto sui numeri!
☼: Sapere tutto sui numeri è quasi impossibile, ma se volete seguirmi vi spiegherò
delle cose che molti non sanno e che sono invece semplici e interessanti.
☺: Quali?
☼: Potrei spiegarvi che cosa significa e come si calcola eiπ!
☻: Che bello!
☺:Ma qui non ci sono numeri, sono solo lettere! E poi quello strano simbolo, che
cosa significa?
☼: È la lettera greca π (pi greca). Poi vi dirò che cosa significano e, π e i. Le lettere
si usano al posto dei numeri per diversi motivi. In questo caso indicano numeri
particolari, che nascondono dei concetti matematici importanti, come vedremo fra
poco. Oppure si usano le lettere per indicare le incognite o le variabili, ma anche su
questo ritorneremo fra un po’. Ora torniamo ai nostri amici e, π e i. Sono tre
personaggi che nascono in modo completamente indipendente l’uno dall’altro ma,
quando si incontrano, dànno vita a un gioco matematico, a una danza meravigliosa
che vi lascierà senza parole.
☻: Sai che la matematica comincia a piacermi davvero?
Capitolo 6
Il numero π e la trigonometria
nonno Andrea ☼: Ora vi chiedo di disegnare un cerchio ciascuna. Bravissime!
Avete disegnato un cerchio grande e uno piccolo. Che cosa hanno in comune queste
due figure?
Alice☺: Hanno la stessa forma!
☼: Risposta esatta! Questo vale per tutti i poligoni regolari.
Bianca☻: Che cosa sono?
☼: I poligoni sono le figure geometriche che si ottengono tracciando una linea
formata da più lati consecutivi e chiusa su se stessa. Sono detti “regolari” se tutti i lati
hanno la stessa lunghezza.
☻: Come un quadrato!
☺: O un triangolo equilatero!
☼: Sì, ma ce ne sono molte altre.
☻: Quante?
☼: Una per ogni numero naturale a partire da tre: triangolo, quadrato, pentagono,
esagono…E man mano che il numero dei lati aumenta, il poligono assomiglia sempre
più a un cerchio.
☺: Ma che cosa c’entra tutto questo con quello che ci stavi dicendo?
☼: Quello che vi voglio spiegare è il significato del numero π. In un cerchio, sapete
come si chiama la lunghezza del contorno?
☺: Si chiama “circonferenza”.
☼: Brava! E come si chiamano la larghezza e l’altezza del cerchio?
☺: In un cerchio la larghezza e l’altezza sono uguali e si chiamano “diametro”.
☼: Bravissima! Ora siamo arrivati al punto: il fatto che tutti i cerchi abbiano la stessa
forma equivale a dire che il rapporto tra circonferenza e diametro è uguale per
qualsiasi cerchio. Questo rapporto è un numero irrazionale, vale circa 3,14 (ma ha un
numero infinito di decimali) e si indica con la lettera greca π.
☺: Finalmente ho capito che cosa significa quello stano simbolo!
La misura degli angoli
☼: Restiamo ancora un po’ sul cerchio per parlare della misura degli angoli.
☻: Ma in un cerchio non ci sono angoli!
☼: Sto parlando, pulcino, degli angoli fra i raggi del cerchio. Se il raggio del cerchio
ruota attorno al centro, forma con l’asse orizzontale un angolo che cresce, fino a
compiere un giro completo. Il modo più comune per misurare questo angolo è quello
che utilizza i gradi. Il giro completo corrisponde a 360°, quindi l’angolo piatto è
180°, l’angolo retto 90°, e così via. Naturalmente, questa scelta si basa su una
convenzione: si sarebbe potuto scegliere ogni altro numero invece di 360, anche se
questa è la scelta più comoda.
☺: Vuoi dire che ci sono altri modi per misurare gli angoli?
☼: Proprio così, topolina mia! Quando il raggio ruota, il suo punto estremo che si
trova sulla circonferenza descrive un percorso di una determinata lunghezza:
maggiore è l’angolo, più lungo sarà questo percorso. Questa lunghezza può essere
presa per misurare l’angolo. Infatti, se percorro un giro il percorso è quello della
circonferenza completa, che sappiamo quanto misura…
☺: Sì, ce lo hai già detto: è il diametro per π.
☼: Brava! Se indichiamo la lunghezza del diametro con ‘d’ e quella del raggio con
‘r’, possiamo scrivere “πd” oppure “2πr”. Se raddoppia il raggio, raddoppia anche il
percorso fatto, ma l’angolo è sempre lo stesso. In altri termini, possiamo dividere il
percorso fatto per il raggio e avremo una misura dell’angolo. Ad esempio, l’angolo
giro corrisponde a 2π, l’angolo piatto a π e l’angolo retto a π/2.
Tenetelo bene in mente, perché questo modo di misurare gli angoli ci tornerà comodo
fra poco!
☻: Non ti sembra che le cose da tenere in mente stiano diventando un po’ troppe?
La trigonometria
☼: Ora immaginiamo di fare una gita in bicicletta.
☻: Perché non la facciamo davvero?
☼: Sì, ma solo dopo che vi avrò parlato della trigonometria. Stiamo pedalando da
qualche minuto, e già la strada comincia a salire. È una salita piuttosto ripida, a un
certo punto vediamo un cartello: pendenza 10%. Sapete che cosa significa?
☺: Che per ogni cento metri fatti si sale di dieci metri?
☼: Brava! Ora disegnamo questa strada che sale e mettiamola nel cerchio. La salita
forma con l’asse orizzontale un angolo, che chiameremo con un’altra lettera greca: α
(di solito per indicare gli angoli si usano le lettere greche). La strada che abbiamo
percorso corrisponde al raggio che parte dall’origine e arriva nel punto A. Dal punto
A tracciamo ora un segmento verticale, che incrocia l’asse orizzontale nel punto B. Il
segmento AB corrisponde a quanto siamo saliti, mentre il segmento OB dice quanto
abbiamo percorso in orizzontale. Il rapporto tra AB e il raggio OA viene detto “seno”
di α (e si indica con sen α), mentre quello fra OB e il raggio viene detto “coseno” di α
(e si indica con cos α).
☺: Che cosa c’entra il seno?
☼: Te lo spiego subito. Immagina un disco che gira sempre alla stessa velocità.
Pensa a un punto che si trova sulla sua circonferenza, e supponi che all’inizio si trovi
sull’asse orizzontale. In questa situazione l’angolo α è zero e anche sen α è zero.
Quando il disco gira, l’angolo α cresce e cresce anche sen α. Se fate un grafico per
vedere come varia sen α al variare di α, potete ottenere facilmente questa figura.
☺: Adesso mi sembra chiaro…
☻: È questa la trigonometria? Credevo che fosse una cosa difficilissima, invece l’ho
capita anch’io!
Capitolo 7
Il numero e
nonno Andrea ☼: Un altro personaggio che dovete conoscere è il numero ‘e’, che ha
a che fare con le modalità di accrescimento.
Bianca☻: Ti avevamo detto di non usare queste parole difficili!
Alice☺: Forse vuoi parlare del modo in cui qualcosa cresce? Come il nostro peso e la
nostra altezza?
☼: Brava, è proprio così! Ma possiamo parlare anche del modo in cui cresce una
somma di denaro. Se io ho 100 euro e li presto a un mio amico al tasso del 10%
l’anno, alla fine il mio amico non mi deve restituire solo i 100 euro…
☺: Ma anche i 10 euro, che sono il 10% di 100!
☼: Brava! Questo 10% si chiama “interesse”. Ma se non chiedo al mio amico di
restituirmi i miei quattrini, all’inizio del secondo anno il suo debito è diventato di 110
euro. Alla fine, l’interesse dovrà essere calcolato su 110 euro e non su 100. Se questo
interesse lo indichiamo con il numero k, dopo il primo anno mi deve rendere la
somma (1 + k), dopo il secondo (1 + k)2 e dopo un certo numero di anni -numero che
chiamiamo n- il mio amico mi deve la somma iniziale moltiplicata per (1 + k)n.
☺: Faccio un po’ di fatica a seguirti, ma qualcosa ho capito.
☼: È facile, devi solo concentrarti un po’. Potresti fare una tabella, dove scrivi anno
per anno quello che il mio amico mi deve restituire oltre alla somma iniziale. Ora
però immaginiamo di sommare l’interesse non ogni anno, ma per esempio ogni mese.
Che cosa succede?
☻: Dopo un mese l’interesse è più piccolo!
☼: Sì, dopo il primo mese l’interesse non sarà 10 euro, ma 10/12 di euro. Però già dal
secondo mese ai 100 euro iniziali si è aggiunto questo interesse, e con un piccolo
sforzo potete capire che la cosa si ripete 12 volte in un anno. Di conseguenza, il
termine (1 + k)n è diventato (1 + k/12)12*n.
☺: E che cosa succede se invece di sommare l’interesse ogni mese lo sommiamo
ogni settimana, ogni giorno, ogni ora…
☻: …ogni minuto, ogni secondo?
☼: Proprio qui vi volevo! L’accrescimento è continuo, come l’altezza o il peso di un
bambino. Se l’intervallo di tempo che utilizzo per calcolare e sommare l’interesse
diventa sempre più piccolo, questo termine si avvicina sempre più a un numero
irrazionale molto importante, che i matematici chiamano “e”. Ma c’è anche un altro
motivo perché questo numero è molto importante: vi ricordate quello che vi ho detto
sui logaritmi?
☺: Sì, che se ax = b, allora x è il logaritmo di b in base a.
☼: Bravissima! Ora, se consideriamo che il numero e è in relazione alle modalità di
accrescimento, non vi stupirete se vi dico che può sembrare naturale prenderlo come
base dei logaritmi. I logaritmi si possono esprimere in qualsiasi base, ma se come
base prendiamo proprio e, abbiamo i “logaritmi naturali”, proprio come viene
naturale misurare gli angoli in radianti.
☺: Così ci hai spiegato anche che cosa significa questo “e”. Ora manca solo la “i”.
☼: Sì, ma prima riposatevi un po’! Poi vi parlerò della “i” e vedrete che anche questo
non sarà difficile da capire per le vostre brave testoline!
Capitolo 8
Numeri immaginari e numeri complessi
nonno Andrea ☼: Ora facciamo la conoscenza di un nuovo tipo di numeri, gli
immaginari.
Alice☺: Immaginari vuol dire che esistono solo nella nostra immaginazione?
☼: No, i numeri immaginari esistono realmente, ma sono diversi dai numeri reali e
voglio spiegarvi perché. Vi ricordate qual è il quadrato di 1?
Bianca☻: Sì, è 1 x 1 = 1.
☼: E il quadrato di (-1)?
☺: È (-1) x (-1) = 1.
☼: Quindi se uno vi chiedesse qual è la radice quadrata di 1, che cosa gli
rispondereste?
☻: Che è 1…
☺: Ma è anche -1.
☼: Esatto, si scrive ±1. Ma allora la radice quadrata di (-1) qual è?
☺: Se ogni numero, positivo o negativo, ha come quadrato un numero positivo, non
esiste nessun numero che moltiplicato per se stesso dà un numero negativo.
☻: Ma allora la radice quadrata di (-1) non esiste!
☼: Questo è vero se ci limitiamo ai numeri reali. Ma per i matematici niente è
impossibile: per questo hanno inventato i numeri immaginari.
☺: Non è un po’ troppo comodo fare così?
☻: Se una cosa non c’è, noi la inventiamo!
☼: Qui però siamo di fronte a un’invenzione geniale, e spero di riuscire a
convincervi. Pensate all’asse dei numeri reali: il numero 1 si trova sulla prima tacca a
destra dello zero.
☻: Fin qui è facilissimo!
☼: Il numero -1 è sulla prima tacca a sinistra dello zero.
☺: E allora?
☼: Allora, per trovare “quella cosa” che al quadrato fa -1 devo pensare a quello che
applicato due volte al +1 lo trasforma in -1. Ora, trasformare +1 in -1 significa
ruotarlo di 180°…
☺: Vuoi dire che quello che cerchiamo è una rotazione di 90°?
☼: Bravissima, ci sei arrivata! Vuol dire che il numero che cerchiamo, ovvero la
radice quadrata di -1, il numero immaginario, si trova su un asse che forma un angolo
di 90° con l’asse dei numeri reali. Ora abbiamo l’asse reale con i numeri reali e l’asse
immaginario con i numeri immaginari. Possiamo decidere di mettere l’asse reale in
posizione orizzontale e quello immaginario in verticale.
☺: E che cosa succede ai punti del piano che non si trovano su questi assi?
☼: A ciascuno di questi punti si arriva percorrendo un tratto dell’asse reale e uno
dell’asse immaginario. Se il tratto reale è ‘a’ e quello immaginario è ‘ib’, il numero
corrispondente si indica con ‘a + ib’. Questi numeri, che si ottengono sommando un
numero reale e uno immaginario, si chiamano “numeri complessi”.
Capitolo 9
La relazione di Eulero
Bianca☻: Ma tu ci avevi promesso di parlarci anche di un’altra cosa!
nonno Andrea ☼: Ecco, siamo arrivati a eiπ. Ora che conosciamo il significato di e, i
e π, mettiamoli insieme e diamo inizio alle danze. Ma per questo vi chiedo molta
attenzione. Partiamo dalle potenze: dire 32 significa dire 3 moltiplicato per se stesso
due volte. Se moltiplichiamo 32 per 33 è come moltiplicare 3 per se stesso prima due
volte, poi tre volte: in tutto cinque volte. Ecco una proprietà molto interessante delle
potenze.
Alice☺: Sì, se moltiplico due potenze con la stessa base devo sommare gli esponenti.
Quello che non capisco, però, è il significato di una potenza con esponente non
intero. Moltiplicare un numero per se stesso cinque volte mi è chiaro, ma
moltiplicarlo iπ volte, che senso ha?
☼: È proprio questo che ci fa amare la matematica: quando abbiamo stabilito una
regola in base alla nostra intuizione, questa si estende anche dove l’intuizione non ci
aiuta più!
☺: Vuoi dire che tanto la base quanto l’esponente possono essere numeri di ogni
tipo? Anche complessi? Ma non sarà facile calcolare eiπ!
☼: È molto più facile di quello che pensate! Vi ricordate il disco che gira?
☺: Sì, ci era servito per capire il seno!
☼: Bravissima! Ora, immaginiamo che il disco si trovi sul piano dei numeri
complessi. Ogni punto di un piano è identificato da una coppia di numeri, ad esempio
quelli che indicano la sua distanza dai due assi. In questo caso i due numeri si
chiamano coordinate cartesiane.
☻: Che nome strano!
☼: Viene da Cartesio, un filosofo e matematico del passato che ha pensato per primo
a questo modo di rappresentare i punti nel piano. Se il piano è quello dei numeri
complessi, ogni punto corrisponde a un numero complesso, che può essere scritto
come a + ib. Ma lo stesso punto e lo stesso numero possono essere identificati dalla
sua distanza dall’origine e dall’angolo che questo segmento forma con l’asse
orizzontale. Anche questi due numeri, la distanza dall’origine, che chiamiamo A, e
l’angolo (che chiameremo α) identificano un punto. Per distinguerle dalle coordinate
cartesiane, le chiamiamo “coordinate polari”. La cosa più difficile, a questo punto, è
capire che questo numero complesso si può scrivere come Aeiα. Se capirete questo,
arriverete subito alla relazione di Eulero.
☺: Ho un po’ dì confusione in testa!
☼: Quando una cosa ti sembra difficile, devi suddividerla in tanti piccoli passi e
affrontare le difficoltà una per una.
☻: Come gli Orazi e i Curiazi?
☼: Esattamente! I passi che dovete fare sono due, ma quello difficile è il primo:
capire che il numero complesso a + ib si può scrivere Aeiα. Per ora concentriamoci su
questo, poi l’altro vi sembrerà molto più facile.
☻: Se lo dici tu…
☼: Vi ricordate quando abbiamo parlato delle potenze? Abbiamo detto che
moltiplicare 35 per 37 è come moltiplicare 3 per se stesso prima cinque volte, poi sette
volte, dunque in tutto dodici volte. È come dire che 35 x 37 = 35+7 = 312.
☻: E allora?
☼: Facciamo ancora un piccolo sforzo. Invece di dire ‘tre elevato a cinque’ e ‘tre
elevato a sette’ dico ‘il numero a elevato al numero b’ e ‘il numero a elevato al
numero c’. Allora possiamo dire che ab . ac = ab+c. Se consideriamo b e c non come
numeri fissi ma come numeri che possono variare (o variabili), la potenza con
esponente variabile si chiama ‘funzione esponenziale’. Indichiamola con w (z). I
matematici esprimono questa proprietà dicendo che la funzione esponenziale soddisfa
la condizione:
w (z1) . w (z2) = w (z1 + z2)
☺: Ma questo lo sapevamo già!
☼: Sì, ma adesso state molto attente! Dobbiamo pensare a quello che succede se
l’esponente è un numero complesso. I matematici che hanno studiato questo
problema sono arrivati alla conclusione che la sola funzione che soddisfa questa
condizione per una variabile complessa è:
w (x + iy) = ax (cos ky + i sen ky).
Ecco che abbiamo sbrogliato la matassa!
☺: Sì, mi si è accesa una lampadina, ma devi darmi ancora un aiutino.
☼: Devi solo, topolina, prendere il nostro numero reale a ed elevarlo all’esponente
complesso x + iy:
ax + iy = ax (cos ky + i sen ky),
dove k è il logaritmo naturale di a.
☻: Comincio a capire qualcosa anch’io!
☼: Ora proviamo a scegliere a come il numero e.
☺: In questo caso il logaritmo di a è 1 e la relazione si semplifica molto:
ex + iy = ex (cos y + i sen y)!
☼: E quindi?
☺: Quindi eiy = cos y + i sen y! E per y = π abbiamo trovato quello che cercavamo!
☻: Ma tu sai quanto è cos π?
☺: Sì, è -1. E sen π è 0. Quindi eiπ = -1!
☼: Bravissime! Questa è la famosa relazione di Eulero, un matematico svizzero del
Settecento. Molti pensano che sia la più bella equazione di tutta la matematica!
Adesso capite perché amo tanto i numeri?
☺: E poi non sono così difficili!
☻: Non ci puoi spiegare qualcosa di un po’ più complicato?
☼: Se volete, domani comincerò a parlarvi del calcolo differenziale!
Schede
Scheda n. 1
I numeri naturali e le operazioni elementari
Ognuna e ognuno di noi ha conosciuto i numeri fin da piccola o da piccolo, tanto che
ci sembrano una cosa del tutto naturale. Abbiamo imparato a contare sulle dita e,
dopo il 9, abbiamo incontrato il primo prodigio della matematica. Per indicare il
dieci non usiamo un nuovo simbolo, ma scriviamo ‘10’: due simboli che
conoscevamo già, ma con un significato diverso.
Questo tipo di numerazione prende il nome di posizionale, perché la posizione di
ogni cifra indica il suo peso: unità, decine, centinaia, migliaia, e così via. Anche se
questa numerazione ci è così familiare da sembrarci elementare, non dovremmo mai
dimenticare che l’umanità ha impiegato millenni per arrivarci.
I numeri come 1, 2, 3 e così via vengono detti numeri naturali.
A un certo punto della nostra infanzia ci siamo chiesti: dove finiscono i numeri?
Qualcuno ci ha spiegato (o lo abbiamo capito da soli) che i numeri non finiscono mai
perché, per grande che sia il numero che pensiamo, basta aggiungere una cifra per
averne uno più grande. Ecco il secondo prodigio della matematica: in questo
momento abbiamo cominciato ad afferrare il concetto di infinito.
Dopo avere imparato a contare abbiamo cominciato a fare le prime operazioni.
Somme e sottrazioni, moltiplicazioni e divisioni ci sono talmente familiari, che ben
pochi di noi ricordano quando è stata la prima volta che le abbiamo usate.
Anche per fare le prime somme abbiamo usato le dita, come per contare. Abbiamo
scoperto la moltiplicazione come il modo più semplice per fare una somma continua:
è evidente che è molto più facile scrivere 3 x 20 invece di scrivere 3 + 3 venti volte.
La sottrazione e la divisione possono essere viste come le operazioni inverse della
somma e della moltiplicazione. L’operazione 9 - 6 = 3 è l’inverso della somma 6 + 3
= 9. Analogamente, la divisione 20 : 5 = 4 è l’operazione inversa della
moltiplicazione 5 x 4 = 20.
Sottraendo un numero da uno più piccolo, si ottiene un numero negativo.
Esempio
3 - 8 = - 5.
Scheda n. 2
I numeri primi e i numeri razionali
Quando un numero intero è il prodotto di due o più altri numeri interi, questi vengono
detti i suoi ‘fattori’.
Esempio
10 = 2 x 5
2 e 5 sono fattori del numero 10.
L’operazione con cui si trovano i fattori di un numero si chiama scomposizione in
fattori.
Se la scomposizione continua fino a quando non può più proseguire oltre, i fattori
così ottenuti si dicono fattori primi.
Esempio
20 = 4 x 5
4 e 5 sono fattori del numero 20, ma il 4 non è un fattore primo, perché può essere
ancora scomposto:
4=2x2
20 = 5 x 2 x 2
Il 2 e il 5 sono i fattori primi del numero 20.
Un numero che può essere diviso solo per se stesso (oltre che naturalmente per 1)
viene detto numero primo.
Se si divide un numero intero per un suo fattore primo, si ottiene ancora un numero
intero.
Esempio
20 : 4 = 5
Se invece un numero intero viene diviso per un numero che non è fra i suoi fattori
primi, si ottiene un numero decimale o frazionario.
Esempio
5 : 2 = 2,5 o 5/2
I numeri che possono essere ottenuti come rapporto fra due numeri interi si dicono
numeri razionali.
Scheda n. 3
Potenze, radici e logaritmi
Se la moltiplicazione può essere vista come una somma continua, analogamente una
moltiplicazione continua dà luogo all’operazione di elevamento a potenza.
Invece di scrivere 5 x 5 x 5 x 5 possiamo scrivere 54. Moltiplicare 5 per se stesso
quattro volte equivale ad elevare 5 alla quarta potenza. In questa operazione 5
rappresenta la base, 4 l’esponente.
Ci possiamo chiedere a questo punto: qual è l’operazione inversa dell’elevamento a
potenza?
Partiamo dalla relazione 54 = 625. Possiamo dire che 5 è la radice quarta di 625. Ma
c’è un’altra operazione inversa: se partiamo dall’esponente anziché dalla base, 4
viene detto il logaritmo di 625 in base 5.
Scheda n. 4
Coordinate cartesiane e polari. Funzioni trigonometriche
Ogni punto di un piano può essere determinato dalle sue coordinate cartesiane. Se
prendiamo il punto A e chiamiamo B la sua proiezione sull’asse orizzontale, le sue
coordinate sono misurate dai segmenti OB e BA, le cui misure prendono
rispettivamente il nome di ascissa e ordinata.
La corrispondenza tra i punti del piano e le coppie di numeri reali è biunivoca, nel
senso che ad ogni numero del piano corrisponde una coppia di coordinate e,
reciprocamente, ad ogni coppia di coordinate corrisponde un punto del piano.
Nella mappa di una città o in un atlante geografico la ricerca di una via o di una
località viene facilitata suddividendo la carta in riquadri in modo da identificare
l’informazione desiderata mediante le lettere e i numeri che contraddistinguono le
righe e le colonne. Questo sistema può essere visto come un’estensione del concetto
di coordinate cartesiane.
Ma lo stesso punto A può essere identificato da un’altra coppia di parametri: la sua
distanza dall’origine e l’angolo formato dai segmenti AO e OB. Queste coordinate
vengono dette coordinate polari.
Anche in questo caso c’è una corrispondenza biunivoca tra i punti del piano e le
coppie di numeri reali che li identificano
Le funzioni trigonometriche
Immaginiamo di avere un cerchio con centro nell’origine del piano di coordinate x,y.
Un punto A che si trova sulla sua circonferenza è l’estremo di un segmento che parte
dall’origine (OA) e che forma un determinato angolo α con l’asse orizzontale.
Il rapporto tra la lunghezza del segmento OB e quella del segmento OA prende il
nome di coseno dell’angolo α e si indica con cos α. Il rapporto tra la lunghezza del
segmento OA e quella del segmento OA prende il nome di seno dell’angolo α e si
indica con sen α.
Le funzioni sen α e cos α sono dette funzioni trigonometriche.
Scheda n. 5
La funzione esponenziale
Se prestiamo un capitale a all’interesse di p% l’anno, alla scadere del primo anno il
montante è:
a (1 + p/100)
mentre alla fine del secondo anno sarà:
a (1 + p/100)2
e dopo m anni:
a (1 + p/100)m.
Ma il calcolo dell’interesse e l’aggiornamento della somma dovuta potrebbero essere
effettuati non ogni anno, ma ad ogni frazione di anno. In tal caso, se indichiamo con
1/n questa frazione, dopo m anni la somma dovuta (montante) è data da:
a (1 + k/n)mn.
Quando n tende all’infinito si ha il caso detto della capitalizzazione continua. Al
limite il termine
(1 + k/n)mn tende a
ekm
dove e = 2,7182818… è un numero irrazionale definito come il limite della funzione
(1 + 1/x)x
per x che tende all’infinito.
I logaritmi naturali
Se si prende il numero e come base dei logaritmi, si hanno i cosiddetti logaritmi
naturali. Il logaritmo naturale di x si indica come ln x.
Scheda n. 6
Numeri immaginari e numeri complessi
Se moltiplichiamo un numero reale per se stesso, sia positivo sia negativo, otteniamo
sempre un risultato positivo. Se ci chiediamo quale sia la radice quadrata di un
numero negativo, dovremmo concludere che non esiste. Questo è vero se ci limitiamo
ai numeri reali. Ma possiamo vedere la cosa in altri termini.
Prendiamo un numero negativo sull’asse dei numeri, ad esempio -1. Chiedersi quale
sia la radice quadrata di (-1) equivale a cercare quell’operatore che, applicato due
volte al numero 1, lo trasforma in -1. Ora, per passare da 1 a -1 dobbiamo effettuare
una rotazione di 180°. Possiamo concludere che l’operatore che cerchiamo sia una
rotazione di 90°. Partendo da 1, infatti, con una prima rotazione di 90° andiamo
sull’asse verticale, e con la seconda rotazione di 90° arriviamo a -1, come volevamo.
Naturalmente, il numero che si trova sull’asse verticale non può essere un numero
reale, perché tutti i numeri reali si trovano sull’asse dei numeri reali. A questo punto
introduciamo il concetto di numero immaginario: i numeri immaginari si trovano su
un asse perpendicolare a quello dei numeri reali.
Se indichiamo con ‘i’ l’unità dei numeri immaginari, come 1 è l’unità dei numeri
reali, comprendiamo facilmente che i numeri immaginari sono del tipo i, 2i, 3i, ecc.
Naturalmente anche questi numeri possono essere positivi o negativi, con coefficiente
razionale o irrazionale, ma sempre reale.
Se ora consideriamo i punti del piano che non si trovano sui due assi, ognuno di
questi punti può essere ottenuto combinando un numero reale e un numero
immaginario. A ciascuno di questi punti facciamo corrispondere la somma di questi
due termini, ad esempio a + ib, che prende il nome di numero complesso.
Scheda n. 7
La relazione di Eulero
Partendo dalla proprietà delle potenze secondo cui
ab . ac = ab+c
possiamo dire che la funzione esponenziale w (z) soddisfa la condizione:
w (z1) . w (z2) = w (z1 + z2)
Chiediamoci ora che cosa succede se l’esponente è un numero complesso.
I matematici del diciottesimo secolo che hanno studiato questa funzione nel caso di
una variabile complessa hanno scoperto che la sola funzione che soddisfa questa
condizione (per la variabile complessa x + iy) è:
w (x + iy) = ax (cos ky + i sen ky)
Ciò significa che, se prendiamo il numero reale a e lo eleviamo all’esponente
complesso x + iy, otteniamo:
ax + iy = ax (cos ky + i sen ky),
dove k è il logaritmo naturale di a.
A questo punto è sufficiente scegliere per a il numero e: in tal caso il logaritmo di a è
1 e la relazione si semplifica così:
ex + iy = ex (cos y + i sen y)
Quindi
eiy = cos y + i sen y
e, per y = π, si trova la relazione di Eulero:
eiπ = -1.